Dobré kvantové číslo - Good quantum number
Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny do Kvantové číslo. (Diskutujte) Navrhováno od června 2020. |
Tento článek je hlavní část může být příliš dlouhý na délku článku.Srpna 2017) ( |
v kvantová mechanika, vzhledem k určitému Hamiltonian a operátor s odpovídajícími vlastní čísla a vlastní vektory dána , pak čísla (nebo vlastní čísla) se říká, že jsou dobrá kvantová čísla pokud každý vlastní vektor zůstává vlastním vektorem se stejnou vlastní hodnotou jak se čas vyvíjí.
Proto, pokud:
pak požadujeme
pro všechny vlastní vektory za účelem volání dobré kvantové číslo (kde s a s představují vlastní vektory a vlastní hodnoty hamiltoniánu).
Jinými slovy vlastní čísla jsou dobrá kvantová čísla, pokud odpovídající operátor je konstanta pohybu (dojíždí s vývojem času). Dobrá kvantová čísla se často používají k označení počátečních a konečných stavů v experimentech. Například v urychlovačích částic:
1. Částice jsou zpočátku připravovány v přibližných hybných vlastních stavech; hybnost částic je dobré kvantové číslo pro neinteragující částice.
2. Částice se srazí. V tomto bodě prochází hybnost každé částice změnou, a tedy hybnost částic není dobrým kvantovým číslem pro interagující částice během srážky.
3. Významnou dobu po srážce se částice měří ve vlastních hybnostech. Hybnost každé částice se stabilizovala a je to opět dobré kvantové číslo dlouho po srážce.
Teorém: Nutná a dostatečná podmínka pro (což je vlastní číslo operátoru O), aby bylo dobré, je to dojíždí s Hamiltonianem .
Důkaz:Převzít .
- Li je vlastní vektor , pak to máme (podle definice) , a tak:
Ehrenfestova věta a dobrá kvantová čísla
The Ehrenfestova věta[1] udává rychlost změny očekávaná hodnota operátorů. Zní takto:
Běžně se vyskytující operátoři nezávisí výslovně na čase. Pokud tito operátoři dojíždějí s Hamiltonian, pak jejich očekávaná hodnota zůstává s časem konstantní. Nyní, pokud je systém v jednom z běžných vlastní státy provozovatele (a ), pak systém zůstane v tomto vlastním stavu, jak čas postupuje. Jakékoli měření množství dá nám vlastní číslo (nebo dobré kvantové číslo) spojené s vlastními stavy, ve kterých je částice. To je vlastně prohlášení o ochraně v kvantové mechanice a budou podrobněji rozpracovány níže.
Zachování v kvantové mechanice
Případ I: Silnější prohlášení o ochraně: Když je systém v jednom ze společných vlastních států státu a
Nechat být operátor který dojíždí s Hamiltonian . To znamená, že můžeme mít společné vlastní stavy a .[2] Předpokládejme, že náš systém je v jednom z těchto běžných vlastních stavů. Pokud měříme , určitě přinese vlastní hodnotu (dobré kvantové číslo). Je také dobře známým výsledkem, že vlastní stát Hamiltonian je a stacionární stav,[3] což znamená, že i když se systém nechá nějakou dobu před měřením vyvíjet, bude stále poskytovat stejné vlastní číslo.[4] Pokud je tedy náš systém ve společném vlastním stavu, jeho vlastní hodnoty A (dobrá kvantová čísla) se časem nezmění.
Závěr: Li a systém je ve společném vlastním stavu z a , vlastní čísla (dobrá kvantová čísla) se časem nemění.
Případ II: Slabší prohlášení o zachování: Pokud se systém nenachází v žádném ze společných vlastních států státu a
Jak se předpokládá v případě I, . Ale nyní systém není v žádném z běžných vlastních stavů a . Systém tedy musí být v některých lineární kombinace základu tvořeného společnými vlastními stavy státu a . Při měření je vyroben, může poskytnout kterékoli z vlastních čísel . A pak, pokud existuje jakýkoli počet následných měření jsou vyrobeny, jsou povinny přinést stejný výsledek. V tomto případě platí (slabší) prohlášení o zachování: Používání Ehrenfestova věta, výslovně nezávisí na čase:
To říká, že očekávaná hodnota z zůstává konstantní v čase.[5] Když se měření provádí na identických systémech znovu a znovu, obecně získá různé hodnoty, ale očekávaná hodnota zůstává konstantní. Toto je slabší podmínka zachování než v případě, kdy byl náš systém běžným vlastním státem a : Vlastní čísla není zajištěno, že zůstanou konstantní, pouze jeho očekávaná hodnota.
Závěr: Li , výslovně nezávisí na čase a systém není ve společném vlastním stavu a , očekávaná hodnota je zachována, ale zachování vlastních čísel není zajištěno.
Analogie s klasickou mechanikou
v klasická mechanika, celkem časová derivace fyzikální veličiny je uveden jako:[6]
kde se odkazuje na složené závorky Poissonova závorka z a . To se nápadně podobá Ehrenfestova věta. To znamená, že fyzická veličina je zachována, pokud je Poisson Bracket s Hamiltonian zmizí a množství nezávisí výslovně na čase. Tento stav v klasická mechanika je obdobou stavu v kvantová mechanika za zachování pozorovatelný (jak naznačuje Ehrenfestova věta: Poissonova závorka je nahrazen komutátor )
Systémy, které lze označit dobrými kvantovými čísly
Systémy, které lze označit dobrými kvantovými čísly, jsou ve skutečnosti vlastní státy z Hamiltonian. Také se jim říká stacionární stavy.[7] Nazývají se proto, protože systém zůstává ve všech pozorovatelných ohledech ve stejném stavu jako čas, který uplynul. Státy se matematicky mění, protože komplexní fázový faktor připojený k němu se neustále mění s časem, ale nelze ho pozorovat.
Takový stav splňuje:
- ,
kde
- je kvantový stav, což je stacionární stav;
- je Hamiltonovský operátor;
- je vlastní hodnota energie státu .
Vývoj státního ket je řízen Schrödingerova rovnice:
Dává časový vývoj stavu systému jako:
Příklady
Atom vodíku
V nerelativistickém zacházení a jsou dobrá kvantová čísla, ale v relativistické kvantové mechanice již nejsou dobrými kvantovými čísly jako a nedojíždět s (v teorii Dirac). je dobré kvantové číslo v relativistické kvantové mechanice jako dojíždí s .
Atom vodíku: žádná spin-orbitální vazba
V případě atom vodíku (za předpokladu, že neexistuje spin-orbitová vazba ), pozorovatelny, kteří dojíždějí s Hamiltonian jsou orbitální moment hybnosti, moment hybnosti rotace, součet momentu hybnosti rotace a orbitální moment hybnosti a složky výše uvedeného úhlového momentu. Dobrá kvantová čísla tedy v tomto případě (což jsou vlastní čísla těchto pozorovatelných) jsou .[8] Vynechali jsme , protože pro elektron je vždy konstantní a nemá žádný význam, pokud jde o označování stavů.
Dobrá kvantová čísla a CSCO
Všechna dobrá kvantová čísla ve výše uvedeném případě atom vodíku (se zanedbatelným spin-orbitová vazba ), jmenovitě nelze použít současně k určení stavu. Tady je kdy CSCO (Kompletní sada pozorovatelných informací o dojíždění) přichází do hry. Zde jsou některé obecné výsledky, které mají obecnou platnost:
1. Určitý počet dobrých kvantových čísel lze použít k jednoznačné specifikaci určitého kvantový stav pouze když pozorovatelné odpovídá dobrým kvantovým číslům a CSCO.
2. Pokud pozorovatelné dojíždějte, ale nevytvářejte CSCO, pak jejich dobrá kvantová čísla odkazují na sadu států. V tomto případě neodkazují na stát jednoznačně.
3. Pokud pozorovatelné nedojíždějte, nemohou být ani použity k označení jakékoli sady států, natož k označení jakéhokoli jedinečného stavu.
V případě atomu vodíku je netvoří sadu dojíždění. Ale jsou kvantová čísla CSCO. Takže v tomto případě tvoří množinu dobrých kvantových čísel. Podobně, také tvoří množinu dobrých kvantových čísel.
Zahrnuta interakce atom vodíku: spin-orbita
Pokud je zohledněna interakce rotace orbity, musíme do ní přidat další termín Hamiltonian který představuje magnetický dipól interakční energie.[9]
Nyní nový Hamiltonian s tímto novým termín ne dojíždět s a ; ale dojíždí s L2, S.2 a , který je celková moment hybnosti. Jinými slovy, již nejsou dobrá kvantová čísla, ale jsou.
A protože se k označení používají dobrá kvantová čísla vlastní státy, příslušné vzorce zájmu jsou vyjádřeny v nich. Například energie interakce spin-orbita je dána vztahem[10]
kde
Jak vidíme, výše uvedené výrazy obsahují zejména dobrá kvantová čísla
Viz také
- Kompletní sada pozorovatelných informací o dojíždění
- Hamiltonian (kvantová mechanika)
- Stacionární stav
- Konstanta pohybu
- Kvantové číslo
- Měření v kvantové mechanice
- Ehrenfestova věta
- Operátor (fyzika)
Reference
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Kvantová mechanika (2. vyd.). New York [USA]: Wiley [USA] str.241. ISBN 047116433X.
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Kvantová mechanika (2. vyd.). New York [USA]: Wiley [USA] str.140. ISBN 047116433X.
- ^ Bernard, Diu; Franck, Laloë (01.01.2002). Kvantová mechanika. John Wiley and Sons. str. 32. ISBN 047116433X. OCLC 928691380.
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Kvantová mechanika (2. vyd.). New York [USA]: Wiley [USA] str.246. ISBN 047116433X.
- ^ Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck (1977). Kvantová mechanika (2. vyd.). New York [USA]: Wiley [USA] str.247. ISBN 047116433X.
- ^ Poole, Herbert Goldstein, Charles P. (2001). Klasická mechanika, 3e (3. vyd.). USA: PEARSON EDUC (HIGHER ED GRP) (RÁMEČEK 70632) (NJ). str. 396. ISBN 0201657023.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.). Horní sedlo: Pearson Prentice Hall. str.26. ISBN 0131118927.
- ^ Christman, Robert Eisberg, Robert Resnick, ve spolupráci s Davidem O. Caldwellem, J. Richardem (1985). Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vyd.). New York: Wiley. str. J-10. ISBN 047187373X.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.). Horní sedlo: Pearson Prentice Hall. str.271. ISBN 0131118927.
- ^ Griffiths, David J. (2005). Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.). Horní sedlo: Pearson Prentice Hall. str.273. ISBN 0131118927.