Cantors first set theory article - Cantors first set theory article - Wikipedia

Georg Cantor, C. 1870

Cantorův první článek o teorii množin obsahuje Georg Cantor první věty o transfinitu teorie množin, která studuje nekonečné množiny a jejich vlastnosti. Jednou z těchto vět je jeho „revoluční objev“, který soubor ze všech reálná čísla je nespočetně, spíše než spočetně, nekonečný.^[1] Tato věta je prokázána pomocí Cantorův první důkaz nespočetnosti, který se liší od známějšího důkazu používajícího jeho úhlopříčný argument. Název článku, „O majetku sbírky všech skutečných algebraických čísel„(„ Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen “), odkazuje na svou první větu: množinu skutečných algebraická čísla je spočítatelné. Cantorův článek byl publikován v roce 1874. V roce 1879 upravil svůj důkaz o nespočetnosti pomocí topologické pojem bytosti množiny hustý v intervalu.

Cantorův článek obsahuje také důkaz o existenci transcendentální čísla. Oba konstruktivní a nekonstruktivní důkazy byly prezentovány jako „Cantorův důkaz“. Popularita předkládání nekonstruktivního důkazu vedla k mylné představě, že Cantorovy argumenty jsou nekonstruktivní. Vzhledem k tomu, že důkaz, který Cantor zveřejnil, buduje transcendentální čísla, nebo nikoli, analýza jeho článku může určit, zda je tento důkaz konstruktivní či nikoli.^[2] Cantorova korespondence s Richard Dedekind ukazuje vývoj jeho myšlenek a odhaluje, že měl na výběr mezi dvěma důkazy: nekonstruktivním důkazem, který využívá nespočítatelnost reálných čísel, a konstruktivním důkazem, který nevyužívá nepočitatelnost.

Historici matematiky zkoumali Cantorův článek a okolnosti, za kterých byl napsán. Například zjistili, že Cantorovi bylo doporučeno v článku, který předložil, vynechat svoji teorém o nespočetnosti — přidal to během korektura. Sledovali toto a další fakta o článku k vlivu Karl Weierstrass a Leopold Kronecker. Historici také studovali Dedekindovy příspěvky k článku, včetně jeho příspěvků k teorému o spočitatelnosti reálných algebraických čísel. Kromě toho uznali roli, kterou při vývoji teorie množin hrála věta o nepočitatelnosti a koncept počitatelnosti, teorie míry a Lebesgueův integrál.

Článek

Cantorův článek je krátký, méně než čtyři a půl stránky.^[A] Začíná to diskusí o skutečném algebraická čísla a prohlášení o jeho první větě: Lze vložit množinu reálných algebraických čísel osobní korespondence se sadou kladných celých čísel.^[3] Cantor opakuje tuto větu z hlediska, která je matematikům jeho doby známější: Soubor reálných algebraických čísel lze zapsat jako nekonečno sekvence ve kterém se každé číslo objeví pouze jednou.^[4]

Cantorova druhá věta pracuje s a uzavřený interval [A, b], což je množina reálných čísel ≥A a ≤b. Věta říká: Vzhledem k jakékoli posloupnosti reálných čísel X₁, X₂, X₃, ... a jakýkoli interval [A, b], v [je čísloA, b] který není obsažen v dané posloupnosti. Proto je takových čísel nekonečně mnoho.^[5]

Cantor poznamenává, že kombinace jeho dvou vět přináší nový důkaz Liouvilleova věta že každý interval [A, b] obsahuje nekonečně mnoho transcendentální čísla.^[5]

Cantor poté poznamenává, že jeho druhá věta je:

důvod, proč kolekce reálných čísel tvořících takzvané kontinuum (jako jsou všechna reálná čísla, která jsou ≥ 0 a ≤ 1) nemohou odpovídat jedna k jedné s kolekcí (ν) [kolekce všech kladných celých čísel]; tak jsem našel jasný rozdíl mezi takzvaným kontinuem a sbírkou jako je souhrn skutečných algebraických čísel.^[6]

Tato poznámka obsahuje Cantorovu větu o nepočitatelnosti, která pouze uvádí, že interval [A, b] nelze dát do vzájemné korespondence s množinou kladných celých čísel. Neuvádí, že tento interval je nekonečná množina větších mohutnost než množina kladných celých čísel. Mohutnost je definována v Cantorově dalším článku, který byl publikován v roce 1878.^[7]

Důkaz Cantorovy věty o nepočitatelnosti
Cantor výslovně neprokazuje svou vetu o nespočetnosti, což snadno vyplývá z jeho druhé věty. To lze prokázat pomocí důkaz rozporem. Předpokládejme, že interval [A, b] lze dát do korespondence jedna k jedné se sadou kladných celých čísel nebo ekvivalentně: Skutečná čísla v [A, b] lze zapsat jako sekvenci, ve které se každé reálné číslo objeví pouze jednou. Aplikování Cantorovy druhé věty na tuto sekvenci a [A, b] vytvoří reálné číslo v [A, b] který do sekvence nepatří. To je v rozporu s původním předpokladem a dokazuje to teorém o nespočetnosti.^[8]

Cantor uvádí pouze svou teorém o nespočetnosti. Nepoužívá to v žádném důkazu.^[3]

Důkazy

První věta

Algebraická čísla na složité letadlo zabarvené polynomiálním stupněm. (červená = 1, zelená = 2, modrá = 3, žlutá = 4). Body se zmenšují, jak se zvětšují celočíselné polynomické koeficienty.

Chcete-li dokázat, že množinu reálných algebraických čísel lze spočítat, definujte výška a polynomiální z stupeň n s celým číslem koeficienty tak jako: n − 1 + |A₀| + |A₁| + ... + |A_n|, kde A₀, A₁, ..., A_n jsou koeficienty polynomu. Seřaďte polynomy podle jejich výšky a seřaďte skutečné kořeny polynomů stejné výšky podle číselného pořadí. Jelikož existuje jen konečný počet kořenů polynomů dané výšky, tato uspořádání dávají skutečná algebraická čísla do sekvence. Cantor šel o krok dále a vytvořil sekvenci, ve které se každé skutečné algebraické číslo objeví jen jednou. Udělal to pouze pomocí polynomů, které jsou neredukovatelné přes celá čísla. Následující tabulka obsahuje začátek Cantorova výčtu.^[9]

Cantorův výčet reálných algebraických čísel
Skutečná algebraika číslo	Polynomiální	Výška polynomiální
X₁ = 0	X	1
X₂ = −1	X + 1	2
X₃ = 1	X − 1	2
X₄ = −2	X + 2	3
X₅ = −1/2	2X + 1	3
X₆ = 1/2	2X − 1	3
X₇ = 2	X − 2	3
X₈ = −3	X + 3	4
X₉ = −1 − √5/2	X² + X − 1	4
X₁₀ = −√2	X² − 2	4
X₁₁ = −1/√2	2X² − 1	4
X₁₂ = 1 − √5/2	X² − X − 1	4
X₁₃ = −1/3	3X + 1	4
X₁₄ = 1/3	3X − 1	4
X₁₅ = −1 + √5/2	X² + X − 1	4
X₁₆ = 1/√2	2X² − 1	4
X₁₇ = √2	X² − 2	4
X₁₈ = 1 + √5/2	X² − X − 1	4
X₁₉ = 3	X − 3	4

Druhá věta

Je potřeba dokázat pouze první část Cantorovy druhé věty. Uvádí: Vzhledem k jakékoli posloupnosti reálných čísel X₁, X₂, X₃, ... a jakýkoli interval [A, b], v [je čísloA, b] který není obsažen v dané posloupnosti.^[B]

Vyhledání čísla v [A, b] který není obsažen v dané posloupnosti, vytvořte dvě posloupnosti reálných čísel následovně: Najděte první dvě čísla dané posloupnosti, která jsou v otevřený interval (A, b). Menší z těchto dvou čísel označte A₁ a větší o b₁. Podobně najděte první dvě čísla dané sekvence, která jsou v (A₁, b₁). Označte menší A₂ a větší o b₂. Pokračováním v tomto postupu se vygeneruje posloupnost intervalů (A₁, b₁), (A₂, b₂), (A₃, b₃), ... tak, že každý interval v sekvenci obsahuje všechny následující intervaly — to znamená, že generuje sekvenci vnořené intervaly. To znamená, že sekvence A₁, A₂, A₃, ... se zvyšuje a posloupnost b₁, b₂, b₃, ... klesá.^[10]

Počet generovaných intervalů je konečný nebo nekonečný. Pokud je konečný, nechme (A_L, b_L) být posledním intervalem. Pokud je nekonečný, vezměte si limity A_∞ = lim_n → ∞ A_n a b_∞ = lim_n → ∞ b_n. Od té doby A_n < b_n pro všechny n, buď A_∞ = b_∞ nebo A_∞ < b_∞. Je tedy třeba vzít v úvahu tři případy:

Případ 1: Poslední interval (A_L, b_L)

Případ 1: Existuje poslední interval (A_L, b_L). Protože nanejvýš jeden X_n může být v tomto intervalu každý y v tomto intervalu kromě X_n (pokud existuje) není obsažen v dané posloupnosti.

Případ 2: A_∞ = b_∞

Případ 2: A_∞ = b_∞. Pak A_∞ není obsažen v dané posloupnosti, protože pro všechny n : A_∞ patří do intervalu (A_n, b_n) ale X_n nepatří do (A_n, b_n). V symbolech: A_∞ ∈ (A_n, b_n) ale X_n ∉ (A_n, b_n).

Důkaz, že pro všechnyn : X_n ∉ (A_n, b_n)
Tento lemma je používán případy 2 a 3. Je implikován silnějším lemmatem: Pro všechnyn, (A_n, b_n) vylučuje X₁, ..., X_2n. To dokazuje indukce. Základní krok: Protože koncové body z (A₁, b₁) jsou X₁ a X₂ a otevřený interval vylučuje jeho koncové body, (A₁, b₁) vylučuje X₁, X₂. Induktivní krok: Předpokládejme, že (A_n, b_n) vylučuje X₁, ..., X_2n. Od té doby (A_n+1, b_n+1) je podmnožinou (A_n, b_n) a jeho koncové body jsou X_k a X_j s indexy j,k>2n interval (A_n+1, b_n+1) vylučuje X₁, ..., X_2n a X_2n+1, X_2n+2. Proto pro všechnyn, (A_n, b_n) vylučuje X₁, ..., X_2n. Proto pro všechnyn, X_n ∉ (A_n, b_n).^[C]

Případ 3: A_∞ < b_∞

Případ 3: A_∞ < b_∞. Pak každý y v [A_∞, b_∞] není obsažen v dané posloupnosti, protože pro všechny n : y patří (A_n, b_n) ale X_n ne.^[11]

Důkaz je kompletní, protože ve všech případech alespoň jedno reálné číslo v [A, b] bylo zjištěno, že není v dané sekvenci obsaženo.^[D]

Cantorovy důkazy jsou konstruktivní a byly použity k napsání a počítačový program který generuje číslice transcendentálního čísla. Tento program aplikuje Cantorovu konstrukci na sekvenci obsahující všechna reálná algebraická čísla mezi 0 a 1. Článek, který pojednává o tomto programu, poskytuje část svého výstupu, který ukazuje, jak konstrukce generuje transcendentální.^[12]

Příklad Cantorovy konstrukce

Příklad ilustruje, jak funguje Cantorova konstrukce. Zvažte sekvenci: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... Tato posloupnost se získá objednáním racionální čísla v (0, 1) zvýšením jmenovatelů, seřazením jmenovatelů se stejným jmenovatelem zvýšením čitatelů a vynecháním redukovatelné frakce. Níže uvedená tabulka ukazuje prvních pět kroků konstrukce. První sloupec tabulky obsahuje intervaly (A_n, b_n). Druhý sloupec uvádí seznam výrazů navštívených během hledání prvních dvou výrazů v (A_n, b_n). Tyto dva výrazy jsou označeny červeně.^[13]

**Generování čísla pomocí Cantorovy konstrukce**
Interval	Nalezení dalšího intervalu	Interval (desítkově)
${ displaystyle left (; { frac {1} {3}}, ; ; ! { frac {1} {2}} ; right)}$	${ displaystyle ; { frac {2} {3}}, ; ! { frac {1} {4}}, ; ! { frac {3} {4}}, ; ! { frac {1} {5}}, ; ! { color {red} { frac {2} {5}},} ; ! ; ! { frac {3} {5} }, ; ! { frac {4} {5}}, ; ! { frac {1} {6}}, ; ! { frac {5} {6}}, ; ! { frac {1} {7}}, ; ! { frac {2} {7}}, ; ! { color {red} { frac {3} {7}}}}$	${ displaystyle left (0,3333 dots, ; 0,5000 dots right)}$
${ displaystyle left (; { frac {2} {5}}, ; ; ! { frac {3} {7}} ; right)}$	${ displaystyle ; { frac {4} {7}}, ; tečky, ; { frac {1} {12}}, { color {red} { frac {5} {12}} ,} ; ! { frac {7} {12}}, ; dots, ; { frac {6} {17}}, { color {red} { frac {7} {17} }}}$	${ displaystyle left (0,4000 dots, ; 0,4285 dots right)}$
${ displaystyle left ({ frac {7} {17}}, { frac {5} {12}} right)}$	${ displaystyle { frac {8} {17}}, ; ! tečky, ; ! { frac {11} {29}}, { color {red} { frac {12} {29 }},} ; ! { frac {13} {29}}, ; dots, ; { frac {16} {41}}, { color {red} { frac {17} { 41}}}}$	${ displaystyle left (0,4117 dots, ; 0,4166 dots right)}$
${ displaystyle left ({ frac {12} {29}}, { frac {17} {41}} right)}$	${ displaystyle { frac {18} {41}}, ; ! tečky, ; ! { frac {27} {70}}, { color {red} { frac {29} {70 }},} ; ! { frac {31} {70}}, ; dots, ; { frac {40} {99}}, { color {red} { frac {41} { 99}}}}$	${ displaystyle left (0,4137 dots, ; 0,4146 dots right)}$
${ displaystyle left ({ frac {41} {99}}, { frac {29} {70}} right)}$	${ displaystyle { frac {43} {99}}, tečky, { frac {69} {169}}, { color {red} { frac {70} {169}},} ; ! { frac {71} {169}}, , tečky, { frac {98} {239}}, { color {red} { frac {99} {239}}}}$	${ displaystyle left (0,4141 dots, ; 0,4142 dots right)}$

Protože sekvence obsahuje všechna racionální čísla v (0, 1), konstrukce vygeneruje iracionální číslo, což se ukázalo být √2 − 1.^[14]

Důkaz, že vygenerované číslo je √2 − 1
Důkaz používá Farey sekvence a pokračující zlomky. Fareyova sekvence ${ displaystyle F_ {n}}$ je rostoucí posloupnost zcela redukované frakce jejichž jmenovatelé jsou ${ displaystyle leq n.}$ Li ${ displaystyle { frac {a} {b}}}$ a ${ displaystyle { frac {c} {d}}}$ sousedí ve Fareyově posloupnosti, nejnižší jmenovatel je mezi nimi zprostředk ${ displaystyle { frac {a + c} {b + d}}.}$ Toto médium sousedí s oběma ${ displaystyle { frac {a} {b}}}$ a ${ displaystyle { frac {c} {d}}}$ v sekvenci Farey ${ displaystyle F_ {b + d}.}$ ^[15] Cantorova konstrukce produkuje medianty, protože racionální čísla byla sekvenována zvyšujícím se jmenovatelem. První interval v tabulce je ${ displaystyle ({ frac {1} {3}}, { frac {1} {2}}).}$ Od té doby ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$ sousedí v ${ displaystyle F_ {3},}$ jejich zprostředkovatel ${ displaystyle { frac {2} {5}}}$ je první zlomek v pořadí mezi ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {2}}.}$ Proto, ${ displaystyle { frac {1} {3}} <{ frac {2} {5}} <{ frac {1} {2}}.}$ V této nerovnosti ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$ má nejmenší jmenovatel, takže druhá část je prostředníkem ${ displaystyle { frac {2} {5}}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {2}},}$ což se rovná ${ displaystyle { frac {3} {7}}.}$ Z toho vyplývá: ${ displaystyle { frac {1} {3}} <{ frac {2} {5}} <{ frac {3} {7}} <{ frac {1} {2}}.}$ Proto je další interval ${ displaystyle ({ frac {2} {5}}, { frac {3} {7}}).}$ Prokážeme, že koncové body intervalů konvergují k pokračujícímu zlomku ${ displaystyle [0; 2,2, tečky].}$ Tato pokračující frakce je její hranicí konvergenty: ${ displaystyle { frac {p_ {n}} {q_ {n}}} = [0; 2, tečky, 2] ; ; (n ; 2 { text {'s}}).}$ The ${ displaystyle p_ {n}}$ a ${ displaystyle q_ {n}}$ sekvence splňují rovnice:^[16] ${ displaystyle p_ {0} = 0 ; ; ; ; ; ; ; p_ {1} = 1 ; ; ; ; ; ; ; p_ {n + 1} = 2p_ {n} + p_ {n-1} { text {pro}} n geq 1}$ ${ displaystyle q_ {0} = 1 ; ; ; ; ; ; ; q_ {1} = 2 ; ; ; ; ; ; ; q_ {n + 1} = 2q_ {n} + q_ {n-1} { text {pro}} n geq 1}$ Nejprve indukcí dokážeme, že pro liché n, n-tý interval v tabulce je: ${ displaystyle left ({ frac {p_ {n} + p_ {n-1}} {q_ {n} + q_ {n-1}}}, { frac {p_ {n}} {q_ {n }}}že jo)!,}$ a dokonce n, jsou koncové body intervalu obráceny: ${ displaystyle left ({ frac {p_ {n}} {q_ {n}}}, { frac {p_ {n} + p_ {n-1}} {q_ {n} + q_ {n-1 }}}že jo)!.}$ To platí pro první interval, protože: ${ displaystyle left ({ frac {p_ {1} + p_ {0}} {q_ {1} + q_ {0}}}, { frac {p_ {1}} {q_ {1}}} right) = left ({ frac {1} {3}}, { frac {1} {2}} right) !.}$ Předpokládejme, že indukční hypotéza platí pro k-tý interval. Li k je lichý, tento interval je: ${ displaystyle left ({ frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}}, { frac {p_ {k}} {q_ {k }}}že jo)!.}$ Zprostředkovatel jeho koncových bodů ${ displaystyle { frac {2p_ {k} + p_ {k-1}} {2q_ {k} + q_ {k-1}}} = { frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ je první zlomek v pořadí mezi těmito koncovými body. Proto, ${ displaystyle { frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}} <{ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}} <{ frac {p_ {k}} {q_ {k}}}.}$ V této nerovnosti ${ displaystyle { frac {p_ {k}} {q_ {k}}}}$ má nejmenší jmenovatel, takže druhá část je prostředníkem ${ displaystyle { frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ a ${ displaystyle { frac {p_ {k}} {q_ {k}}},}$ což se rovná ${ displaystyle { frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1} + q_ {k}}}.}$ Z toho vyplývá: ${ displaystyle { frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}} <{ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}} <{ frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1} + q_ {k}}} <{ frac {p_ {k}} {q_ {k} }}.}$ Proto (k + 1) -st interval je ${ displaystyle left ({ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}, { frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1} + q_ {k}}} vpravo) !.}$ Toto je požadovaný interval; ${ displaystyle { frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ je levý koncový bod, protože k + 1 je sudé. Induktivní hypotéza tedy platí pro (k + 1) -st interval. Dokonce i k, důkaz je podobný. Tím je dokončen indukční důkaz. Protože se pravé koncové body intervalů snižují a každý druhý koncový bod je ${ displaystyle { frac {p_ {2n-1}} {q_ {2n-1}}},}$ jejich limit se rovná ${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {p_ {n}} {q_ {n}}}.}$ Levé koncové body mají stejný limit, protože se zvyšují a každý druhý koncový bod je ${ displaystyle { frac {p_ {2n}} {q_ {2n}}}.}$ Jak bylo uvedeno výše, tento limit je pokračujícím zlomkem ${ displaystyle [0; 2,2, tečky],}$ což se rovná ${ displaystyle { sqrt {2}} - 1.}$ ^[17]

Cantor's 1879 uncountability proof

Všude hustá

V roce 1879 vydal Cantor nový důkaz o nespočetnosti, který upravuje jeho důkaz z roku 1874. Nejprve definuje topologické pojem množiny bodů P být „všude hustý v intervalu ":^[E]

Li P leží částečně nebo úplně v intervalu [α, β], pak se může stát pozoruhodný případ, že každý interval [γ, δ] obsažený v [α, β], nezáleží jak malý, obsahuje body z P. V takovém případě to řekneme P je všude hustý v intervalu [α, β].^[F]

V této diskusi o Cantorově důkazu: A, b, C, d se používají místo α, β, γ, δ. Cantor také používá svou intervalovou notaci, pokud je první koncový bod menší než druhý. Pro tuto diskusi to znamená, že (A, b) naznačuje A < b.

Vzhledem k tomu, že diskuse o Cantorově důkazu z roku 1874 byla zjednodušena pomocí otevřených intervalů namísto uzavřených, používá se zde stejné zjednodušení. To vyžaduje ekvivalentní definici všude hustého: Sada P je všude hustý v intervalu [A, b] když a jen když každý otevřený podinterval (C, d) z [A, b] obsahuje alespoň jeden bod P.^[18]

Cantor nespecifikoval, o kolik bodů P otevřený podinterval (C, d) musí obsahovat. Nepotřeboval to specifikovat, protože předpoklad, že každý otevřený podinterval obsahuje alespoň jeden bod P znamená, že každý otevřený podinterval obsahuje nekonečně mnoho bodů P.^[G]

Cantorův důkaz z roku 1879

Cantor upravil svůj důkaz z roku 1874 o nový důkaz druhá věta: Vzhledem k libovolné posloupnosti P reálných čísel X₁, X₂, X₃, ... a jakýkoli interval [A, b], v [je čísloA, b] který není obsažen v P. Cantorův nový důkaz má pouze dva případy. Nejprve řeší případ P není hustý v intervalu, pak se zabývá složitějším případem P být v intervalu hustý. Toto rozdělení do případů nejen naznačuje, se kterými sekvencemi je obtížnější manipulovat, ale také odhaluje důležitou roli, kterou v důkazu hraje hustota.^{[důkaz 1]}

V prvním případě P není hustá v [A, b]. Podle definice, P je hustá v [A, b] právě když pro všechny podintervaly (C, d) z [A, b], tady je X ∈ P takhle X ∈ (C, d). Vezmeme-li negaci každé strany „jen a jen tehdy, když“ produkuje: P není hustá v [A, b] právě tehdy, pokud existuje podinterval (C, d) z [A, b] tak, že pro všechny X ∈ P : X ∉ (C, d). Proto každé číslo v (C, d) není obsažen v sekvenci P.^{[důkaz 1]} Tento případ se zpracovává případ 1 a případ 3 Cantorova dokladu z roku 1874.

Ve druhém případě, který zpracovává případ 2 Cantorova důkazu z roku 1874, P je hustá v [A, b]. Hustota sekvence P je zvyklý rekurzivně definovat posloupnost vnořených intervalů, která vylučuje všechna čísla v P a jehož průsečík obsahuje jediné reálné číslo v [A, b]. Pořadí intervalů začíná (A, b). Vzhledem k intervalu v sekvenci se další interval získá nalezením dvou čísel s nejmenšími indexy, ke kterým patří P a do aktuálního intervalu. Tato dvě čísla jsou koncové body následujícího otevřeného intervalu. Protože otevřený interval vylučuje své koncové body, každý vnořený interval vylučuje dvě čísla z přední části sekvence P, což znamená, že průnik vnořených intervalů vylučuje všechna čísla v P.^{[důkaz 1]} Podrobnosti tohoto důkazu a důkaz, že tato křižovatka obsahuje jediné reálné číslo v [A, b] jsou uvedeny níže.

Definice a důkazy pro vnořené intervaly
Hustota sekvence P je zvyklý rekurzivně definovat vnořená sekvence intervalů, která vylučuje všechna čísla v P. The základní případ začíná intervalem (A, b). Od té doby P je hustá v [A, b], existuje nekonečně mnoho čísel P v (A, b). Nechat X_k₁ být číslo s nejmenším indexem a X_k₂ být číslo s dalším větším indexem a nechat A₁ být menší a b₁ být větší z těchto dvou čísel. Pak, k₁ < k₂, A < A₁ < b₁ < b, a (A₁, b₁) je správný podinterval z (A, b). Taky, X_m ∉ (A₁, b₁) pro m ≤ k₂ od těchto X_m jsou koncové body (A₁, b₁). Opakování výše uvedeného důkazu s intervalem (A₁, b₁) vyrábí k₃, k₄, A₂, b₂ takhle k₁ < k₂ < k₃ < k₄ a A < A₁ < A₂ < b₂ < b₁ < b a X_m ∉ (A₂, b₂) pro m ≤ k₄.^{[důkaz 1]} The rekurzivní krok začíná intervalem (A_n–1, b_n–1)nerovnosti k₁ < k₂ < . . . < k_2n–2 < k_2n–1 a A < A₁ < . . . < A_n–1 < b_n–1 . . . < b₁ < ba skutečnost, že interval (A_n–1, b_n–1) vylučuje první 2n –2 členové posloupnosti P — že je, X_m ∉ (A_n–1, b_n–1) pro m ≤ k_2n–2. Od té doby P je hustá v [A, b], existuje nekonečně mnoho čísel P v (A_n–1, b_n–1). Nechat X_{k_2n –1} být číslo s nejmenším indexem a X_{k_2n} být číslo s dalším větším indexem a nechat A_n být menší a b_n být větší z těchto dvou čísel. Pak, k_2n –1 < k_2n, A_n–1 < A_n < b_n < b_n–1, a (A_n, b_n) je správný podinterval z (A_n–1, b_n–1). Kombinace těchto nerovností s nerovnostmi pro krok n –1 z rekurze produkuje k₁ < k₂ < . . . < k_2n–1 < k_2n a A < A₁ < . . . < A_n < b_n . . . < b₁ < b. Taky, X_m ∉ (A_n, b_n) pro m = k_2n–1 a m = k_2n od těchto X_m jsou koncové body (A_n, b_n). To spolu s (A_n–1, b_n–1) kromě prvního 2n –2 členové posloupnosti P znamená, že interval (A_n, b_n) vylučuje první 2n Členové P — že je, X_m ∉ (A_n, b_n) pro m ≤ k_2n. Proto pro všechny n, X_n ∉ (A_n, b_n) od té doby n ≤ k_2n.^{[důkaz 1]} Sekvence A_n se zvyšuje a ohraničený výše podle b, takže limit A = lim_n → ∞ A_n existuje. Podobně limit B = lim_n → ∞ b_n existuje od sekvence b_n klesá a ohraničený níže podle A. Taky, A_n < b_n naznačuje A ≤ B. Li A < B, pak pro každého n: X_n ∉ (A, B) protože X_n není ve větším intervalu (A_n, b_n). To je v rozporu P být hustý v [A, b]. Proto, A = B. Pro všechny n, A ∈ (A_n, b_n) ale X_n ∉ (A_n, b_n). Proto, A je číslo v [A, b] který není obsažen v P.^{[důkaz 1]}

Rozvoj Cantorových myšlenek

Vývoj vedoucí k článku Cantor z roku 1874 se objevuje v korespondenci mezi Cantor a Richard Dedekind. 29. listopadu 1873 se Cantor zeptal Dedekinda, zda kolekce kladných celých čísel a kolekce kladných reálných čísel „lze odpovídat tak, že každý jednotlivec jedné sbírky odpovídá jednomu jedinému jedinci druhé?“ Cantor dodal, že sbírky, které mají takovou korespondenci, zahrnují sbírku kladných racionálních čísel a sbírky formuláře (A_{n₁, n₂, . . . , n_ν}) kde n₁, n₂, . . . , n_ν, a ν jsou kladná celá čísla.^[19]

Dedekind odpověděl, že není schopen odpovědět na Cantorovu otázku, a řekl, že „si to nezaslouží příliš mnoho úsilí, protože to nemá žádný konkrétní praktický zájem“. Dedekind také poslal Cantorovi důkaz, že množina algebraických čísel je počítatelná.^[20]

2. prosince Cantor odpověděl, že jeho otázka má zájem: „Bylo by hezké, kdyby na ni bylo možné odpovědět; například za předpokladu, že by na ni bylo možné odpovědět Ne, jeden by měl nový důkaz Liouvilleova věta že existují transcendentální čísla. “^[21]

7. prosince poslal Cantor Dedekind a důkaz rozporem že množina reálných čísel je nespočetná. Cantor začíná tím, že předpokládá, že skutečná čísla v ${ displaystyle [0,1]}$ lze zapsat jako sekvenci. Poté na tuto sekvenci použije konstrukci, která vytvoří číslo ${ displaystyle [0,1]}$ to není v pořadí, což je v rozporu s jeho předpokladem.^[22] Společně dopisy z 2. a 7. prosince poskytují nekonstruktivní důkaz o existenci transcendentálních čísel.^[23] Důkaz v Cantorově dopisu ze 7. prosince také ukazuje některé důvody, které vedly k jeho objevu, že skutečná čísla tvoří nespočetnou množinu.^[24]

Cantor's December 7, 1873 proof
Důkaz je rozporem a začíná tím, že se předpokládá, že reálná čísla jsou v ${ displaystyle [0,1]}$ lze zapsat jako sekvenci: ${ displaystyle ( mathrm {I}) ; ; omega _ {1}, , omega _ {2}, , omega _ {3}, , ldots, , omega _ { n}, , ldots}$ Zvyšující se sekvence je extrahována z této sekvence letováním ${ displaystyle omega _ {1} ^ {1} =}$ první termín ${ displaystyle, omega _ {1} ^ {2} =}$ následující největší termín následující ${ displaystyle omega _ {1} ^ {1}, omega _ {1} ^ {3} =}$ následující největší termín následující ${ displaystyle omega _ {1} ^ {2},}$ a tak dále. Stejný postup se použije na zbývající členy původní sekvence, aby se extrahovala další rostoucí sekvence. Pokračováním v tomto procesu extrakce sekvencí člověk uvidí sekvenci ${ displaystyle ( mathrm {I})}$ lze rozložit na nekonečně mnoho sekvencí:^[22] ${ displaystyle (1) ; ; omega _ {1} ^ {1}, , omega _ {1} ^ {2}, , omega _ {1} ^ {3}, , ldots, , omega _ {1} ^ {n}, , ldots}$ ${ displaystyle (2) ; ; omega _ {2} ^ {1}, , omega _ {2} ^ {2}, , omega _ {2} ^ {3}, , ldots, , omega _ {2} ^ {n}, , ldots}$ ${ displaystyle (3) ; ; omega _ {3} ^ {1}, , omega _ {3} ^ {2}, , omega _ {3} ^ {3}, , ldots, , omega _ {3} ^ {n}, , ldots}$ ${ displaystyle vdots}$ Nechat ${ displaystyle [p, q]}$ být interval takový, že v něm neleží žádný člen posloupnosti (1). Například nechte ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ uspokojit ${ displaystyle omega _ {1} ^ {1}$ Pak ${ displaystyle omega _ {1} ^ {1}$ pro ${ displaystyle n geq 2,}$ žádný termín posloupnosti (1) tedy není ${ displaystyle [p, q].}$ ^[22] Nyní zvažte, zda termíny ostatních sekvencí leží venku ${ displaystyle [p, q].}$ Všechny termíny některých z těchto sekvencí mohou ležet mimo ${ displaystyle [p, q];}$ nicméně musí existovat nějaká posloupnost, aby ne všechny její výrazy ležely venku ${ displaystyle [p, q].}$ Jinak čísla v ${ displaystyle [p, q]}$ by nebyly obsaženy v pořadí ${ displaystyle ( mathrm {I}),}$ na rozdíl od původní hypotézy. Nechte sekvenci ${ displaystyle (k)}$ být první sekvencí, která obsahuje výraz v ${ displaystyle [p, q]}$ a nechte ${ displaystyle omega _ {k} ^ {n}}$ být první termín. Od té doby ${ displaystyle p < omega _ {k} ^ {n}$ nechat ${ displaystyle p_ {1}}$ a ${ displaystyle q_ {1}}$ uspokojit ${ displaystyle p$ Pak ${ displaystyle [p, q]}$ je správná nadmnožina z ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}]}$ (v symbolech, ${ displaystyle [p, q] supsetneq [p_ {1}, q_ {1}]}$ ). Také pojmy sekvence ${ displaystyle (1), (2), ldots, (k-1)}$ lež mimo ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}].}$ ^[22] Opakujte výše uvedený argument počínaje ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}] !: ,}$ Nechte sekvenci ${ displaystyle (k_ {1})}$ být první sekvence obsahující výraz v ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}]}$ a nechte ${ displaystyle omega _ {k_ {1}} ^ {n}}$ být první termín. Od té doby ${ displaystyle p_ {1} < omega _ {k_ {1}} ^ {n}$ nechat ${ displaystyle p_ {2}}$ a ${ displaystyle q_ {2}}$ uspokojit ${ displaystyle p_ {1}$ Pak ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}] supsetneq [p_ {2}, q_ {2}]}$ a pojmy sekvencí ${ displaystyle (k_ {1}), ldots, (k_ {2} -1)}$ lež mimo ${ displaystyle [p_ {2}, q_ {2}].}$ ^[22] Jeden vidí, že je možné vytvořit nekonečný sled vnořených intervalů ${ displaystyle [p, q] supsetneq [p_ {1}, q_ {1}] supsetneq [p_ {2}, q_ {2}] supsetneq ldots}$ takové, že: členové ${ displaystyle 1 ^ {st}, 2 ^ {nd}, ldots, (k-1) ^ {st}}$ sekvence leží venku ${ displaystyle [p, q];}$ členové ${ displaystyle k ^ {th}, ldots, (k_ {1} -1) ^ {st}}$ sekvence leží venku ${ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}];}$ členové ${ displaystyle (k_ {1}) ^ {th}, ldots, (k_ {2} -1) ^ {st}}$ sekvence leží venku ${ displaystyle [p_ {2}, q_ {2}];}$ ${ displaystyle ldots;}$ ^[22] Od té doby ${ displaystyle p_ {n}}$ a ${ displaystyle q_ {n}}$ jsou ohraničený monotónní sekvence, limity ${ displaystyle lim _ {n až infty} p_ {n}}$ a ${ displaystyle lim _ {n až infty} q_ {n}}$ existovat. Taky, ${ displaystyle p_ {n}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ naznačuje ${ displaystyle lim _ {n to infty} p_ {n} leq lim _ {n to infty} q_ {n}.}$ Proto existuje alespoň jedno číslo ${ displaystyle eta}$ v ${ displaystyle (0,1)}$ to spočívá ve všech intervalech ${ displaystyle [p, q]}$ a ${ displaystyle [p_ {n}, q_ {n}].}$ A to, ${ displaystyle eta}$ může být libovolné číslo v ${ displaystyle [ lim _ {n to infty} p_ {n}, lim _ {n to infty} q_ {n}].}$ To z toho vyplývá ${ displaystyle eta}$ leží mimo všechny sekvence ${ displaystyle (1), (2), (3), ldots,}$ v rozporu s počáteční hypotézou této sekvence ${ displaystyle ( mathrm {I})}$ obsahuje všechna reálná čísla v ${ displaystyle [0,1].}$ Proto je množina všech reálných čísel nespočetná.^[22]

Dedekind obdržel Cantorův důkaz 8. prosince. Téhož dne Dedekind zjednodušil důkaz a poslal svůj důkaz Cantorovi. Cantor použil ve svém článku Dedekindův důkaz.^[25] Dopis obsahující Cantorův důkaz ze 7. prosince byl zveřejněn až v roce 1937.^[26]

9. prosince oznámil Cantor teorém, který mu umožňoval konstruovat transcendentální čísla a dokázat nespočet množiny reálných čísel:

Přímo ukazuji, že když začnu sekvencí
(1) ω₁, ω₂, ... , ω_n, ...
Mohu určit, v každý daný interval [α, β], číslo η to není zahrnuto v (1).^[27]

Toto je druhá věta v Cantorově článku. Vychází z toho, že si uvědomil, že jeho konstrukci lze použít na libovolnou sekvenci, nejen na sekvence, které údajně vyjmenovávají reálná čísla. Cantor měl tedy na výběr mezi dvěma důkazy, které prokazují existenci transcendentálních čísel: jeden důkaz je konstruktivní, ale druhý nikoli. Tyto dva důkazy lze porovnat tak, že začneme sekvencí skládající se ze všech reálných algebraických čísel.

Konstruktivní důkaz aplikuje Cantorovu konstrukci na tuto posloupnost a interval [A, b] k vytvoření transcendentálního čísla v tomto intervalu.^[5]

Konstruktivní důkaz používá dva důkazy v rozporu:

Důkaz rozporem použitý k prokázání věty o nespočetnosti (viz Důkaz Cantorovy věty o nepočitatelnosti ).
Důkaz rozporem slouží k prokázání existence transcendentních čísel z počitatelnosti reálných algebraických čísel a nepočítatelnosti reálných čísel. Cantorův 2. prosinec zmiňuje tento důkaz o existenci, ale neobsahuje jej. Tady je důkaz: Předpokládejme, že v [nejsou žádná transcendentální číslaA, b]. Pak všechna čísla v [A, b] jsou algebraické. To znamená, že tvoří a subsekvence posloupnosti všech reálných algebraických čísel, což je v rozporu s Cantorovou teorémem o nespočetnosti. Předpoklad, že v [nejsou žádná transcendentální čísla]A, b] je nepravdivé. Proto je v [A, b].^[H]

Cantor se rozhodl zveřejnit konstruktivní důkaz, který nejen produkuje transcendentální číslo, ale je také kratší a vyhne se dvěma důkazům rozporem. Nekonstruktivní důkaz z Cantorovy korespondence je jednodušší než ten výše, protože pracuje spíše se všemi reálnými čísly než s intervalem [A, b]. Tím se eliminuje krok posloupnosti a všechny výskyty [A, b] ve druhém důkazu rozporem.^[5]

Mylná představa o Cantorově práci

Akihiro Kanamori, který se specializuje na teorii množin, uvedl, že „Účty Cantorovy práce většinou zvrátily pořadí pro odvození existence transcendentních čísel, nejprve stanovily nepočitatelnost realit a teprve poté vyvodily závěr o existenci z počitatelnosti algebraických čísel. učebnicích může být inverze nevyhnutelná, ale to podpořilo mylnou představu, že Cantorovy argumenty nejsou konstruktivní. “^[29]

Cantorův publikovaný důkaz a důkaz v obráceném pořadí používají teorém: Vzhledem k posloupnosti realit lze najít skutečný plechovku, která není v posloupnosti. Použitím této věty na posloupnost reálných algebraických čísel vytvořil Cantor transcendentální číslo. Poté dokázal, že realita je nespočetná: Předpokládejme, že existuje sekvence obsahující všechny reality. Aplikování věty na tuto sekvenci vytvoří realitu, která není v sekvenci, což je v rozporu s předpokladem, že sekvence obsahuje všechny reals. Skutečnosti jsou tedy nepočítatelné.^[5] Důkaz v opačném pořadí začíná tím, že se nejprve prokáže, že realita je nespočetná. To pak dokazuje, že transcendentální čísla existují: Pokud by neexistovala žádná transcendentální čísla, všechny reálné by byly algebraické a tudíž spočetné, což je v rozporu s tím, co bylo právě prokázáno. Tento rozpor dokazuje, že transcendentální čísla existují, aniž by byla konstruována.^[29]

Oskar Perron, C. 1948

Korespondence obsahující Cantorovo nekonstruktivní uvažování byla zveřejněna v roce 1937. Do té doby další matematici znovuobjevili jeho nekonstruktivní důkaz v obráceném pořadí. Již v roce 1921 se tento důkaz nazýval „Cantorův důkaz“ a byl kritizován za to, že neprodukoval žádná transcendentální čísla.^[30] V tom roce Oskar Perron podal důkaz v opačném pořadí a poté uvedl: „... Cantorův důkaz existence transcendentálních čísel má spolu se svou jednoduchostí a elegancí velkou nevýhodu v tom, že jde pouze o důkaz existence; neumožňuje nám skutečně specifikovat ani jediné transcendentální číslo. “^[31]^[Já]

Abraham Fraenkel, mezi lety 1939 a 1949

Již v roce 1930 se někteří matematici pokoušeli napravit tuto mylnou představu o Cantorově díle. V tom roce teoretik množiny Abraham Fraenkel uvedl, že Cantorova metoda je „… metoda, která je mimochodem, na rozdíl od rozšířeného výkladu, v zásadě konstruktivní a není pouze existenční.“^[32] V roce 1972 Irving Kaplansky napsal: „Často se říká, že Cantorův důkaz není„ konstruktivní “, a tak nepřináší hmatatelné transcendentální číslo. Tato poznámka není oprávněná. Pokud vytvoříme definitivní seznam všech algebraických čísel ... a poté použijeme diagonální postup …, Dostaneme naprosto jednoznačné transcendentální číslo (lze jej vypočítat na libovolný počet desetinných míst). “^[33]^[J] Tento důkaz je nejen konstruktivní, ale je také jednodušší než nekonstruktivní důkaz, který poskytuje Perron, protože tento důkaz bere zbytečnou objížďku prvního prokazování, že množina všech realit je nespočetná.^[34]

Cantorova diagonální argumentace často nahradila jeho konstrukci z roku 1874 v expozicích jeho důkazu. Diagonální argument je konstruktivní a produkuje efektivnější počítačový program než jeho konstrukce z roku 1874. Pomocí něj byl napsán počítačový program, který počítá číslice transcendentálního čísla v polynomiální čas. Program, který využívá konstrukci Cantor 1874, vyžaduje minimálně subexponenciální čas.^[35]^[K]

Prezentace nekonstruktivního důkazu bez zmínky o Cantorově konstruktivním důkazu se objevuje v některých knihách, které byly docela úspěšné, měřeno délkou doby, kdy se objevila nová vydání nebo dotisky - například: Oskar Perron's Irrationalzahlen (1921; 1960, 4. vydání), Eric Temple Bell Muži z matematiky (1937; stále dotisk), Godfrey Hardy a E. M. Wrighta Úvod do Teorie čísel (1938; 6. vydání z roku 2008), Garrett Birkhoff a Saunders Mac Lane Průzkum Moderní algebra (1941; 1997, 5. vydání) a Michael Spivak Počet (1967; 2008, 4. vydání).^[36]^[L] Od roku 2014 se objevily nejméně dvě knihy, které uvádějí, že Cantorův důkaz je konstruktivní,^[37] a nejméně čtyři se objevili s tím, že jeho důkaz nevytváří žádný (nebo jediný) transcendentální.^[38]

Tvrdit, že Cantor uvedl nekonstruktivní argument, aniž by se zmínil o konstruktivním důkazu, který zveřejnil, může vést k chybným prohlášením o dějiny matematiky. v Průzkum moderní algebry, Birkhoff a Mac Lane uvádějí: „Cantorův argument pro tento výsledek [Ne každé skutečné číslo je algebraický] byl nejprve odmítnut mnoha matematiky, protože nevykazoval žádné konkrétní transcendentální číslo.“ ^[39] Důkaz, který Cantor zveřejnil, produkuje transcendentální čísla a zdá se, že neexistují žádné důkazy o tom, že jeho argument byl odmítnut. Dokonce Leopold Kronecker, který měl striktní názory na to, co je v matematice přijatelné a kdo mohl zpozdit publikaci Cantorova článku, to nezdržel.^[4] Ve skutečnosti aplikace Cantorovy konstrukce na posloupnost reálných algebraických čísel vytváří omezující proces, který Kronecker přijal - jmenovitě určuje počet na libovolnou požadovanou míru přesnosti.^[M]

Vliv Weierstrass a Kronecker na Cantorův článek

Karl Weierstrass

Leopold Kronecker, 1865

Historici matematiky objevili následující fakta o Cantorově článku „O majetku sbírky všech skutečných algebraických čísel“:

Cantorova věta o nepočítatelnosti byla vynechána z článku, který předložil. Přidal to během korektura.^[43]
Název článku odkazuje na množinu reálných algebraických čísel. The main topic in Cantor's correspondence was the set of real numbers.^[44]
The proof of Cantor's second theorem came from Dedekind. However, it omits Dedekind's explanation of why the limits A_∞ a b_∞ existovat.^[45]
Cantor restricted his first theorem to the set of real algebraic numbers. The proof he was using demonstrates the countability of the set of all algebraic numbers.^[20]

To explain these facts, historians have pointed to the influence of Cantor's former professors, Karl Weierstrass and Leopold Kronecker. Cantor discussed his results with Weierstrass on December 23, 1873.^[46] Weierstrass was first amazed by the concept of countability, but then found the countability of the set of real algebraic numbers useful.^[47] Cantor did not want to publish yet, but Weierstrass felt that he must publish at least his results concerning the algebraic numbers.^[46]

From his correspondence, it appears that Cantor only discussed his article with Weierstrass. However, Cantor told Dedekind: "The restriction which I have imposed on the published version of my investigations is caused in part by local circumstances …"^[46] Cantor biographer Joseph Dauben believes that "local circumstances" refers to Kronecker who, as a member of the editorial board of Crelle's Journal, had delayed publication of an 1870 article by Eduard Heine, one of Cantor's colleagues. Cantor would submit his article to Crelle's Journal.^[48]

Weierstrass advised Cantor to leave his uncountability theorem out of the article he submitted, but Weierstrass also told Cantor that he could add it as a marginal note during proofreading, which he did.^[43] Objevuje se v a remark at the end of the article's introduction. The opinions of Kronecker and Weierstrass both played a role here. Kronecker did not accept infinite sets, and it seems that Weierstrass did not accept that two infinite sets could be so different, with one being countable and the other not.^[49] Weierstrass changed his opinion later.^[50] Without the uncountability theorem, the article needed a title that did not refer to this theorem. Cantor chose "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers"), which refers to the countability of the set of real algebraic numbers, the result that Weierstrass found useful.^[51]

Kronecker's influence appears in the proof of Cantor's second theorem. Cantor used Dedekind's version of the proof except he left out why the limits A_∞ = lim_n → ∞ A_n a b_∞ = lim_n → ∞ b_n existovat. Dedekind had used his "principle of continuity" to prove they exist. This principle (which is equivalent to the least upper bound property of the real numbers) comes from Dedekind's construction of the real numbers, a construction Kronecker did not accept.^[52]

Cantor restricted his first theorem to the set of real algebraic numbers even though Dedekind had sent him a proof that handled all algebraic numbers.^[20] Cantor did this for expository reasons and because of "local circumstances."^[53] This restriction simplifies the article because the second theorem works with real sequences. Hence, the construction in the second theorem can be applied directly to the enumeration of the real algebraic numbers to produce "an effective procedure for the calculation of transcendental numbers." This procedure would be acceptable to Weierstrass.^[54]

Dedekind's contributions to Cantor's article

Richard Dedekind, C. 1870

Since 1856, Dedekind had developed theories involving infinitely many infinite sets—for example: ideály, which he used in algebraická teorie čísel, a Dedekind škrty, which he used to construct the real numbers. This work enabled him to understand and contribute to Cantor's work.^[55]

Dedekind's first contribution concerns the theorem that the set of real algebraic numbers is countable. Cantor is usually given credit for this theorem, but the mathematical historian José Ferreirós calls it "Dedekind's theorem." Their correspondence reveals what each mathematician contributed to the theorem.^[56]

In his letter introducing the concept of countability, Cantor stated without proof that the set of positive rational numbers is countable, as are sets of the form (A_{n₁, n₂, ..., n_ν}) kde n₁, n₂, ..., n_ν, a ν jsou kladná celá čísla.^[57] Cantor's second result uses an indexovaná rodina of numbers: a set of the form (A_{n₁, n₂, ..., n_ν}) is the range of a function from the ν indices to the set of real numbers. His second result implies his first: let ν = 2 and A_n₁, n₂ = n₁/n₂. The function can be quite general—for example, A_{n₁, n₂, n₃, n₄, n₅} = (n₁/n₂)^1/n₃ + opálení (n₄/n₅).

Dedekind replied with a proof of the theorem that the set of all algebraic numbers is countable.^[20] In his reply to Dedekind, Cantor did not claim to have proved Dedekind's result. He did indicate how he proved his theorem about indexed families of numbers: "Your proof that (n) [the set of positive integers] can be correlated one-to-one with the field of all algebraic numbers is approximately the same as the way I prove my contention in the last letter. I take n₁² + n₂² + ··· + n_ν² = ${ displaystyle { mathfrak {N}}}$ and order the elements accordingly."^[58] However, Cantor's ordering is weaker than Dedekind's and cannot be extended to ${ displaystyle n}$ -tuples of integers that include zeros.^[59]

Dedekind's second contribution is his proof of Cantor's second theorem. Dedekind sent this proof in reply to Cantor's letter that contained the uncountability theorem, which Cantor proved using infinitely many sequences. Cantor next wrote that he had found a simpler proof that did not use infinitely many sequences.^[60] So Cantor had a choice of proofs and chose to publish Dedekind's.^[61]

Cantor thanked Dedekind privately for his help: "… your comments (which I value highly) and your manner of putting some of the points were of great assistance to me."^[46] However, he did not mention Dedekind's help in his article. In previous articles, he had acknowledged help received from Kronecker, Weierstrass, Heine, and Hermann Schwarz. Cantor's failure to mention Dedekind's contributions damaged his relationship with Dedekind. Dedekind stopped replying to his letters and did not resume the correspondence until October 1876.^[62]^[N]

The legacy of Cantor's article

Cantor's article introduced the uncountability theorem and the concept of countability. Both would lead to significant developments in mathematics. The uncountability theorem demonstrated that one-to-one correspondences can be used to analyze infinite sets. In 1878, Cantor used them to define and compare cardinalities. He also constructed one-to-one correspondences to prove that the n-dimensional spaces Rⁿ (kde R is the set of real numbers) and the set of irrational numbers have the same cardinality as R.^[63]^[Ó]

In 1883, Cantor extended the positive integers with his infinite řadové. This extension was necessary for his work on the Cantor – Bendixsonova věta. Cantor discovered other uses for the ordinals—for example, he used sets of ordinals to produce an infinity of sets having different infinite cardinalities.^[65] His work on infinite sets together with Dedekind's set-theoretical work created set theory.^[66]

The concept of countability led to countable operations and objects that are used in various areas of mathematics. For example, in 1878, Cantor introduced countable odbory sad.^[67] V 90. letech 19. století Émile Borel used countable unions in his theory of measure, a René Baire used countable ordinals to define his classes of functions.^[68] Building on the work of Borel and Baire, Henri Lebesgue created his theories of opatření a integrace, which were published from 1899 to 1901.^[69]

Počitatelný modely are used in set theory. V roce 1922 Thoralf Skolem proved that if conventional axioms of set theory jsou konzistentní, then they have a countable model. Since this model is countable, its set of real numbers is countable. This consequence is called Skolemův paradox, and Skolem explained why it does not contradict Cantor's uncountability theorem: although there is a one-to-one correspondence between this set and the set of positive integers, no such one-to-one correspondence is a member of the model. Thus the model considers its set of real numbers to be uncountable, or more precisely, the first-order sentence that says the set of real numbers is uncountable is true within the model.^[70] V roce 1963 Paul Cohen used countable models to prove his nezávislost věty.^[71]

Viz také

Cantorova věta

Poznámky

^ In letter to Dedekind dated December 25, 1873, Cantor states that he has written and submitted "a short paper" titled On a Property of the Set of All Real Algebraic Numbers. (Noether & Cavaillès 1937, str. 17; Anglický překlad: Ewald 1996, str. 847.)
^ This implies the rest of the theorem — namely, there are infinitely many numbers in [A, b] that are not contained in the given sequence. Například nechte ${ displaystyle [0,1]}$ be the interval and consider its subintervals ${displaystyle [0,{ frac {1}{2}}],}$ ${displaystyle [{ frac {3}{4}},{ frac {7}{8}}],}$ ${displaystyle [{ frac {15}{16}},{ frac {31}{32}}],}$ ${displaystyle ldots .}$ Since these subintervals are párově disjunktní, applying the first part of the theorem to each subinterval produces infinitely many numbers in ${ displaystyle [0,1]}$ that are not contained in the given sequence. In general, for the interval ${ displaystyle [a, b],}$ apply the first part of the theorem to the subintervals ${displaystyle [a,a+{ frac {1}{2}}(b-a)],}$ ${displaystyle [a+{ frac {3}{4}}(b-a),a+{ frac {7}{8}}(b-a)],}$ ${displaystyle [a+{ frac {15}{16}}(b-a),a+{ frac {31}{32}}(b-a)],}$ ${displaystyle ldots .}$
^ Cantor does not prove this lemma. In a footnote for case 2, he states that X_n dělá ne lie in the interior of the interval [A_n, b_n].^[11] This proof comes from his 1879 proof, which contains a more complex inductive proof that demonstrates several properties of the intervals generated, including the property proved here.
^ The main difference between Cantor's proof and the above proof is that he generates the sequence of closed intervals [A_n, b_n]. Najít A_n + 1 a b_n + 1, používá interiér of the interval [A_n, b_n], which is the open interval (A_n, b_n). Generating open intervals combines Cantor's use of closed intervals and their interiors, which allows the case diagrams to depict all the details of the proof.
^ Cantor was not the first to define "everywhere dense" but his terminology was adopted with or without the "everywhere" (everywhere dense: Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, str. 15; dense: Kelley 1991, str. 49). V roce 1870 Hermann Hankel had defined this concept using different terminology: "a multitude of points … fill the segment if no interval, however small, can be given within the segment in which one does not find at least one point of that multitude" (Ferreirós 2007, str. 155). Hankel was building on Peter Gustav Lejeune Dirichlet 's 1829 article that contains the Dirichletova funkce, a non-(Riemann ) integrovatelná funkce whose value is 0 for racionální čísla a 1 pro iracionální čísla. (Ferreirós 2007, str. 149.)
^ Přeloženo z Cantor 1879, str. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P enthält. In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α . . . β) überall-dicht sei.
^ This is proved by generating a sequence of points belonging to both P a (C, d). Od té doby P is dense in [A, b], the subinterval (C, d) contains at least one point X₁ z P. By assumption, the subinterval (X₁, d) contains at least one point X₂ z P a X₂ > X₁ od té doby X₂ belongs to this subinterval. In general, after generating X_n, the subinterval (x_n, d) is used to generate a point X_n + 1 uspokojující X_n + 1 > X_n. The infinitely many points X_n belong to both P a (C, d).
^ The beginning of this proof is derived from the proof below by restricting its numbers to the interval [A, b] and by using a subsequence since Cantor was using sequences in his 1873 work on countability.
German text: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Zahlen algebraisch, das Kontinuum also identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht.^[28]
Translation: Theorem 68. There are transcendental numbers.
If there were no transcendental numbers, then all numbers would be algebraic. Proto je kontinuum would be identical to the set of all algebraic numbers. However, this is impossible because the set of all algebraic numbers is countable, but the continuum is not.
^ By "Cantor's proof," Perron does not mean that it is a proof published by Cantor. Rather, he means that the proof only uses arguments that Cantor published. For example, to obtain a real not in a given sequence, Perron follows Cantor's 1874 proof except for one modification: he uses Cantor's 1891 diagonal argument instead of his 1874 nested intervals argument to obtain a real. Cantor never used his diagonal argument to reprove this theorem. In this case, both Cantor's proof and Perron's proof are constructive, so no misconception can arise here. Then, Perron modifies Cantor's proof of the existence of a transcendental by giving the reverse-order proof. This converts Cantor's 1874 constructive proof into a non-constructive proof which leads to the misconception about Cantor's work.
^ This proof is the same as Cantor's 1874 proof except for one modification: it uses his 1891 diagonal argument instead of his 1874 nested intervals argument to obtain a real.
^ The program using the diagonal method produces ${ displaystyle n}$ číslice v ${displaystyle {color {Blue}O}(n^{2}log ^{2}nlog log n)}$ steps, while the program using the 1874 method requires at least ${displaystyle O(2^{sqrt[{3}]{n}})}$ steps to produce ${ displaystyle n}$ číslice. (Gray 1994, pp. 822–823.)
^ Starting with Hardy and Wright's book, these books are linked to Perron's book via their bibliographies: Perron's book is mentioned in the bibliography of Hardy and Wright's book, which in turn is mentioned in the bibliography of Birkhoff and Mac Lane's book and in the bibliography of Spivak's book. (Hardy & Wright 1938, str. 400; Birkhoff & Mac Lane 1941, str. 441; Spivak 1967, str. 515.)
^ Kronecker's opinion was: "Definitions must contain the means of reaching a decision in a finite number of steps, and existence proofs must be conducted so that the quantity in question can be calculated with any required degree of accuracy."^[40] So Kronecker would accept Cantor's argument as a valid existence proof, but he would not accept its conclusion that transcendental numbers exist. For Kronecker, they do not exist because their definition contains no means for deciding in a finite number of steps whether or not a given number is transcendental.^[41] Cantor's 1874 construction calculates numbers to any required degree of accuracy because: Given a k, an n can be computed such that b_n – A_n ≤ 1/k kde (A_n, b_n) je n-th interval of Cantor's construction. An example of how to prove this is given in Gray 1994, str. 822. Cantor's diagonal argument provides an accuracy of 10⁻ⁿ po n real algebraic numbers have been calculated because each of these numbers generates one digit of the transcendental number.^[42]
^ Ferreirós has analyzed the relations between Cantor and Dedekind. He explains why "Relations between both mathematicians were difficult after 1874, when they underwent an interruption…" (Ferreirós 1993, pp. 344, 348–352.)
^ Cantor's method of constructing a one-to-one correspondence between the set of irrational numbers and R can be used to construct one between the set of transcendental numbers and R.^[64] The construction begins with the set of transcendental numbers T and removes a countable podmnožina {t_n} (for example, t_n = E/n). Let this set be T₀. Pak T = T₀ ∪ {t_n} = T₀ ∪ {t_{2n – 1}} ∪ {t_2n}, a R = T ∪ {A_n} = T₀ ∪ {t_n} ∪ {A_n} kde A_n is the sequence of real algebraic numbers. So both T a R are the union of three pairwise disjoint sets: T₀ and two countable sets. A one-to-one correspondence between T a R is given by the function: G(t) = t -li t ∈ T₀, G(t_{2n – 1}) = t_n, a G(t_2n) = A_n.

Note: Cantor's 1879 proof

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Since Cantor's proof has not been published in English, an English translation is given alongside the original German text, which is from Cantor 1879, s. 5–7. The translation starts one sentence before the proof because this sentence mentions Cantor's 1874 proof. Cantor states it was printed in Borchardt's Journal. Crelle’s Journal was also called Borchardt’s Journal from 1856-1880 when Carl Wilhelm Borchardt edited the journal (Audin 2011, str. 80). Square brackets are used to identify this mention of Cantor's earlier proof, to clarify the translation, and to provide page numbers. Taky, "Mannichfaltigkeit" (manifold) has been translated to "set" and Cantor's notation for closed sets (α . . . β) has been translated to [α, β]. Cantor changed his terminology from Mannichfaltigkeit na Menge (set) in his 1883 article, which introduced sets of řadové číslovky (Kanamori 2012, str. 5). Currently in mathematics, a potrubí je typ topologický prostor.

anglický překlad	Německý text
[Page 5] . . . But this contradicts a very general theorem, which we have proved with full rigor in Borchardt's Journal, Vol. 77, page 260; namely, the following theorem: "If one has a simply [countably] infinite sequence ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . . of real, unequal numbers that proceed according to some rule, then in every given interval [α, β] a number η (and thus infinitely many of them) can be specified that does not occur in this sequence (as a member of it)." In view of the great interest in this theorem, not only in the present discussion, but also in many other arithmetical as well as analytical relations, it might not be superfluous if we develop the argument followed there [Cantor's 1874 proof] more clearly here by using simplifying modifications. Starting with the sequence: ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . . (which we give [denote by] the symbol (ω)) and an arbitrary interval [α, β], where α < β, we will now demonstrate that in this interval a real number η can be found that does ne occur in (ω). I. We first notice that if our set (ω) is not everywhere dense in the interval [α, β], then within this interval another interval [γ, δ] must be present, all of whose numbers do not belong to (ω). From the interval [γ, δ], one can then choose any number for η. It lies in the interval [α, β] and definitely does ne occur in our sequence (ω). Thus, this case presents no special considerations and we can move on to the more difficult případ. II. Let the set (ω) be everywhere dense in the interval [α, β]. In this case, every interval [γ,δ] located in [α,β], however small, contains numbers of our sequence (ω). To show that, nevertheless, numbers η in the interval [α, β] exist that do not occur in (ω), we employ the following observation. Since some numbers in our sequence: ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .	[Seite 5] . . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd. 77, pag. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz: "Hat man eine einfach unendliche Reihe ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt." V Anbetracht des Grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn , Unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln. Unter Zugrundelegung der Reihe: ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α.. β), wo α <β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω ) nicht vorkommt. I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α.. Β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ ... δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ.. δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α.. β) und kommt sicher in undrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen. II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α ... β) überall-dicht. V diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α ... β) gelegene Intervall (γ ... δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α ... β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an. Da v Unserer Reihe: ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
[Strana 6] určitě nastane v rámci interval [α, β], jedno z těchto čísel musí mít nejmenší index, nech to být ω_κ₁a další: ω_κ₂ s dalším větším indexem. Nechť menší ze dvou čísel ω_κ₁, ω_κ₂ být označen α ', větší β'. (Jejich rovnost je nemožná, protože jsme předpokládali, že naše posloupnost se skládá pouze z nerovných čísel.) Pak podle definice: α <α '<β' <β , dále: κ₁ <κ₂ ; a všechna čísla ω_μ naší sekvence, pro kterou μ ≤ κ₂, dělat ne leží ve vnitřku intervalu [α ', β'], jak je okamžitě zřejmé z definice čísel κ₁, κ₂. Podobně nechme ω_κ₃ a ω_κ₄ být dvě čísla naší posloupnosti s nejmenšími indexy, které spadají do interiér intervalu [α ', β'] a nechť menší z čísel ω_κ₃, ω_κ₄ být označen α '', větší β ''. Pak jeden má: α '<α' '<β' '<β' , κ₂ <κ₃ <κ₄ ; a jeden vidí, že všechna čísla ω_μ naší sekvence, pro kterou μ ≤ κ₄, dělat ne spadnout do interiér intervalu [α '', β '']. Poté, co jeden následoval toto pravidlo k dosažení intervalu [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}], další interval se vytvoří výběrem prvních dvou (tj. s nejnižšími indexy) čísel naší posloupnosti (ω) (nechť jsou ω_{κ_{2ν - 1}} a ω_{κ_2ν}), které spadají do interiér z [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]. Nechť menší z těchto dvou čísel je označeno α^(ν), čím větší o β^(ν). Interval [α^(ν), β^(ν)] pak leží v interiér všech předchozích intervalů a má charakteristický vztah s naší posloupností (ω), že všechna čísla ω_μ, pro které μ ≤ κ_2ν, rozhodně neležte v jeho interiéru. Protože samozřejmě: κ₁ <κ₂ <κ₃ <. . . , ω_{κ_{2ν - 2}} <ω_{κ_{2ν - 1}} <ω_{κ_2ν} , . . . a tato čísla jako indexy jsou Celý čísla, takže: κ_2ν ≥ 2ν , a tedy: ν <κ_2ν ; můžeme tedy určitě říci (a to je dostatečné pro následující): Že pokud ν je libovolné celé číslo, [skutečné] množství ω_ν leží mimo interval [α^(ν) . . . β^(ν)].	[Strana 6] sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α.. β) vorkommen, tak muss eine von diesen Zahlen den kleinsten index haben, sie sei ω_κ₁, und eine andere: ω_κ₂ mit dem nächst grösseren Index behaftet sein. Die kleinere der beiden Zahlen ω_κ₁, ω_κ₂ werde mit α ', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.) Es ist alsdann der Definice nach: α <α '<β' <β , Ferner: κ₁ <κ₂ ; und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω_μ Unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₂, nicht im Innern des Intervalls (α '.. β') Liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ₁, κ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indexy versehenen Zahlen unserer Reihen [viz poznámka 1 níže] sein, welche in das Innere des Intervalls (α '.. β') padli a zemřeli Kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α '', die grössere mit β '' bezeichnet. Mužský klobouk Alsdann: α '<α' '<β' '<β' , κ₂ <κ₃ <κ₄ ; und man erkennt, dass alle Zahlen ω_μ Unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₄ nicht v das Innere des Intervalls (α ''.. β '') padl. Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α^{(ν - 1)}, . . β^{(ν - 1)}) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω_{κ_{2ν - 1}} und ω_{κ_2ν}), welche in das Innere von (α^{(ν - 1)} . . . β^{(ν - 1)}) padlý; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α^(ν), die grössere mit β^(ν) bezeichnet. Das Intervall (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω_μ, für welche μ ≤ κ_2ν sicher nicht v seinem Innern Liegen. Da offenbar: κ₁ <κ₂ <κ₃ <. . . , ω_{κ_{2ν - 2}} <ω_{κ_{2ν - 1}} <ω_{κ_2ν} , . . . und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, tak ist: κ_2ν ≥ 2ν , und daher: ν <κ_2ν ; wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen: Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω_ν ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) Liegt.
[Strana 7] Protože čísla α ', α' ', α' '',. . ., α^(ν), . . se neustále zvyšují o hodnotu a současně jsou uzavřeny v intervalu [α, β], mají dobře známou základní teorémou teorie velikostí [viz poznámka 2 níže] limit, který označujeme A, takže : A = Lim α^(ν) pro ν = ∞. Totéž platí pro čísla β ', β' ', β' '',. . ., β^(ν), . ., které se neustále zmenšují a podobně leží v intervalu [α, β]. Říkáme jim limit B, takže: B = Lim β^(ν) pro ν = ∞. Je zřejmé, že jeden má: α^(ν) (ν). Je však snadné vidět, že případ A ne zde se vyskytují, protože jinak každé číslo ω_ν naší sekvence by lhala mimo intervalu [A, B] ležíním mimo interval [α^(ν), β^(ν)]. Takže naše posloupnost (ω) ano ne být všude hustá v intervalu [α, β], na rozdíl od předpokladu. Zůstává tedy pouze případ A = B a nyní se ukazuje, že číslo: η = A = B dělá ne vyskytují se v naší posloupnosti (ω). Pokud by to byl člen naší posloupnosti, například ν^th, pak bychom měli: η = ω_ν. *Druhá rovnice však není možná pro žádnou hodnotu ν, protože η je v interiér* intervalu [α^(ν), β^(ν)], ale ω_ν lži mimo toho.**	[Strana 7] Da die Zahlen α ', α' ', α' '',. . ., α^(ν), . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α.. β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass: A = Lim α^(ν) für ν = ∞. Ein Gleiches gilt für die Zahlen β ', β' ', β' '',. . ., β^(ν), . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α.. β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass: B = Lim β^(ν) für ν = ∞. Muž klobouk offenbar: α^(ν) (ν). Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, Unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A.. B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; Odpad Reihe (ω) wäre im Intervall (α. β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung. Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B v Unserer Reihe (ω) nicht vorkommt. Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν^te, takže hätte muž: η = ω_ν. *Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern* des Intervalls [α^(ν), β^(ν)], ω_ν aber ausserhalb desselben liegt.**
Poznámka 1: Toto je jediný výskyt „Unserer Reihen„(„ naše sekvence “) v důkazu. V Cantorově důkazu a všude jinde je zahrnuta pouze jedna sekvence“Reihe„(„ sequence “) is used, so it most likely to a typographical error and should be“Unserer Reihe„(„ naše sekvence “), což je způsob, jakým byla přeložena. Poznámka 2: Grössenlehre, který byl přeložen jako „teorie veličin“, je termín používaný německými matematiky 19. století, který odkazuje na teorii oddělený a kontinuální veličiny. (Ferreirós 2007, s. 41–42, 202.)

Reference

^ Dauben 1993, str. 4.
^ Gray 1994, str. 819–821.
^ ^A ^b Cantor 1874. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 840–843.
^ ^A ^b Gray 1994, str. 828.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Cantor 1874, str. 259. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 840–841.
^ Cantor 1874, str. 259. Anglický překlad: Gray 1994, str. 820.
^ Cantor 1878, str. 242.
^ Gray 1994, str. 820.
^ Cantor 1874, str. 259–260. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 841.
^ Cantor 1874, str. 260–261. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 841–842.
^ ^A ^b Cantor 1874, str. 261. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 842.
^ Gray 1994, str. 822.
^ Havil 2012, str. 208–209.
^ Havil 2012, str. 209.
^ LeVeque 1956, str. 154–155.
^ LeVeque 1956, str. 174.
^ Weisstein 2003, str. 541.
^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, str. 16.
^ Noether & Cavaillès 1937, s. 12–13. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827; Ewald 1996, str. 844.
^ ^A ^b ^C ^d Noether & Cavaillès 1937, str. 18. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 848.
^ Noether & Cavaillès 1937, str. 13. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Noether & Cavaillès 1937, s. 14–15. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845–846.
^ Gray 1994, str. 827
^ Dauben 1979, str. 51.
^ Noether & Cavaillès 1937, str. 19. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 849.
^ Ewald 1996, str. 843.
^ Noether & Cavaillès 1937, str. 16. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827.
^ Perron 1921, str. 162.
^ ^A ^b Kanamori 2012, str. 4.
^ Gray 1994, str. 827–828.
^ Perron 1921, str. 162
^ Fraenkel 1930, str. 237. Anglický překlad: Gray 1994, str. 823.
^ Kaplansky 1972, str. 25.
^ Gray 1994, str. 829–830.
^ Gray 1994, str. 821–824.
^ Bell 1937, str. 568–569; Hardy & Wright 1938, str. 159 (6. vydání, str. 205–206); Birkhoff a Mac Lane 1941, str. 392, (5. vydání, str. 436–437); Spivak 1967, str. 369–370 (4. vydání, str. 448–449).
^ Dasgupta 2014, str. 107; Sheppard 2014, str. 131–132.
^ Jarvis 2014, str. 18; Chowdhary 2015, str. 19; Stewart 2015, str. 285; Stewart & Tall 2015, str. 333.
^ Birkhoff a Mac Lane 1941, str. 392, (5. vydání, str. 436–437).
^ Burton 1995, str. 595.
^ Dauben 1979, str. 69.
^ Gray 1994, str. 824.
^ ^A ^b Ferreirós 2007, str. 184.
^ Noether & Cavaillès 1937, s. 12–16. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 843–846.
^ Dauben 1979, str. 67.
^ ^A ^b ^C ^d Noether & Cavaillès 1937, s. 16–17. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 847.
^ Grattan-Guinness 1971, str. 124.
^ Dauben 1979, str. 67, 308–309.
^ Ferreirós 2007, s. 184–185, 245.
^ Ferreirós 2007, str. 185: Není jasné, kdy se jeho postoj změnil, ale existují důkazy, že v polovině 80. let 20. století přijímal závěr, že nekonečné množiny mají různé pravomoci [kardinality].
^ Ferreirós 2007, str. 177.
^ Dauben 1979, s. 67–68.
^ Ferreirós 2007, str. 183.
^ Ferreirós 2007, str. 185.
^ Ferreirós 2007, s. 109–111, 172–174.
^ Ferreirós 1993, str. 349–350.
^ Noether & Cavaillès 1937, s. 12–13. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 844–845.
^ Noether & Cavaillès 1937, str. 13. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845.
^ Ferreirós 2007, str. 179.
^ Noether & Cavaillès 1937, s. 14–16, 19. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845–847, 849.
^ Ferreirós 1993, str. 358–359.
^ Ferreirós 1993, str. 350.
^ Cantor 1878, str. 245–254.
^ Cantor 1879, str. 4.
^ Ferreirós 2007, str. 267–273.
^ Ferreirós 2007, str. xvi, 320–321, 324.
^ Cantor 1878, str. 243.
^ Hawkins 1970, str. 103–106, 127.
^ Hawkins 1970, s. 118, 120–124, 127.
^ Ferreirós 2007, str. 362–363.
^ Cohen 1963, str. 1143–1144.

Bibliografie

Arkhangel'skii, A. V .; Fedorchuk, V. V. (1990), „Základní koncepty a konstrukce obecné topologie“, Archhangel'skii, A. V .; Pontryagin, L. S. (eds.), Obecná topologie I, New York, Berlín: Springer-Verlag, s. 1–90, ISBN 978-0-387-18178-3CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Audin, Michèle (2011), Vzpomínka na Sofya Kovalevskaya, Londýn: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Bell, Eric Temple (1937), Muži z matematiky, New York: Simon & Schuster, ISBN 978-0-671-62818-5CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders (1941), Průzkum moderní algebry, New York: Macmillan, ISBN 978-1-56881-068-3CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Burton, David M. (1995), Burtonova historie matematiky (3. vyd.), Dubuque, Iowa: William C. Brown, ISBN 978-0-697-16089-8CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Cantor, Georg (1874), „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 1874 (77): 258–262, doi:10,1515 / crll.1874,77,258CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Cantor, Georg (1878), „Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 1878 (84): 242–258, doi:10,1515 / crll.1878.84.242CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Cantor, Georg (1879), „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1.“, Mathematische Annalen (v němčině), 15: 1–7, doi:10.1007 / bf01444101CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Chowdhary, K. R. (2015), Základy diskrétních matematických struktur (3. vyd.), Dehli, Indie: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Cohen, Paul J. (1963), „Nezávislost hypotézy kontinua“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 50 (6): 1143–1148, Bibcode:1963PNAS ... 50.1143C, doi:10.1073 / pnas.50.6.1143, PMC 221287, PMID 16578557CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Dasgupta, Abhijit (2014), Teorie množin: S úvodem do sad reálných bodů, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: Jeho matematika a filozofie nekonečna, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, ISBN 978-0-674-34871-4CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Dauben, Joseph (1993), „Georg Cantor a bitva o teorii transfinitních množin“ (PDF), Sborník z konference 9. ACMSCS1 maint: ref = harv (odkaz).
Edwards, Harold M. (1989), „Kroneckerovy pohledy na základy matematiky“, Rowe, David E .; McCleary, John (eds.), Dějiny moderní matematiky, svazek 1, New York: Academic Press, str.67–77, ISBN 978-0-12-599662-4CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Ewald, William B., ed. (1996), Od Immanuela Kanta po Davida Hilberta: Kniha pramenů v základech matematiky, svazek 2, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Ferreirós, José (1993), „O vztazích mezi Georgem Cantorem a Richardem Dedekindem“, Historia Mathematica, 20 (4): 343–363, doi:10.1006 / hmat.1993.1030CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Ferreirós, José (2007), Labyrint myšlení: Historie teorie množin a její role v matematickém myšlení (2. přepracované vydání), Basilej: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Fraenkel, Abraham (1930), „Georg Cantor“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině), 39: 189–266CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Grattan-Guinness, Ivor (1971), „Korespondence mezi Georgem Cantorem a Philipem Jourdainem“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 73: 111–130CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Gray, Robert (1994), „Georg Cantor a transcendentní čísla“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 101 (9): 819–832, doi:10.2307/2975129, JSTOR 2975129, PAN 1300488, Zbl 0827.01004CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Hardy, Godfrey; Wright, E. M. (1938), Úvod do teorie číselOxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921985-8CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Havil, Julian (2012), IracionálníPrinceton, Oxford: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16353-6CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Hawkins, Thomas (1970), Lebesgueova teorie integrace, Madison, Wisconsin: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Jarvis, Frazer (2014), Algebraická teorie čísel, New York: Springer, ISBN 978-3-319-07544-0CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Kanamori, Akihiro (2012), „Teorie množin z Cantora na Cohena“ (PDF), v Gabbay, Dov M .; Kanamori, Akihiro; Woods, John H. (eds.), Sady a rozšíření ve dvacátém století, Amsterdam, Boston: Cambridge University Press, s. 1–71, ISBN 978-0-444-51621-3CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Kaplansky, Irving (1972), Nastavit teoretické a metrické prostory, Boston: Allyn a Bacon, ISBN 978-0-8284-0298-9CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Kelley, John L. (1991), Obecná topologie, New York: Springer, ISBN 978-3-540-90125-9CS1 maint: ref = harv (odkaz).
LeVeque, William J. (1956), Témata v teorii čísel, Já, Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-486-42539-9CS1 maint: ref = harv (odkaz). (Dotisk Dover Publications, 2002.)
Noether, Emmy; Cavaillès, Jean, eds. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (v němčině), Paris: HermannCS1 maint: ref = harv (odkaz).
Perron, Oskar (1921), Irrationalzahlen (v němčině), Lipsko, Berlín: W. de Gruyter, OCLC 4636376CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Sheppard, Barnaby (2014), Logika nekonečna, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-67866-8CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Spivak, Michael (1967), Počet, Londýn: W. A. Benjamin, ISBN 978-0914098911CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Stewart, Iane (2015), Galoisova teorie (4. vydání), Boca Raton, Florida: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Stewart, Ian; Vysoký, Davide (2015), Základy matematiky (2. vyd.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-870644-1CS1 maint: ref = harv (odkaz).
Weisstein, Eric W., vyd. (2003), „Continued Fraction“, CRC Stručná encyklopedie matematiky, Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-347-0CS1 maint: ref = harv (odkaz).

[3] In letter to Dedekind dated December 25, 1873, Cantor states that he has written and submitted "a short paper" titled On a Property of the Set of All Real Algebraic Numbers. (Noether & Cavaillès 1937, str. 17; Anglický překlad: Ewald 1996, str. 847.)

[11] This implies the rest of the theorem — namely, there are infinitely many numbers in [A, b] that are not contained in the given sequence. Například nechte ${ displaystyle [0,1]}$ be the interval and consider its subintervals ${displaystyle [0,{ frac {1}{2}}],}$ ${displaystyle [{ frac {3}{4}},{ frac {7}{8}}],}$ ${displaystyle [{ frac {15}{16}},{ frac {31}{32}}],}$ ${displaystyle ldots .}$ Since these subintervals are párově disjunktní, applying the first part of the theorem to each subinterval produces infinitely many numbers in ${ displaystyle [0,1]}$ that are not contained in the given sequence. In general, for the interval ${ displaystyle [a, b],}$ apply the first part of the theorem to the subintervals ${displaystyle [a,a+{ frac {1}{2}}(b-a)],}$ ${displaystyle [a+{ frac {3}{4}}(b-a),a+{ frac {7}{8}}(b-a)],}$ ${displaystyle [a+{ frac {15}{16}}(b-a),a+{ frac {31}{32}}(b-a)],}$ ${displaystyle ldots .}$

[14] Cantor does not prove this lemma. In a footnote for case 2, he states that X_n dělá ne lie in the interior of the interval [A_n, b_n].^[11] This proof comes from his 1879 proof, which contains a more complex inductive proof that demonstrates several properties of the intervals generated, including the property proved here.

[15] The main difference between Cantor's proof and the above proof is that he generates the sequence of closed intervals [A_n, b_n]. Najít A_n + 1 a b_n + 1, používá interiér of the interval [A_n, b_n], which is the open interval (A_n, b_n). Generating open intervals combines Cantor's use of closed intervals and their interiors, which allows the case diagrams to depict all the details of the proof.

[22] Cantor was not the first to define "everywhere dense" but his terminology was adopted with or without the "everywhere" (everywhere dense: Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, str. 15; dense: Kelley 1991, str. 49). V roce 1870 Hermann Hankel had defined this concept using different terminology: "a multitude of points … fill the segment if no interval, however small, can be given within the segment in which one does not find at least one point of that multitude" (Ferreirós 2007, str. 155). Hankel was building on Peter Gustav Lejeune Dirichlet 's 1829 article that contains the Dirichletova funkce, a non-(Riemann ) integrovatelná funkce whose value is 0 for racionální čísla a 1 pro iracionální čísla. (Ferreirós 2007, str. 149.)

[23] Přeloženo z Cantor 1879, str. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P enthält. In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α . . . β) überall-dicht sei.

[25] This is proved by generating a sequence of points belonging to both P a (C, d). Od té doby P is dense in [A, b], the subinterval (C, d) contains at least one point X₁ z P. By assumption, the subinterval (X₁, d) contains at least one point X₂ z P a X₂ > X₁ od té doby X₂ belongs to this subinterval. In general, after generating X_n, the subinterval (x_n, d) is used to generate a point X_n + 1 uspokojující X_n + 1 > X_n. The infinitely many points X_n belong to both P a (C, d).

[37] The beginning of this proof is derived from the proof below by restricting its numbers to the interval [A, b] and by using a subsequence since Cantor was using sequences in his 1873 work on countability.
German text: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Zahlen algebraisch, das Kontinuum also identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht.^[28]
Translation: Theorem 68. There are transcendental numbers.
If there were no transcendental numbers, then all numbers would be algebraic. Proto je kontinuum would be identical to the set of all algebraic numbers. However, this is impossible because the set of all algebraic numbers is countable, but the continuum is not.

[41] By "Cantor's proof," Perron does not mean that it is a proof published by Cantor. Rather, he means that the proof only uses arguments that Cantor published. For example, to obtain a real not in a given sequence, Perron follows Cantor's 1874 proof except for one modification: he uses Cantor's 1891 diagonal argument instead of his 1874 nested intervals argument to obtain a real. Cantor never used his diagonal argument to reprove this theorem. In this case, both Cantor's proof and Perron's proof are constructive, so no misconception can arise here. Then, Perron modifies Cantor's proof of the existence of a transcendental by giving the reverse-order proof. This converts Cantor's 1874 constructive proof into a non-constructive proof which leads to the misconception about Cantor's work.

[44] This proof is the same as Cantor's 1874 proof except for one modification: it uses his 1891 diagonal argument instead of his 1874 nested intervals argument to obtain a real.

[47] The program using the diagonal method produces ${ displaystyle n}$ číslice v ${displaystyle {color {Blue}O}(n^{2}log ^{2}nlog log n)}$ steps, while the program using the 1874 method requires at least ${displaystyle O(2^{sqrt[{3}]{n}})}$ steps to produce ${ displaystyle n}$ číslice. (Gray 1994, pp. 822–823.)

[49] Starting with Hardy and Wright's book, these books are linked to Perron's book via their bibliographies: Perron's book is mentioned in the bibliography of Hardy and Wright's book, which in turn is mentioned in the bibliography of Birkhoff and Mac Lane's book and in the bibliography of Spivak's book. (Hardy & Wright 1938, str. 400; Birkhoff & Mac Lane 1941, str. 441; Spivak 1967, str. 515.)

[56] Kronecker's opinion was: "Definitions must contain the means of reaching a decision in a finite number of steps, and existence proofs must be conducted so that the quantity in question can be calculated with any required degree of accuracy."^[40] So Kronecker would accept Cantor's argument as a valid existence proof, but he would not accept its conclusion that transcendental numbers exist. For Kronecker, they do not exist because their definition contains no means for deciding in a finite number of steps whether or not a given number is transcendental.^[41] Cantor's 1874 construction calculates numbers to any required degree of accuracy because: Given a k, an n can be computed such that b_n – A_n ≤ 1/k kde (A_n, b_n) je n-th interval of Cantor's construction. An example of how to prove this is given in Gray 1994, str. 822. Cantor's diagonal argument provides an accuracy of 10⁻ⁿ po n real algebraic numbers have been calculated because each of these numbers generates one digit of the transcendental number.^[42]

[77] Ferreirós has analyzed the relations between Cantor and Dedekind. He explains why "Relations between both mathematicians were difficult after 1874, when they underwent an interruption…" (Ferreirós 1993, pp. 344, 348–352.)

[80] Cantor's method of constructing a one-to-one correspondence between the set of irrational numbers and R can be used to construct one between the set of transcendental numbers and R.^[64] The construction begins with the set of transcendental numbers T and removes a countable podmnožina {t_n} (for example, t_n = E/n). Let this set be T₀. Pak T = T₀ ∪ {t_n} = T₀ ∪ {t_{2n – 1}} ∪ {t_2n}, a R = T ∪ {A_n} = T₀ ∪ {t_n} ∪ {A_n} kde A_n is the sequence of real algebraic numbers. So both T a R are the union of three pairwise disjoint sets: T₀ and two countable sets. A one-to-one correspondence between T a R is given by the function: G(t) = t -li t ∈ T₀, G(t_{2n – 1}) = t_n, a G(t_2n) = A_n.

[p-26] A ^b ^C ^d ^E ^F Since Cantor's proof has not been published in English, an English translation is given alongside the original German text, which is from Cantor 1879, s. 5–7. The translation starts one sentence before the proof because this sentence mentions Cantor's 1874 proof. Cantor states it was printed in Borchardt's Journal. Crelle’s Journal was also called Borchardt’s Journal from 1856-1880 when Carl Wilhelm Borchardt edited the journal (Audin 2011, str. 80). Square brackets are used to identify this mention of Cantor's earlier proof, to clarify the translation, and to provide page numbers. Taky, "Mannichfaltigkeit" (manifold) has been translated to "set" and Cantor's notation for closed sets (α . . . β) has been translated to [α, β]. Cantor changed his terminology from Mannichfaltigkeit na Menge (set) in his 1883 article, which introduced sets of řadové číslovky (Kanamori 2012, str. 5). Currently in mathematics, a potrubí je typ topologický prostor.
anglický překlad Německý text
[Page 5]
. . . But this contradicts a very general theorem, which we have proved with full rigor in Borchardt's Journal, Vol. 77, page 260; namely, the following theorem:
"If one has a simply [countably] infinite sequence
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
of real, unequal numbers that proceed according to some rule, then in every given interval [α, β] a number η (and thus infinitely many of them) can be specified that does not occur in this sequence (as a member of it)."
In view of the great interest in this theorem, not only in the present discussion, but also in many other arithmetical as well as analytical relations, it might not be superfluous if we develop the argument followed there [Cantor's 1874 proof] more clearly here by using simplifying modifications.
Starting with the sequence:
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
(which we give [denote by] the symbol (ω)) and an arbitrary interval [α, β], where α < β, we will now demonstrate that in this interval a real number η can be found that does ne occur in (ω).
I. We first notice that if our set (ω) is not everywhere dense in the interval [α, β], then within this interval another interval [γ, δ] must be present, all of whose numbers do not belong to (ω). From the interval [γ, δ], one can then choose any number for η. It lies in the interval [α, β] and definitely does ne occur in our sequence (ω). Thus, this case presents no special considerations and we can move on to the more difficult případ.
II. Let the set (ω) be everywhere dense in the interval [α, β]. In this case, every interval [γ,δ] located in [α,β], however small, contains numbers of our sequence (ω). To show that, nevertheless, numbers η in the interval [α, β] exist that do not occur in (ω), we employ the following observation.
Since some numbers in our sequence:
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
[Seite 5]
. . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd. 77, pag. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz:
"Hat man eine einfach unendliche Reihe
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt."
V Anbetracht des Grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn , Unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln.
Unter Zugrundelegung der Reihe:
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
(welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α.. β), wo α <β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω ) nicht vorkommt.
I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α.. Β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ ... δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ.. δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α.. β) und kommt sicher in undrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen.
II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α ... β) überall-dicht. V diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α ... β) gelegene Intervall (γ ... δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α ... β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an.
Da v Unserer Reihe:
ω₁, ω₂, . . , ω_ν, . . .
[Strana 6]
určitě nastane v rámci interval [α, β], jedno z těchto čísel musí mít nejmenší index, nech to být ω_κ₁a další: ω_κ₂ s dalším větším indexem.
Nechť menší ze dvou čísel ω_κ₁, ω_κ₂ být označen α ', větší β'. (Jejich rovnost je nemožná, protože jsme předpokládali, že naše posloupnost se skládá pouze z nerovných čísel.)
Pak podle definice:
α <α '<β' <β ,
dále:
κ₁ <κ₂ ;
a všechna čísla ω_μ naší sekvence, pro kterou μ ≤ κ₂, dělat ne leží ve vnitřku intervalu [α ', β'], jak je okamžitě zřejmé z definice čísel κ₁, κ₂. Podobně nechme ω_κ₃ a ω_κ₄ být dvě čísla naší posloupnosti s nejmenšími indexy, které spadají do interiér intervalu [α ', β'] a nechť menší z čísel ω_κ₃, ω_κ₄ být označen α '', větší β ''.
Pak jeden má:
α '<α' '<β' '<β' ,
κ₂ <κ₃ <κ₄ ;
a jeden vidí, že všechna čísla ω_μ naší sekvence, pro kterou μ ≤ κ₄, dělat ne spadnout do interiér intervalu [α '', β ''].
Poté, co jeden následoval toto pravidlo k dosažení intervalu [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}], další interval se vytvoří výběrem prvních dvou (tj. s nejnižšími indexy) čísel naší posloupnosti (ω) (nechť jsou ω_{κ_{2ν - 1}} a ω_{κ_2ν}), které spadají do interiér z [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]. Nechť menší z těchto dvou čísel je označeno α^(ν), čím větší o β^(ν).
Interval [α^(ν), β^(ν)] pak leží v interiér všech předchozích intervalů a má charakteristický vztah s naší posloupností (ω), že všechna čísla ω_μ, pro které μ ≤ κ_2ν, rozhodně neležte v jeho interiéru. Protože samozřejmě:
κ₁ <κ₂ <κ₃ <. . . , ω_{κ_{2ν - 2}} <ω_{κ_{2ν - 1}} <ω_{κ_2ν} , . . .
a tato čísla jako indexy jsou Celý čísla, takže:
κ_2ν ≥ 2ν ,
a tedy:
ν <κ_2ν ;
můžeme tedy určitě říci (a to je dostatečné pro následující):
Že pokud ν je libovolné celé číslo, [skutečné] množství ω_ν leží mimo interval [α^(ν) . . . β^(ν)].
[Strana 6]
sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α.. β) vorkommen, tak muss eine von diesen Zahlen den kleinsten index haben, sie sei ω_κ₁, und eine andere: ω_κ₂ mit dem nächst grösseren Index behaftet sein.
Die kleinere der beiden Zahlen ω_κ₁, ω_κ₂ werde mit α ', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)
Es ist alsdann der Definice nach:
α <α '<β' <β ,
Ferner:
κ₁ <κ₂ ;
und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω_μ Unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₂, nicht im Innern des Intervalls (α '.. β') Liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ₁, κ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indexy versehenen Zahlen unserer Reihen [viz poznámka 1 níže] sein, welche in das Innere des Intervalls (α '.. β') padli a zemřeli Kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α '', die grössere mit β '' bezeichnet.
Mužský klobouk Alsdann:
α '<α' '<β' '<β' ,
κ₂ <κ₃ <κ₄ ;
und man erkennt, dass alle Zahlen ω_μ Unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₄ nicht v das Innere des Intervalls (α ''.. β '') padl.
Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α^{(ν - 1)}, . . β^{(ν - 1)}) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω_{κ_{2ν - 1}} und ω_{κ_2ν}), welche in das Innere von (α^{(ν - 1)} . . . β^{(ν - 1)}) padlý; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α^(ν), die grössere mit β^(ν) bezeichnet.
Das Intervall (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω_μ, für welche μ ≤ κ_2ν sicher nicht v seinem Innern Liegen. Da offenbar:
κ₁ <κ₂ <κ₃ <. . . , ω_{κ_{2ν - 2}} <ω_{κ_{2ν - 1}} <ω_{κ_2ν} , . . .
und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, tak ist:
κ_2ν ≥ 2ν ,
und daher:
ν <κ_2ν ;
wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen:
Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω_ν ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) Liegt.
[Strana 7]
Protože čísla α ', α' ', α' '',. . ., α^(ν), . . se neustále zvyšují o hodnotu a současně jsou uzavřeny v intervalu [α, β], mají dobře známou základní teorémou teorie velikostí [viz poznámka 2 níže] limit, který označujeme A, takže :
A = Lim α^(ν) pro ν = ∞.
Totéž platí pro čísla β ', β' ', β' '',. . ., β^(ν), . ., které se neustále zmenšují a podobně leží v intervalu [α, β]. Říkáme jim limit B, takže:
B = Lim β^(ν) pro ν = ∞.
Je zřejmé, že jeden má:
α^(ν) (ν).
Je však snadné vidět, že případ A ne zde se vyskytují, protože jinak každé číslo ω_ν naší sekvence by lhala mimo intervalu [A, B] ležíním mimo interval [α^(ν), β^(ν)]. Takže naše posloupnost (ω) ano ne být všude hustá v intervalu [α, β], na rozdíl od předpokladu.
Zůstává tedy pouze případ A = B a nyní se ukazuje, že číslo:
η = A = B
dělá ne vyskytují se v naší posloupnosti (ω).
Pokud by to byl člen naší posloupnosti, například ν^th, pak bychom měli: η = ω_ν.
Druhá rovnice však není možná pro žádnou hodnotu ν, protože η je v interiér intervalu [α^(ν), β^(ν)], ale ω_ν lži mimo toho.
[Strana 7]
Da die Zahlen α ', α' ', α' '',. . ., α^(ν), . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α.. β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass:
A = Lim α^(ν) für ν = ∞.
Ein Gleiches gilt für die Zahlen β ', β' ', β' '',. . ., β^(ν), . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α.. β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass:
B = Lim β^(ν) für ν = ∞.
Muž klobouk offenbar:
α^(ν) (ν).
Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, Unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A.. B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; Odpad Reihe (ω) wäre im Intervall (α. β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung.
Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl:
η = A = B
v Unserer Reihe (ω) nicht vorkommt.
Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν^te, takže hätte muž: η = ω_ν.
Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α^(ν), β^(ν)], ω_ν aber ausserhalb desselben liegt.
Poznámka 1: Toto je jediný výskyt „Unserer Reihen„(„ naše sekvence “) v důkazu. V Cantorově důkazu a všude jinde je zahrnuta pouze jedna sekvence“Reihe„(„ sequence “) is used, so it most likely to a typographical error and should be“Unserer Reihe„(„ naše sekvence “), což je způsob, jakým byla přeložena.
Poznámka 2: Grössenlehre, který byl přeložen jako „teorie veličin“, je termín používaný německými matematiky 19. století, který odkazuje na teorii oddělený a kontinuální veličiny. (Ferreirós 2007, s. 41–42, 202.)

[1] Dauben 1993, str. 4.

[2] Gray 1994, str. 819–821.

[Cantor1874-4] A ^b Cantor 1874. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 840–843.

[Gray828-5] A ^b Gray 1994, str. 828.

[Ewald840_841-6] A ^b ^C ^d ^E Cantor 1874, str. 259. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 840–841.

[7] Cantor 1874, str. 259. Anglický překlad: Gray 1994, str. 820.

[8] Cantor 1878, str. 242.

[9] Gray 1994, str. 820.

[10] Cantor 1874, str. 259–260. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 841.

[12] Cantor 1874, str. 260–261. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 841–842.

[Ewald842-13] A ^b Cantor 1874, str. 261. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 842.

[16] Gray 1994, str. 822.

[17] Havil 2012, str. 208–209.

[18] Havil 2012, str. 209.

[19] LeVeque 1956, str. 154–155.

[20] LeVeque 1956, str. 174.

[21] Weisstein 2003, str. 541.

[24] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990, str. 16.

[27] Noether & Cavaillès 1937, s. 12–13. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827; Ewald 1996, str. 844.

[Noether18-28] A ^b ^C ^d Noether & Cavaillès 1937, str. 18. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 848.

[29] Noether & Cavaillès 1937, str. 13. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827.

[Dec7letter-30] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Noether & Cavaillès 1937, s. 14–15. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845–846.

[31] Gray 1994, str. 827

[32] Dauben 1979, str. 51.

[33] Noether & Cavaillès 1937, str. 19. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 849.

[34] Ewald 1996, str. 843.

[35] Noether & Cavaillès 1937, str. 16. Anglický překlad: Gray 1994, str. 827.

[36] Perron 1921, str. 162.

[Kanamori4-38] A ^b Kanamori 2012, str. 4.

[39] Gray 1994, str. 827–828.

[40] Perron 1921, str. 162

[42] Fraenkel 1930, str. 237. Anglický překlad: Gray 1994, str. 823.

[43] Kaplansky 1972, str. 25.

[45] Gray 1994, str. 829–830.

[46] Gray 1994, str. 821–824.

[48] Bell 1937, str. 568–569; Hardy & Wright 1938, str. 159 (6. vydání, str. 205–206); Birkhoff a Mac Lane 1941, str. 392, (5. vydání, str. 436–437); Spivak 1967, str. 369–370 (4. vydání, str. 448–449).

[50] Dasgupta 2014, str. 107; Sheppard 2014, str. 131–132.

[51] Jarvis 2014, str. 18; Chowdhary 2015, str. 19; Stewart 2015, str. 285; Stewart & Tall 2015, str. 333.

[52] Birkhoff a Mac Lane 1941, str. 392, (5. vydání, str. 436–437).

[53] Burton 1995, str. 595.

[54] Dauben 1979, str. 69.

[55] Gray 1994, str. 824.

[Ferreiros184-57] A ^b Ferreirós 2007, str. 184.

[58] Noether & Cavaillès 1937, s. 12–16. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 843–846.

[59] Dauben 1979, str. 67.

[Noether16_17-60] A ^b ^C ^d Noether & Cavaillès 1937, s. 16–17. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 847.

[61] Grattan-Guinness 1971, str. 124.

[62] Dauben 1979, str. 67, 308–309.

[63] Ferreirós 2007, s. 184–185, 245.

[64] Ferreirós 2007, str. 185: Není jasné, kdy se jeho postoj změnil, ale existují důkazy, že v polovině 80. let 20. století přijímal závěr, že nekonečné množiny mají různé pravomoci [kardinality].

[65] Ferreirós 2007, str. 177.

[66] Dauben 1979, s. 67–68.

[67] Ferreirós 2007, str. 183.

[68] Ferreirós 2007, str. 185.

[69] Ferreirós 2007, s. 109–111, 172–174.

[70] Ferreirós 1993, str. 349–350.

[71] Noether & Cavaillès 1937, s. 12–13. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 844–845.

[72] Noether & Cavaillès 1937, str. 13. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845.

[73] Ferreirós 2007, str. 179.

[74] Noether & Cavaillès 1937, s. 14–16, 19. Anglický překlad: Ewald 1996, str. 845–847, 849.

[75] Ferreirós 1993, str. 358–359.

[76] Ferreirós 1993, str. 350.

[78] Cantor 1878, str. 245–254.

[79] Cantor 1879, str. 4.

[81] Ferreirós 2007, str. 267–273.

[82] Ferreirós 2007, str. xvi, 320–321, 324.

[83] Cantor 1878, str. 243.

[84] Hawkins 1970, str. 103–106, 127.

[85] Hawkins 1970, s. 118, 120–124, 127.

[86] Ferreirós 2007, str. 362–363.

[87] Cohen 1963, str. 1143–1144.

[1]

[2]

[A]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[B]

[10]

[C]

[11]

[D]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[E]

[F]

[18]

[G]

[důkaz 1]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[H]

[29]

[30]

[31]

[Já]

[32]

[33]

[J]

[34]

[35]

[K]

[36]

[L]

[37]

[38]

[39]

[M]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[N]

[63]

[Ó]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[28]

[40]

[41]

[42]

[64]