Lineární kontinuum - Linear continuum
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Květen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematický pole teorie objednávek, a kontinuum nebo lineární kontinuum je zobecněním skutečná linie.
Formálně je lineární kontinuum a lineárně uspořádaná množina S více než jednoho prvku, který je hustě nařízeno, tj. mezi jakýmikoli dvěma odlišnými prvky existuje další (a tedy nekonečně mnoho dalších), a kompletní, tj. který „postrádá mezery“ v tom smyslu, že každý neprázdný podmnožina s horní hranice má nejmenší horní mez. Více symbolicky:
- S má vlastnost nejméně horní hranice, a
- Pro každého X v S a každý y v S s X < y, tady existuje z v S takhle X < z < y
A soubor má vlastnost nejméně horní meze, pokud má každá neprázdná podmnožina sady, která je ohraničena výše, nejmenší horní mez. Lineární kontinua jsou zvláště důležitá v oblasti topologie kde je lze použít k ověření, zda objednaná sada vzhledem k topologie objednávky je připojeno nebo ne.[1]
Na rozdíl od standardní reálné linie může být lineární kontinuum ohraničeno na obou stranách: například libovolná (skutečná) uzavřený interval je lineární kontinuum.
Příklady
- Objednaná sada reálná čísla, R, se svým obvyklým objednat je lineární kontinuum a je archetypálním příkladem. Vlastnost b) je triviální a vlastnost a) je jednoduše přeformulováním axiom úplnosti.
Příklady kromě reálných čísel:
- sady, které jsou řádově izomorfní do množiny reálných čísel, například reálných otevřený interval, a totéž s pootevřenými mezerami (všimněte si, že se nejedná o mezery ve výše uvedeném smyslu)
- the afinně rozšířený systém reálných čísel a řádově izomorfní množiny, například jednotkový interval
- množina reálných čísel s přidaným pouze + ∞ nebo pouze −∞ a řádově izomorfní množiny, například a polootevřený interval
- the dlouhá čára
- Sada Já × Já (kde × označuje kartézský součin a Já = [0, 1]) v lexikografický řád je lineární kontinuum. Vlastnost b) je triviální. Pro kontrolu vlastnosti a) definujeme mapu π1 : Já × Já → Já podle
- π1 (X, y) = X
- Tato mapa je známá jako projekční mapa. Projekční mapa je kontinuální (s respektem k topologie produktu na Já × Já) a je surjektivní. Nechat A být neprázdnou podmnožinou Já × Já který je ohraničen výše. Zvážit π1(A). Od té doby A je omezen výše, π1(A) musí být také ohraničen výše. Od té doby, π1(A) je podmnožinou Já, musí mít nejméně horní mez (od Já má vlastnost nejmenší horní meze). Proto můžeme nechat b být nejmenší horní mezí π1(A). Li b patří π1(A), pak b × Já protne se A řekněme b × C pro některé C ∈ Já. Všimněte si, že od té doby b × Já má to samé typ objednávky z Já, sada (b × Já) ∩ A skutečně bude mít nejméně horní hranici b × C', což je požadovaná nejmenší horní mez pro A.
- Li b nepatří π1(A), pak b × 0 je nejmenší horní hranice A, protože pokud d < b, a d × E je horní hranice A, pak d by byla menší horní hranice π1(A) než b, v rozporu s jedinečnou vlastností b.
Non-příklady
- Objednaná sada Q z racionální čísla není lineární kontinuum. I když je vlastnost b) uspokojena, vlastnost a) není. Zvažte podmnožinu
- A = {X ∈ Q | X < √2}
- množiny racionálních čísel. I když je tato množina výše omezena jakýmkoli racionálním číslem větším než √2 (například 3), nemá č nejmenší horní mez v racionálních číslech.[2] (Konkrétně pro jakoukoli racionální horní hranici r > √2, r/2 + 1/r je bližší racionální horní mez; podrobnosti na Metody výpočtu druhé odmocniny § Babylonská metoda.)
- Objednaná sada nezáporných celá čísla s jeho obvyklým řádem není lineární kontinuum. Majetek a) je spokojen (nech A být podmnožinou množiny nezáporných celých čísel, která je ohraničena výše. Pak A je konečný takže má maximum a toto maximum je požadovaná nejmenší horní hranice A). Na druhou stranu vlastnost b) není. Ve skutečnosti je 5 nezáporné celé číslo a také 6, ale neexistuje žádné nezáporné celé číslo, které by přesně mezi nimi leželo.
- Objednaná sada A nenulových reálných čísel
- A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
- není lineární kontinuum. Vlastnost b) je triviálně uspokojena. Pokud však B je sada záporných reálných čísel:
- B = (−∞, 0)
- pak B je podmnožinou A který je výše ohraničen (jakýmkoli prvkem z A větší než 0; například 1), ale nemá nejmenší horní mez v B. Všimněte si, že 0 není vázáno na B protože 0 není prvkem A.
- Nechat Z− označit množinu záporných celých čísel a nechat A = (0, 5) ∪ (5, + ∞). Nechat
- S = Z− ∪ A.
- Pak S nesplňuje ani vlastnost a) ani vlastnost b). Důkaz je podobný předchozím příkladům.
Topologické vlastnosti
I když jsou lineární kontinua důležitá při studiu objednané sady, mají aplikace v matematické oblasti topologie. Ve skutečnosti dokážeme, že objednaná sada v topologie objednávky je připojeno právě když jde o lineární kontinuum. Prokážeme jednu implikaci a druhou necháme jako cvičení. (Munkres vysvětluje druhou část důkazu v [3])
Teorém
Nechat X být uspořádanou sadou v topologii objednávky. Li X je tedy připojen X je lineární kontinuum.
Důkaz:
Předpokládejme to X a y jsou prvky X s X < y. Pokud existuje ne z v X takhle X < z < y, zvažte sady:
- A = (−∞, y)
- B = (X, +∞)
Tyto sady jsou disjunktní (Li A je v A, A < y takže pokud A je v B, A > X a A < y což je hypotéza nemožné), neprázdný (X je v A a y je v B) a otevřeno (v topologii pořadí) a jejich svaz je X. To je v rozporu s propojením X.
Nyní dokážeme vlastnost nejméně horní hranice. Li C je podmnožinou X který je ohraničen výše a nemá nejmenší horní mez, ať D být svazkem všech otevřené paprsky formuláře (b, + ∞) kde b je horní mez pro C. Pak D je otevřený (protože se jedná o sjednocení otevřených množin) a Zavřeno (li A není v D, pak A < b pro všechny horní meze b z C abychom si mohli vybrat q > A takhle q je v C (pokud žádný takový q existuje, A je nejmenší horní mez C), pak an otevřený interval obsahující A mohou být vybrány, které se neprotínají D). Od té doby D je neprázdné (existuje více než jedna horní hranice D protože kdyby byla přesně jedna horní mez s, s by byla nejmenší horní mez. Pak pokud b1 a b2 jsou dvě horní hranice D s b1 < b2, b2 bude patřit D), D a jeho doplněk společně tvoří a oddělení na X. To je v rozporu s propojením X.
Aplikace věty
1. Od objednané sady A = (−∞, 0) U (0, + ∞) není lineární kontinuum, je odpojeno.
2. Použitím věty se právě prokázala skutečnost R je připojen následuje. Vlastně jakékoli interval (nebo paprsek) dovnitř R je také připojen.
3. Sada celých čísel není lineárním kontinuem, a proto ji nelze spojit.
4. Ve skutečnosti, pokud je uspořádaná množina v topologii řádu lineárním kontinuem, musí být spojena. Protože jakýkoli interval v této sadě je také lineárním kontinuem, vyplývá z toho, že tento prostor je místně připojen protože má základ skládající se výhradně z propojených sad.
5. Příklad a topologický prostor to je lineární kontinuum, viz dlouhá čára.
Viz také
Reference
- ^ Munkres, James (2000). Topologie, 2. vyd. Pearson Education. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Hardy, G.H. (1952). Kurz čisté matematiky, 10. vydání. Cambridge University Press. str. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.
- ^ Munkres, James (2000). Topologie, 2. vyd. Pearson Education. str. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.