Vnořené intervaly - Nested intervals

4 členové posloupnosti vnořených intervalů

v matematika posloupnost vnořené intervaly je chápán jako soubor množin reálných čísel

Já_n

takové, že každá sada Já_n je interval skutečné čáry, pro n = 1, 2, 3, ..., a to dále

Já_{n + 1} je podmnožinou Já_n

pro všechny n. Jinými slovy, intervaly se zmenšují, přičemž levý konec se pohybuje pouze směrem doprava a pravý konec pouze doleva.

Hlavní otázkou, kterou je třeba položit, je povaha průsečík ze všech Já_n. Bez dalších informací lze říci jen to, že křižovatka J ze všech Já_n, tj. množina všech bodů společných pro intervaly, je buď prázdná sada, bod nebo nějaký interval.

Možnost prázdné křižovatky lze ilustrovat na křižovatce, když Já_n je otevřený interval

(0, 2⁻ⁿ).

Tady je křižovatka prázdná, protože žádné číslo X je větší než 0 a menší než každá zlomek 2⁻ⁿ.

Situace je jiná uzavřené intervaly. The věta o vnořených intervalech uvádí, že pokud každý Já_n je uzavřený a ohraničený interval, řekněme

Já_n = [A_n, b_n]

s

A_n ≤ b_n

pak za předpokladu hnízdění průsečík Já_n není prázdný. Může to být singletonová sada {C} nebo jiný uzavřený interval [A, b]. Přesněji řečeno, požadavek vnoření to znamená

A_n ≤ A_{n + 1}

a

b_n ≥ b_{n + 1}.

Navíc, pokud délka intervalů konverguje k 0, pak průsečík Já_n je singleton.

Lze uvažovat doplněk každého intervalu, zapsaný jako ${displaystyle (-infty, a_ {n}) cup (b_ {n}, infty)}$. Podle De Morganovy zákony, doplňkem křižovatky je spojení dvou disjunktních otevřených množin. Podle propojenost z skutečná linie něco mezi nimi musí být. To ukazuje, že křižovatka (i nespočet počet) vnořených, uzavřených a ohraničených intervalů je neprázdné.

Vyšší rozměry

Ve dvou dimenzích je podobný výsledek: vnořený uzavřené disky v rovině musí mít společný průnik. Tento výsledek ukázal Hermann Weyl klasifikovat singulární chování určitých diferenciální rovnice.

Viz také

• Bisection
• Cantorova věta o křižovatce

Reference

• Fridy, J. A. (2000), „3.3 Věta o vnořených intervalech“, Úvodní analýza: Teorie počtu, Academic Press, s. 29, ISBN  9780122676550.
• Shilov, Georgi E. (2012), „1.8 Princip vnořených intervalů“, Základní reálná a komplexní analýza „Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, s. 21–22, ISBN  9780486135007.
• Sohrab, Houshang H. (2003), „Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem)“, Základní reálná analýza, Springer, str. 45, ISBN  9780817642112.