Stewartova věta - Stewarts theorem - Wikipedia

v geometrie, Stewartova věta poskytuje vztah mezi délkami stran a délkou a cevian v trojúhelníku. Jeho jméno je na počest skotského matematika Matthew Stewart, který teorém publikoval v roce 1746.^[1]

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, a ${ displaystyle c}$ být délky stran trojúhelníku. Nechat ${ displaystyle d}$ být délka a cevian na stranu délky ${ displaystyle a}$. Pokud cevian rozděluje stranu délky ${ displaystyle a}$ do dvou segmentů délky ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$, s ${ displaystyle m}$ přilehlý k ${ displaystyle c}$ a ${ displaystyle n}$ přilehlý k ${ displaystyle b}$, pak to říká Stewartova věta

${ displaystyle b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}$

Věta může být napsána symetrickěji pomocí znaménkových délek segmentů. To znamená, vezměte si délku AB být pozitivní nebo negativní podle toho, zda A je nalevo nebo napravo od B v nějaké pevné orientaci čáry. V této formulaci věta uvádí, že pokud A, B, a C jsou kolineární body a P je tedy jakýkoli bod

${ displaystyle PA ^ {2} cdot BC + PB ^ {2} cdot CA + PC ^ {2} cdot AB + AB cdot BC cdot CA = 0.}$^[2]

Ve zvláštním případě je cevian medián (to znamená, že rozděluje opačnou stranu na dva segmenty stejné délky), výsledek je znám jako Apollóniova věta.

Běžná mnemotechnická pomůcka používaná studenty k zapamatování věty je: Muž a jeho otec umístili bombu do umyvadla (muž + otec = bmb + cnc)

Důkaz

Věta může být prokázána jako aplikace zákon kosinů.^{[3][je zapotřebí lepší zdroj ]}

Nechat θ být úhel mezi m a d a θ ' the úhel mezi n a d. Pak θ ' je doplněk z θa tak cos θ ' = −cos θ. Použití zákona kosinů ve dvou malých trojúhelnících pomocí úhlů θ a θ ' vyrábí

${ displaystyle { begin {zarovnáno} c ^ {2} & = m ^ {2} + d ^ {2} -2dm cos theta b ^ {2} & = n ^ {2} + d ^ {2} -2dn cos theta ' & = n ^ {2} + d ^ {2} + 2dn cos theta. , End {zarovnáno}}}$

Vynásobení první rovnice n a třetí rovnice m a jejich přidání vylučuje cos θ. Jeden získá

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & b ^ {2} m + c ^ {2} n & = nm ^ {2} + n ^ {2} m + (m + n) d ^ {2} & = (m + n) (mn + d ^ {2}) & = a (mn + d ^ {2}), end {zarovnáno}}}$

což je požadovaná rovnice.

Alternativně lze větu dokázat nakreslením kolmice z vrcholu trojúhelníku na základnu a pomocí Pythagorova věta psát vzdálenosti b, C, a d z hlediska nadmořské výšky. Levá a pravá strana rovnice se potom algebraicky redukují na stejný výraz.^[2]

Dějiny

Podle Hutton a Gregory (1843, str. 220), Stewart zveřejnil výsledek v roce 1746, kdy byl kandidátem na nahrazení Colin Maclaurin jako profesor matematiky na univerzitě v Edinburghu. Coxeter & Greitzer (1967, str. 6) uveďte, že výsledek byl pravděpodobně znám Archimedes kolem roku 300 př. n. l. Pokračují (mylně), že první známý důkaz poskytl R. Simson v roce 1751. Hutton a Gregory (1843) uvádí, že výsledek používá Simson v roce 1748 a Simpson v roce 1752 a jeho první vystoupení v Evropě je dáno Lazare Carnot v roce 1803.

Viz také

• Geometrie hmotného bodu

Poznámky

Reference

• Coxeter, H.S.M .; Greitzer, S.L. (1967), Geometrie Revisited, New Mathematical Library # 19, The Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-619-0
• Hutton, C .; Gregory, O. (1843), Kurz matematiky, II, Longman, Orme & Co.
• Russell, John Wellesley (1905), „Kapitola 1 §3: Stewartova věta“, Čistá geometrie, Clarendon Press, OCLC  5259132

Další čtení

• I.S Amarasinghe, Řešení problému 43.3: Stewartova věta (A Nový důkaz pro Stewartovu větu pomocí Ptolemaiovy věty), Matematické spektrum, Sv 43(03)138, 139, 2011.
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometrie podle její historie, Springer, str. 112, ISBN  978-3-642-29162-3

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Stewartova věta“. MathWorld.
• Stewartova věta na PlanetMath.