Holomorfní vektorový svazek - Holomorphic vector bundle

v matematika, a holomorfní vektorový svazek je komplexní vektorový svazek přes komplexní potrubí $X$ tak, že celkový prostor $E$ je komplexní potrubí a projekční mapa $π: E \to X$ je holomorfní. Základní příklady jsou holomorfní tangentní svazek komplexního potrubí a jeho duální, holomorfní kotangensový svazek. A svazek holomorfní linie je holomorfní vektorový svazek první úrovně.

Serre SENILNÍ, kategorie holomorfních vektorových svazků na a hladký komplex projektivní rozmanitost X (nahlíženo jako na komplexní potrubí) je ekvivalentní s kategorií algebraické vektorové svazky (tj., místně zdarma snopy konečné hodnosti) dne X.

Definice prostřednictvím bagatelizace

Jeden konkrétně vyžaduje, aby trivializace mapovala

{displaystyle phi _ {U}: pi ^ {- 1} (U) o U imes mathbf {C} ^ {k}}

jsou biholomorfní mapy. To odpovídá požadavku, aby přechodové funkce

{displaystyle t_ {UV}: Ucap V o mathrm {GL} _ {k} (mathbf {C})}

jsou holomorfní mapy. Holomorfní struktura na tangenciálním svazku složitého potrubí je zaručena poznámkou, že derivát (v příslušném smyslu) holomorfní funkce s vektorovou hodnotou je sám o sobě holomorfní.

Svazek holomorfních úseků

Nechat $E$ být holomorfní vektorový svazek. A místní sekce $s : U \to E | U$ se říká, že je holomorfní pokud v sousedství každého bodu $U$ , je holomorfní v nějaké (ekvivalentně jakékoli) bagatelizaci.

Tato podmínka je místní, což znamená, že holomorfní řezy tvoří a snop na $X$ . Tento svazek je někdy označován ${displaystyle {mathcal {O}} (E).}$ Takový svazek je vždy lokálně prostý stejné hodnosti jako hodnost vektorového svazku. Li $E$ je triviální svazek řádků ${displaystyle {underline {mathbf {C}}},}$ pak se tento svazek shoduje s struktura svazek ${displaystyle {mathcal {O}} _ {X}}$ komplexního potrubí $X$ .

Základní příklady

Existují svazky řádků ${displaystyle {mathcal {O}} (k)}$ přes ${displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$ jehož globální úseky odpovídají homogenním polynomům stupně ${displaystyle k}$ (pro ${displaystyle k}$ kladné celé číslo). Zejména, ${displaystyle k = 0}$ odpovídá triviálnímu svazku řádků. Vezmeme-li krytinu ${displaystyle U_ {i} = {[x_ {0}: cdots: x_ {n}]: x_ {i} eq 0}}$ pak můžeme najít grafy ${displaystyle phi _ {i}: U_ {i} o mathbb {C} ^ {n}}$ definován

${displaystyle phi _ {i} ([x_ {0}: cdots: x_ {i}: cdots: x_ {n}]) = left ({frac {x_ {0}} {x_ {i}}}, ldots, {frac {x_ {i-1}} {x_ {i}}}, {frac {x_ {i + 1}} {x_ {i}}}, ldots, {frac {x_ {n}} {x_ {i }}} ight) = mathbb {C} _ {i} ^ {n}}$

Můžeme vytvořit přechodové funkce ${displaystyle phi _ {ij} | _ {U_ {i} cap U_ {j}}: mathbb {C} _ {i} ^ {n} cap phi _ {i} (U_ {i} cap U_ {j}) o mathbb {C} _ {j} ^ {n} cap phi _ {j} (U_ {i} cap U_ {j})}$ definován

${displaystyle phi _ {ij} = phi _ {i} circ phi _ {j} ^ {- 1} (z_ {1}, ldots, z_ {n}) = left ({frac {z_ {1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ {i-1}} {z_ {i}}}, {frac {z_ {i + 1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ {j}} {z_ {i}}}, {frac {1} {z_ {j}}}, {frac {z_ {j + 1}} {z_ {i}}}, ldots, {frac {z_ { n}} {z_ {i}}} hned)}$

Pokud vezmeme v úvahu triviální svazek ${displaystyle L_ {i} = phi _ {i} (U_ {i}) imes mathbb {C}}$ můžeme vytvořit indukované přechodové funkce ${displaystyle psi _ {i, j}}$ . Použijeme-li souřadnici ${displaystyle z}$ na vlákně pak můžeme vytvořit přechodové funkce

${displaystyle psi _ {i, j} ((z_ {1}, ldots, z_ {n}), z) = left (phi _ {i, j} (z_ {1}, ldots, z_ {n}), {frac {z_ {i} ^ {k}} {z_ {j} ^ {k}}} cdot zight)}$

pro jakékoli celé číslo ${displaystyle k}$ . Každý z nich je spojen s řadovým svazkem ${displaystyle {mathcal {O}} (k)}$ . Vzhledem k tomu, že se vektorové svazky nutně stahují zpět, jakýkoli holomorfní podrozměr ${displaystyle f: X o mathbb {CP} ^ {n}}$ má přidružený svazek řádků ${displaystyle f ^ {*} ({mathcal {O}} (k))}$ , někdy označován ${displaystyle {mathcal {O}} (k) | _ {X}}$ .

Operátoři Dolbeault

Předpokládat $E$ je holomorfní vektorový svazek. Pak existuje rozlišující operátor ${displaystyle {ar {částečné}} _ {E}}$ definováno následovně. V místní trivializaci ${displaystyle U_ {alpha}}$ z $E$ , s místním rámem ${displaystyle e_ {1}, tečky, e_ {n}}$ , může být napsána libovolná část ${displaystyle s = součet _ {i} s ^ {i} e_ {i}}$ pro některé plynulé funkce ${displaystyle s ^ {i}: U_ {alpha} o mathbb {C}}$ .Definujte operátora lokálně pomocí

{displaystyle {ar {částečné}} _ {E} (s): = součet _ {i} {ar {částečný}} (s ^ {i}) často e_ {i}}

kde ${displaystyle {ar {částečný}}}$ je pravidelný Cauchy-Riemannův operátor základního potrubí. Tento operátor je ve všech dobře definován $E$ protože na překrytí dvou trivializací ${displaystyle U_ {alpha}, U_ {eta}}$ s holomorfní přechodovou funkcí ${displaystyle g_ {alpha eta}}$ , pokud ${displaystyle s = s ^ {i} e_ {i} = {ilde {s}} ^ {j} f_ {j}}$ kde ${displaystyle f_ {j}}$ je místní rámec pro $E$ na ${displaystyle U_ {eta}}$ , pak ${displaystyle s ^ {i} = součet _ {j} (g_ {alpha eta}) _ {j} ^ {i} {ilde {s}} ^ {j}}$ a tak

{displaystyle {ar {částečný}} (s ^ {i}) = součet _ {j} (g_ {alpha eta}) _ {j} ^ {i} {ar {částečný}} ({ilde {s}} ^ {j})}

protože přechodové funkce jsou holomorfní. To vede k následující definici: A Operátor Dolbeault na hladkém komplexním vektorovém svazku ${displaystyle E o M}$ je ${displaystyle mathbb {C}}$ -lineární operátor

{displaystyle {ar {partial}} _ {E}: Gamma (E) o Omega ^ {0,1} (M) otimes Gamma (E)}

takhle

(Podmínka Cauchy-Riemann) ${displaystyle {ar {partial}} _ {E} ^ {2} = 0}$ ,
(Leibnizovo pravidlo) Pro jakoukoli sekci ${displaystyle sin Gamma (E)}$ a funkce ${displaystyle f}$ na ${displaystyle M}$ , jeden má

{displaystyle {ar {částečné}} _ {E} (fs) = {ar {částečné}} (f) jiné s + f {ar {částečné}} _ {E} (s)}

.

Aplikací Newlander-Nirenbergova věta, získá se konverzace na konstrukci Dolbeaultova operátora holomorfního svazku:^[1]

Teorém: Vzhledem k operátorovi Dolbeault ${displaystyle {ar {částečné}} _ {E}}$ na hladkém komplexním vektorovém svazku ${displaystyle E}$ , je na něm jedinečná holomorfní struktura ${displaystyle E}$ takhle ${displaystyle {ar {částečné}} _ {E}}$ je přidružený operátor Dolbeault, jak je zkonstruován výše.

S ohledem na holomorfní strukturu vyvolanou operátorem Dolbeault ${displaystyle {ar {částečné}} _ {E}}$ , hladký řez ${displaystyle sin Gamma (E)}$ je holomorfní právě tehdy ${displaystyle {ar {partial}} _ {E} (s) = 0}$ . Toto je morálně podobné definici plynulého nebo složitého potrubí jako a prstencový prostor. Jmenovitě stačí určit, které funkce na a topologické potrubí jsou hladké nebo složité, aby bylo možné je naplnit hladkou nebo složitou strukturou.

Operátor Dolbeault má lokální inverzi, pokud jde o operátor homotopy.^[2]

Snopy forem s hodnotami ve svazku holomorfních vektorů

Li ${displaystyle {mathcal {E}} _ {X} ^ {p, q}}$ označuje svazek $C \infty$ diferenciální formy typu $(p, q)$ , pak svazek typu $(p, q)$ formuláře s hodnotami v $E$ lze definovat jako tenzorový produkt

{displaystyle {mathcal {E}} ^ {p, q} (E) riangleq {mathcal {E}} _ {X} ^ {p, q} často E.}

Tyto snopy jsou pokuta, což znamená, že přiznávají rozdělení jednoty Základní rozdíl mezi hladkými a holomorfními vektorovými svazky je v tom, že v posledně jmenovaném existuje kanonický diferenciální operátor, daný Operátor Dolbeault definováno výše:

{displaystyle {overline {partial}} _ {E}: {mathcal {E}} ^ {p, q} (E) o {mathcal {E}} ^ {p, q + 1} (E).}

Kohomologie holomorfních vektorových svazků

Li $E$ je holomorfní vektorový svazek, cohomologie $E$ je definován jako svazek kohomologie z ${displaystyle {mathcal {O}} (E)}$ . Zejména máme

{displaystyle H ^ {0} (X, {mathcal {O}} (E)) = Gamma (X, {mathcal {O}} (E)),}

prostor globálních holomorfních úseků $E$ . Také to máme ${displaystyle H ^ {1} (X, {mathcal {O}} (E))}$ parametrizuje skupinu rozšíření triviálního řádku svazku $X$ podle $E$ , to znamená, přesné sekvence holomorfních vektorových svazků $0 \to E \to F \to X \times C \to 0$ . Pro strukturu skupiny viz také Baerova suma stejně jako prodloužení svazku.

Podle Dolbeaultova věta, tuto svazek cohomology lze alternativně popsat jako cohomology z řetězový komplex definované svazky forem s hodnotami v holomorfním svazku ${displaystyle E}$ . Jmenovitě máme

{displaystyle H ^ {i} (X, {mathcal {O}} (E)) = H ^ {i} (({mathcal {E}} ^ {0, ullet} (E), {ar {částečné}} _{E})).}

Skupina Picard

V kontextu složité diferenciální geometrie skupina Picard $Obrázek (X)$ komplexního potrubí $X$ je skupina tříd izomorfismu svazků holomorfních linií se zákonem skupiny daným tenzorovým součinem a inverzí danou dualizací. Lze jej ekvivalentně definovat jako první kohomologickou skupinu ${displaystyle H ^ {1} (X, {mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}$ svazku nemizejících holomorfních funkcí.

Hermitovské metriky na holomorfním vektorovém svazku

Nechat E být holomorfním vektorovým svazkem na složitém potrubí M a předpokládejme, že existuje poustevnická metrika na E; to znamená vlákna E_X jsou vybaveny vnitřními produkty <·, ·>, které se plynule mění. Pak existuje jedinečný spojení ∇ zapnuto E který je kompatibilní jak se složitou strukturou, tak s metrickou strukturou nazývanou Chern spojení; to znamená, že ∇ je takové spojení

(1) Pro všechny hladké profily s z E,

{displaystyle pi _ {0,1} abla s = {ar {částečné}} _ {E} s}

kde π_0,1 vezme (0, 1) -komponentu z E-hodnota 1-forma.

(2) Pro všechny hladké profily s, t z E a vektorové pole X na M,

{displaystyle Xcdot langle s, tangle = langle abla _ {X} s, tangle + langle s, abla _ {X} tangle}

kde jsme psali

{displaystyle abla _ {X} s}

pro kontrakce z

{displaystyle abla s}

podle X. (To odpovídá tvrzení, že paralelní doprava od ∇ zachovává metriku <·, ·>.)

Opravdu, pokud u = (E₁, …, E_n) je holomorfní rám, pak nechte ${displaystyle h_ {ij} = jazyk e_ {i}, e_ {j} úhel}$ a definovat ω_u podle rovnice ${displaystyle sum h_ {ik}, {(omega _ {u})} _ {j} ^ {k} = částečný h_ {ij}}$ , které píšeme jednodušeji jako:

{displaystyle omega _ {u} = h ^ {- 1} částečné h.}

Li u '= ug je další snímek s holomorfní změnou základny G, pak

{displaystyle omega _ {u '} = g ^ {- 1} dg + gomega _ {u} g ^ {- 1},}

a tak ω je skutečně a formulář připojení, což vede k ∇ od ∇s = ds + ω · s. Nyní, protože ${displaystyle {overline {omega}} ^ {T} = {overline {částečné}} hcdot h ^ {- 1}}$ ,

{displaystyle dlangle e_ {i}, e_ {j} úhel = částečný h_ {ij} + {overline {částečný}} h_ {ij} = langle {omega} _ {i} ^ {k} e_ {k}, e_ { j} úhel + jazyk e_ {i}, {omega} _ {j} ^ {k} e_ {k} úhel = jazyk abla e_ {i}, e_ {j} úhel + jazyk e_ {i}, abla e_ {j } úhel.}

To znamená, že ∇ je kompatibilní s metrickou strukturou. Nakonec, protože ω je (1, 0) -forma, (0, 1) -komponenta ${displaystyle abla s}$ je ${displaystyle {ar {partial}} _ {E} s}$ .

Nechat ${displaystyle Omega = domega + omega wedge omega}$ být zakřivená forma z ∇. Od té doby ${displaystyle pi _ {0,1} abla = {ar {částečné}} _ {E}}$ druhou mocninu na nulu podle definice Dolbeaultova operátoru, Ω nemá žádnou (0, 2) složku a protože Ω je snadno ukázáno jako šikmo-poustevník,^[3] také nemá žádnou (2, 0) složku. V důsledku toho je Ω (1, 1) -forma daná vztahem

{displaystyle Omega = {ar {částečné}} _ {E} omega.}

Zakřivení Ω se objevuje prominentně v mizející věty pro vyšší kohomologii svazků holomorfních vektorů; např., Kodaiřina mizející věta a Nakanova mizející věta.

Poznámky

^ Kobayashi, S. (2014). Diferenciální geometrie komplexních vektorových svazků (svazek 793). Princeton University Press.
^ Kycia, Radosław Antoni. „Lemma Poincare, antiexactové formy a fermionový kvantový harmonický oscilátor“. Výsledky v matematice. 75 (3): 122. doi:10.1007 / s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.
^ Například existence hermitovské metriky na E znamená, že skupinu struktury svazku rámců lze zredukovat na jednotná skupina a Ω má hodnoty v Lieově algebře této unitární skupiny, která se skládá ze šikmo-poustevnických metrik.

Reference

Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, PAN 1288523
„Vector bundle, analytic“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

Viz také

externí odkazy

Princip rozdělení pro holomorfní vektorové svazky

[1] Kobayashi, S. (2014). Diferenciální geometrie komplexních vektorových svazků (svazek 793). Princeton University Press.

[2] Kycia, Radosław Antoni. „Lemma Poincare, antiexactové formy a fermionový kvantový harmonický oscilátor“. Výsledky v matematice. 75 (3): 122. doi:10.1007 / s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.

[3] Například existence hermitovské metriky na E znamená, že skupinu struktury svazku rámců lze zredukovat na jednotná skupina a Ω má hodnoty v Lieově algebře této unitární skupiny, která se skládá ze šikmo-poustevnických metrik.

[1]

[2]

[3]