Struktura svazku sekundárních vektorů - Secondary vector bundle structure - Wikipedia

v matematika, zejména diferenciální topologie, struktura sekundárních vektorových svazkůodkazuje na přirozené vektorový svazek struktura $(TE, p *, TM)$ na celkovém prostoru TE z tečný svazek hladkého vektorového svazku $(E, p, M)$ , vyvolané tlačit kupředu $p * : TE \to TM$ původní projekční mapy $p : E \to M$ To vede k dvojitý vektorový svazek struktura $(TE, E, TM, M)$ .

Ve zvláštním případě $(E, p, M) = (TM, π TM, M)$ , kde $TE = TTM$ je dvojitý tečný svazek, sekundární vektorový svazek $(TTM, (π TM) *, TM)$ je isomorfní s tečný svazek $(TTM, π TTM, TM)$ z $TM$ skrz kanonické převrácení.

Konstrukce struktury sekundárního vektorového svazku

Nechat $(E, p, M)$ být hladký vektorový svazek hodnosti $N$ . Pak předobraz $(p *) -1 (X) \subset TE$ libovolného tečného vektoru $X$ v $TM$ v tlačení dopředu $p * : TE \to TM$ kanonické projekce $p : E \to M$ je hladký podrozměr dimenze $2 N$ , a stane se vektorovým prostorem s posuny vpřed

{ displaystyle + _ {*}: T (E krát E) to TE, qquad lambda _ {*}: TE to TE}

původního sčítání a skalárního násobení

{ displaystyle +: E krát E až E, qquad lambda: E až E}

jako jeho operace ve vektorovém prostoru. Trojnásobný $(TE, p *, TM)$ se stane hladkým vektorovým svazkem s těmito operacemi vektorového prostoru na jeho vláknech.

Důkaz

Nechat $(U, φ)$ být lokálním souřadným systémem na základním potrubí $M$ s $φ (X) = (X 1, ..., X n)$ a nechte

{ displaystyle { begin {cases} psi: W to varphi (U) times mathbf {R} ^ {N} psi left (v ^ {k} e_ {k} | _ { x} right): = left (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}, v ^ {1}, ldots, v ^ {N} right) end {cases}}}

být souřadnicovým systémem na ${ displaystyle W: = p ^ {- 1} (U) podmnožina E}$ přizpůsobeno tomu. Pak

{ displaystyle p _ {*} left (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v} + Y ^ { ell} { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v} pravé) = X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}} } { Bigg |} _ {p (v)},}

takže vlákno struktury sekundárního vektorového svazku v $X$ v $T X M$ je ve formě

{ displaystyle p _ {*} ^ {- 1} (X) = vlevo {X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v } + Y ^ { ell} { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v} : v v E_ {x}; Y ^ {1 }, ldots, Y ^ {N} in mathbf {R} right }.}

Nyní se ukázalo, že

{ displaystyle chi left (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v} + Y ^ { ell} { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v} pravé) = levé (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k} }} { Bigg |} _ {p (v)}, left (v ^ {1}, ldots, v ^ {N}, Y ^ {1}, ldots, Y ^ {N} right) že jo)}

dává místní bagatelizaci $χ : TW \to TU \times R 2 N$ pro $(TE, p *, TM)$ a posunutí dopředu operací původního vektorového prostoru načtených v upravených souřadnicích jako

{ displaystyle left (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v} + Y ^ { ell} { frac { částečné } { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v} pravé) + _ {*} levé (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ { k}}} { Bigg |} _ {w} + Z ^ { ell} { frac { částečný} { částečný v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {w} vpravo) = X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v + w} + (Y ^ { ell} + Z ^ { ell}) { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v + w}}

a

{ displaystyle lambda _ {*} vlevo (X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k}}} { Bigg |} _ {v} + Y ^ { ell} { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ {v} pravé) = X ^ {k} { frac { částečné} { částečné x ^ {k }}} { Bigg |} _ { lambda v} + lambda Y ^ { ell} { frac { částečné} { částečné v ^ { ell}}} { Bigg |} _ { lambda proti},}

takže každé vlákno $(p *) -1 (X) \subset TE$ je vektorový prostor a trojnásobek $(TE, p *, TM)$ je hladký vektorový svazek.

Linearita spojení na vektorových svazcích

Generál Ehresmann spojení $TE = ON \oplus VE$ na vektorovém svazku $(E, p, M)$ lze charakterizovat z hlediska mapa konektoru

{ displaystyle { begin {cases} kappa: T_ {v} E to E_ {p (v)} kappa (X): = operatorname {vl} _ {v} ^ {- 1} ( operatorname {vpr} X) end {případy}}}

kde $vl proti : E \to PROTI proti E$ je vertikální zdvih, a $vpr proti : T proti E \to PROTI proti E$ je vertikální projekce. Mapování

{ displaystyle { begin {cases} nabla: Gamma (TM) times Gamma (E) až Gamma (E) nabla _ {X} v: = kappa (v _ {*} X ) end {případů}}}

vyvolané Ehresmannovým spojením je a kovarianční derivace na $Γ (E)$ V tom smyslu, že

{ displaystyle { begin {sladěno} nabla _ {X + Y} v & = nabla _ {X} v + nabla _ {Y} v nabla _ { lambda X} v & = lambda nabla _ {X} v nabla _ {X} (v + w) & = nabla _ {X} v + nabla _ {X} w nabla _ {X} ( lambda v) & = lambda nabla _ {X} v nabla _ {X} (fv) & = X [f] v + f nabla _ {X} v end {zarovnáno}}}

právě tehdy, když je mapa konektoru lineární vzhledem ke struktuře sekundárních vektorových svazků $(TE, p *, TM)$ na $TE$ . Pak se volá spojení lineární. Všimněte si, že mapa konektorů je automaticky lineární s ohledem na tečnou strukturu svazku $(TE, π TE, E)$ .

Viz také

Reference

P.Michor. Témata v diferenciální geometrii, Americká matematická společnost (2008).