Banachův svazek - Banach bundle
v matematika, a Banachův svazek je vektorový svazek každé z jejich vláken je a Banachův prostor, tj. a kompletní normovaný vektorový prostor, možná nekonečné dimenze.
Definice Banachova svazku
Nechat M být Banachovo potrubí třídy Cp s p ≥ 0, nazývá se základní prostor; nechat E být topologický prostor, volal celkový prostor; nechat π : E → M být surjektivní průběžná mapa. Předpokládejme, že pro každý bod X ∈ M, vlákno EX = π−1(X) dostal strukturu Banachova prostoru. Nechat
být otevřete kryt z M. Předpokládejme také, že pro každého i ∈ Já, existuje Banachův prostor Xi a mapa τi
takhle
- mapa τi je homeomorfismus dojíždění s projekcí na Ui, tj. následující diagram dojíždí:
- a pro každého X ∈ Ui indukovaná mapa τix na vlákně EX
- je invertibilní spojitá lineární mapa, tj izomorfismus v kategorie z topologické vektorové prostory;
- -li Ui a Uj jsou dva členové otevřené obálky, pak mapa
- je morfismus (rozlišitelná mapa třídy Cp), kde Lin (X; Y) označuje prostor všech spojitých lineárních map z topologického vektorového prostoru X do jiného topologického vektorového prostoru Y.
Sbírka {(Ui, τi)|i∈Já} se nazývá a bagatelizující potah pro π : E → Ma mapy τi jsou nazývány bagatelizace map. Říká se, že jsou dvě bagatelizující krytiny ekvivalent pokud jejich svaz znovu splňuje dvě výše uvedené podmínky. An třída ekvivalence takových bagatelizujících krytin se říká, že určuje strukturu a Banachův svazek na π : E → M.
Pokud jsou všechny mezery Xi jsou izomorfní jako topologické vektorové prostory, lze tedy předpokládat, že jsou všechny stejné jako stejný prostor X. V tomto případě, π : E → M se říká, že je Banachův svazek s vláknem X. Li M je propojený prostor pak je to nutně případ, protože množina bodů X ∈ M pro které existuje bagatelizující mapa
pro daný prostor X je obojí otevřeno a Zavřeno.
V případě konečných rozměrů je druhá podmínka výše implikována první.
Příklady svazků Banach
- Li PROTI je jakýkoli Banachův prostor, tečný prostor TXPROTI na PROTI kdykoli X ∈ PROTI je izomorfní zjevným způsobem PROTI sám. The tečný svazek TPROTI z PROTI je pak Banachův svazek s obvyklou projekcí
- Tento balíček je „triviální“ v tom smyslu, že TPROTI připouští globálně definovanou bagatelizující mapu: funkce identity
- Li M je jakékoli Banachovo potrubí, tečný svazek TM z M tvoří Banachův svazek s ohledem na obvyklou projekci, ale nemusí to být triviální.
- Podobně kotangenský svazek T *M, jehož vlákno přes bod X ∈ M je topologický duální prostor do tečného prostoru v X:
- také tvoří Banachův svazek s ohledem na obvyklou projekci na M.
- Existuje spojení mezi Bochnerovy prostory a Banachovy svazky. Zvažte například Bochnerův prostor X = L²([0, T]; H1(Ω)), který může vzniknout jako užitečný objekt při studiu rovnice tepla na doméně Ω. Dalo by se hledat řešení σ ∈ X k rovnici tepla; pokaždé t, σ(t) je funkce v Sobolevův prostor H1(Ω). Dalo by se také myslet Y = [0, T] × H1(Ω), který jako a kartézský součin má také strukturu Banachova svazku přes potrubí [0,T] s vláknem H1(Ω), v takovém případě prvky / řešení σ ∈ X jsou průřezy svazku Y určité zadané pravidelnosti (L², ve skutečnosti). Pokud je zvlášť důležitá diferenciální geometrie daného problému, může být výhodné Banachovo hledisko svazku.
Morfismy Banachových svazků
Sbírku všech Banachových svazků lze zařadit do kategorie definováním vhodných morfismů.
Nechat π : E → M a π′ : E′ → MBudou dva Banachovy svazky. A Banachův morfismus z prvního svazku do druhého se skládá z dvojice morfismů
Pro F být morfismem znamená jednoduše to F je spojitá mapa topologických prostorů. Pokud potrubí M a M′ Jsou oba třídy Cp, pak požadavek, že F0 být morfismem je požadavek, aby to bylo p-krát nepřetržitě diferencovatelná funkce. Tyto dva morfismy jsou vyžadovány, aby splňovaly dvě podmínky (druhá je v případě konečných rozměrů opět nadbytečná):
- diagram
- dojíždění a pro každého X ∈ M, indukovaná mapa
- je spojitá lineární mapa;
- pro každého X0 ∈ M existují bagatelizující mapy
- takhle X0 ∈ U, F0(X0) ∈ U′,
- a mapa
- je morfismus (rozlišitelná mapa třídy Cp).
Stahování Banachova svazku
Jeden může vzít Banachův svazek přes jedno potrubí a použít zarazit konstrukce definovat nový Banachův svazek na druhém potrubí.
Přesněji řečeno π : E → N být Banachovým svazkem a F : M → N diferencovatelná mapa (jako obvykle, všechno je Cp). Pak zarazit z π : E → N je Banachův svazek F*π : F*E → M splňující následující vlastnosti:
- pro každého X ∈ M, (F*E)X = EF(X);
- existuje komutativní diagram
- přičemž horní horizontální mapa je identita na každém vlákně;
- -li E je triviální, tj. rovná se N × X pro nějaký Banachův prostor X, pak F*E je také triviální a rovná se M × X, a
- je projekce na první souřadnici;
- -li PROTI je otevřená podmnožina N a U = F−1(PROTI), pak
- a existuje komutativní diagram
- kde mapy na „přední“ a „zadní“ straně jsou stejné jako mapy v předchozím diagramu a mapy „zadní“ na „přední“ jsou (indukované) inkluzí.
Reference
- Lang, Serge (1972). Diferenciální potrubí. Reading, Massachusetts - Londýn – Don Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.