Mapa svazku - Bundle map

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Mapa balíčků"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a mapa svazku (nebo morfismus svazku) je morfismus v kategorie z svazky vláken. Existují dva odlišné, ale úzce související pojmy mapa svazků, v závislosti na tom, zda dotyčné svazky vláken mají společné základní prostor. Existuje také několik variant základního tématu, podle toho, která kategorie svazků vláken je přesně zvažována. V prvních třech částech budeme uvažovat o obecných svazcích vláken v kategorie topologických prostorů. Ve čtvrté části pak uvedeme několik dalších příkladů.

Balíček map na společné základně

Nechat π_E:E→ M a π_F:F→ M být svazky vláken v prostoru M. Pak mapa svazku z E na F přes M je spojitá mapa ${displaystyle varphi: E o F}$ takhle ${displaystyle pi _ {F} circ varphi = pi _ {E}}$. To je diagram

by měl dojíždět. Ekvivalentně, pro jakýkoli bod X v M, ${displaystyle varphi}$ mapuje vlákno E_X = π_E⁻¹({X}) z E přes X na vlákno F_X = π_F⁻¹({X}) z F přes X.

Obecné morfismy svazků vláken

Nechť π_E:E→ M a π_F:F→ N být svazky vláken v prostorech M a N resp. Pak souvislá mapa ${displaystyle varphi: E o F}$ se nazývá a mapa svazku z E na F pokud existuje souvislá mapa F:M→ N takový, že diagram

dojíždí, to znamená ${displaystyle pi _ {F} circ varphi = fcirc pi _ {E}}$. Jinými slovy, ${displaystyle varphi}$ je konzervační vlákno, a F je indukovaná mapa prostoru vláken E: od π_E je surjektivní, F je jednoznačně určeno ${displaystyle varphi}$. Za dané F, taková mapa svazků ${displaystyle varphi}$ se říká, že je mapa svazku krycí f.

Vztah mezi těmito dvěma pojmy

Okamžitě vyplývá z definic, které svazek mapuje M (v prvním smyslu) je totéž jako mapa svazku pokrývající mapu identity M.

Naopak obecné mapy svazků lze redukovat na mapy svazků přes pevný základní prostor pomocí pojmu a stahovací balíček. Pokud π_F:F→ N je svazek vláken N a F:M→ N je spojitá mapa, pak zarazit z F podle F je svazek vláken F^*F přes M jehož vlákno skončilo X je dána (F^*F)_X = F_F(X). Z toho vyplývá, že mapa svazku z E na F krytina F je totéž jako mapa svazku z E na F^*F přes M.

Varianty a zevšeobecnění

Existují dva druhy variací obecného pojmu mapa svazků.

Nejprve lze zvážit svazky vláken v jiné kategorii prostorů. To vede například k pojmu a hladká mapa svazků mezi hladkými svazky vláken nad a hladké potrubí.

Zadruhé lze uvažovat o svazcích vláken s extra strukturou ve vláknech a omezit pozornost na mapy svazků, které tuto strukturu zachovávají. To vede například k pojmu a (vektor) homomorfismus svazku mezi vektorové svazky, ve kterých jsou vlákna vektorovými prostory, a mapa svazku φ musí být lineární mapa na každém vlákně. V tomto případě taková mapa svazků φ (krytina F) lze také zobrazit jako a sekce vektorového svazku Hom (E,F^*F) přes M, jehož vlákno skončilo X je vektorový prostor Hom (E_X,F_F(X)) (také označeno.) L(E_X,F_F(X))) z lineární mapy z E_X na F_F(X).