Pseudo-abelianská kategorie - Pseudo-abelian category

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, a kategorie pseudoabelianů je kategorie to je předem připravený a je takový, že každý idempotentní má jádro.^[1] Připomeňme, že idempotentní morfismus ${ displaystyle p}$ je endomorfismus objektu s vlastností, která ${ displaystyle p circ p = p}$. Elementární úvahy ukazují, že každý idempotent má poté cokernel.^[2] Podmínka pseudoabelianů je silnější než preeadditivita, ale je slabší než požadavek, aby každý morfismus měl jádro a kokerel, jak to platí pro abelianské kategorie.

Synonyma v literatuře pro pseudo-abelian zahrnují pseudoabelian a Karoubian.

Příklady

Žádný abelianská kategorie, zejména kategorie Ab z abelianské skupiny, je pseudoabelian. Ve skutečnosti v kategorii abelianů každý morfismus má jádro.

Kategorie asociativních rngs (ne prsteny!) spolu s multiplikativními morfismy je pseudo-abelian.

Složitějším příkladem je kategorie Chow motivy. Konstrukce motivů Chow využívá pseudoabelianské dokončení popsané níže.

Pseudo-abelianské dokončení

The Karoubi obálka stavební spolupracovníci do libovolné kategorie ${ displaystyle C}$ kategorie ${ displaystyle kar (C)}$ spolu s funktorem

${ displaystyle s: C rightarrow kar (C)}$

takový, že obrázek ${ displaystyle s (p)}$ každého idempotentu ${ displaystyle p}$ v ${ displaystyle C}$ rozděluje se ${ displaystyle kar (C)}$Při aplikaci na a preadditive kategorie ${ displaystyle C}$, konstrukce obálky Karoubi poskytuje kategorii pseudoabelianů ${ displaystyle kar (C)}$nazývá se pseudoabelianské dokončení ${ displaystyle C}$. Navíc funktor

${ displaystyle C rightarrow kar (C)}$

je ve skutečnosti aditivní morfismus.

Abych byl přesný, vzhledem k předem připravené kategorii ${ displaystyle C}$ vytvoříme kategorii pseudoabelianů ${ displaystyle kar (C)}$ následujícím způsobem. Předměty ${ displaystyle kar (C)}$ jsou páry ${ displaystyle (X, p)}$ kde ${ displaystyle X}$ je předmětem ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle p}$ je idempotent z ${ displaystyle X}$. Morfismy

${ displaystyle f: (X, p) rightarrow (Y, q)}$

v ${ displaystyle kar (C)}$ jsou to morfismy

${ displaystyle f: X rightarrow Y}$

takhle ${ displaystyle f = q circ f = f circ p}$ v ${ displaystyle C}$. Funktor

${ displaystyle C rightarrow kar (C)}$

je dána užíváním ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle (X, id_ {X})}$.

Citace

Reference

• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 1 (Přednášky z matematiky 269) (francouzsky). Berlín; New York: Springer-Verlag. xix + 525.