Kategorie stabilních modulů - Stable module category - Wikipedia

v teorie reprezentace, kategorie stabilních modulů je kategorie ve kterých jsou projektanty „započítány“.

Definice

Nechat R být prsten. Pro dva moduly M a N přes R, definovat ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$ být souborem R-lineární mapy z M na N modulo vztah, který F ~ G -li F − G faktory prostřednictvím a projektivní modul. Kategorie stabilního modulu je definována nastavením předměty být R-modulů a morfismy jsou třídy ekvivalence ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$.

Vzhledem k modulu M, nechť P být projektivní modul s a surjection ${ displaystyle p dvojtečka P až M}$. Pak nastavte ${ displaystyle Omega (M)}$ být jádro z p. Předpokládejme, že máme morfismus ${ displaystyle f dvojtečka M až N}$ a surjection ${ displaystyle q dvojtečka Q až N}$ kde Q je projektivní. Pak se člověk může zvednout F na mapu ${ displaystyle P až Q}$ které mapy ${ displaystyle Omega (M)}$ do ${ displaystyle Omega (N)}$. To dává dobře definované funktor ${ displaystyle Omega}$ od kategorie stabilních modulů k sobě samému.

Pro určité prsteny, jako např Frobenius algebry, ${ displaystyle Omega}$ je rovnocennost kategorií. V tomto případě inverzní ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ lze definovat následovně. Dáno M, najít injekční modul Já se zahrnutím ${ displaystyle i dvojtečka M až I}$. Pak ${ displaystyle Omega ^ {- 1} (M)}$ je definován jako koksovna z i. Zvláštní zájem je, když prsten R je skupinová algebra.

Funktor Ω⁻¹ lze dokonce definovat v kategorii modulů obecného kruhu (bez vyřazování projektivů), jako luskovina injekční obálka. V tomto případě nemusí platit, že funktor Ω⁻¹ je ve skutečnosti inverzní k Ω. Jednou z důležitých vlastností kategorie stabilních modulů je, že umožňuje definovat funktor Ω pro obecné kroužky. Když R je perfektní (nebo M je definitivně generováno a R je semiperfect ), pak Ω (M) lze definovat jako jádro projektivní kryt, což dává funktor v kategorii modulů. Obecně však nemusí existovat projektivní obálky, a proto je nutné přejít do kategorie stabilních modulů.

Spojení s kohomologií

Nyní to předpokládáme R = kG je pro některé skupinová algebra pole k a nějaký skupina G. Lze ukázat, že existují izomorfismy

${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} ( Omega ^ {n} (M), N) cong mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (M, N) cong { underline { mathrm {Hom}}} (M, Omega ^ {- n} (N))}$

za každé pozitivní celé číslo n. The skupinová kohomologie reprezentace M je dána ${ displaystyle mathrm {H} ^ {n} (G; M) = mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (k, M)}$ kde k má triviální G-akce, takže tímto způsobem poskytuje kategorie stabilních modulů přirozené prostředí, ve kterém žije skupinová kohomologie.

Výše uvedený izomorfismus dále navrhuje definovat kohomologické skupiny pro záporné hodnoty n, a tímto způsobem se člověk uzdraví Tate cohomology.

Triangulovaná struktura

An přesná sekvence

${ displaystyle 0 až X až E až Y až 0}$

v kategorii obvyklých modulů definuje prvek ${ displaystyle mathrm {Ext} _ {kG} ^ {1} (Y, X)}$, a tedy prvek ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (Y, Omega ^ {- 1} (X))}$, abychom dostali sekvenci

${ displaystyle X až E až Y až Omega ^ {- 1} (X).}$

Brát ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ aby byl funktorem překladu a výše uvedenými sekvencemi byly přesné trojúhelníky, stane se kategorie stabilního modulu a trojúhelníková kategorie.

Viz také

• Stabilní teorie homotopy

Reference

• J. F. Carlson, Lisa Townsley, Luis Valero-Elizondo, Mucheng Zhang, Kohomologické kroužky konečných skupin, Springer-Verlag, 2003.