Spechtsova věta - Spechts theorem - Wikipedia

V matematice Spechtova věta dává nezbytný a dostatečný stav pro dva matice být jednotně ekvivalentní. Je pojmenován po Wilhelm Specht, který teorém dokázal v roce 1940.^[1]

Dvě matice A a B se říká, že jsou jednotně ekvivalentní pokud existuje unitární matice U takhle B = U *AU.^[2] Dvě matice, které jsou jednotně ekvivalentní, jsou také podobný. Dvě podobné matice představují stejné lineární mapa, ale s ohledem na jiné základ; jednotková ekvivalence odpovídá změně z ortonormální základ na jiný ortonormální základ.

Li A a B jsou jednotně ekvivalentní, pak tr AA* = tr BB*, kde tr označuje stopa (jinými slovy Frobeniova norma je jednotkový invariant). To vyplývá z cyklické invariance stopy: if B = U *AU, pak tr BB* = tr U *AUU *A*U = tr AUU *A*U U * = tr AA*, kde druhá rovnost je cyklická invariance.^[3]

Tedy tr AA* = tr BB* je nezbytnou podmínkou pro jednotnou rovnocennost, ale není dostatečná. Spechtova věta dává nekonečně mnoho nezbytných podmínek, které společně také postačují. Formulace věty používá následující definici. A slovo řekněme ve dvou proměnných X a y, je výrazem formy

${ displaystyle W (x, y) = x ^ {m_ {1}} y ^ {n_ {1}} x ^ {m_ {2}} y ^ {n_ {2}} cdots x ^ {m_ {p }},}$

kde m₁, n₁, m₂, n₂, …, m_p jsou nezáporná celá čísla. The stupeň tohoto slova je

${ displaystyle m_ {1} + n_ {1} + m_ {2} + n_ {2} + cdots + m_ {p}.}$

Spechtova věta: Dvě matice A a B jsou jednotně ekvivalentní právě tehdy, když tr Ž(A, A*) = tr Ž(B, B*) pro všechna slova Ž.^[4]

Věta dává nekonečné množství stopových identit, ale může být redukována na konečnou podmnožinu. Nechat n označit velikost matic A a B. Pro případ n = 2, postačují následující tři podmínky:^[5]

${ displaystyle operatorname {tr} , A = operatorname {tr} , B, quad operatorname {tr} , A ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2}, quad { text {and}} quad operatorname {tr} , AA ^ {*} = operatorname {tr} , BB ^ {*}.}$

Pro n = 3, následujících sedm podmínek je dostačujících:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & operatorname {tr} , A = operatorname {tr} , B, quad operatorname {tr} , A ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2}, quad operatorname {tr} , AA ^ {*} = operatorname {tr} , BB ^ {*}, quad operatorname {tr} , A ^ {3} = operatorname {tr} , B ^ {3}, & operatorname {tr} , A ^ {2} A ^ {*} = operatorname {tr} , B ^ {2} B ^ {*} , quad operatorname {tr} , A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2} , quad { text {a}} quad operatorname {tr} , A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} AA ^ {*} = operatorname {tr} , B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2} BB ^ {*}. End {zarovnáno}}}$  ^[6]

Obecně n, stačí ukázat, že tr Ž(A, A*) = tr Ž(B, B*) nanejvýš pro všechna diplomová slova

${ displaystyle n { sqrt {{ frac {2n ^ {2}} {n-1}} + { frac {1} {4}}}} + { frac {n} {2}} - 2 .}$  ^[7]

Předpokládalo se, že to lze redukovat na výraz lineární v n.^[8]

Poznámky

Reference

• Đoković, Dragomir Ž .; Johnson, Charles R. (2007), „Jednotně dosažitelné nulové vzorce a stopy slov v A a A*", Lineární algebra a její aplikace, 421 (1): 63–68, doi:10.1016 / j.laa.2006.03.002, ISSN  0024-3795.
• Freedman, Allen R .; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), „Shiršovova věta a reprezentace poloskupin“, Pacific Journal of Mathematics, 181 (3): 159–176, doi:10.2140 / pjm.1997.181.159, ISSN  0030-8730.
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-38632-6.
• Pappacena, Christopher J. (1997), „Horní mez pro délku konečně-dimenzionální algebry“, Journal of Algebra, 197 (2): 535–545, doi:10.1006 / jabr.1997.7140, ISSN  0021-8693.
• Sibirskiǐ, K. S. (1976), Algebraické invarianty diferenciálních rovnic a matic (v ruštině), Izdat. "Štiinca", Kishinev.
• Specht, Wilhelm (1940), „Zur Theorie der Matrizen. II“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 50: 19–23, ISSN  0012-0456.