Kategorická stopa - Categorical trace
V matematice je kategorická stopa je zobecněním stopa matice.
Definice
Trasa je definována v kontextu a symetrická monoidní kategorie C, tj. kategorie vybavená vhodnou představou o produktu . (Zápis odráží, že produkt je v mnoha případech jakýmsi tenzorovým produktem.) Objekt X v takové kategorii C je nazýván aktualizovatelný pokud existuje jiný objekt hraní role dvojího předmětu X. V této situaci stopa morfismu je definována jako složení následujících morfismů:kde 1 je monoidální jednotka a extrémní morfismy jsou koevaluace a hodnocení, které jsou součástí definice dualizovatelných objektů.[1]
Stejná definice platí s velkým účinkem, i když C je symetrická monoidní ∞ kategorie.
Příklady
Li C je kategorie vektorových prostorů nad pevným polem k, dualizovatelné objekty jsou přesně konečné trojrozměrné vektorové prostory a stopa ve výše uvedeném smyslu je morfismus
což je násobení stopou endomorfismu F v obvyklém smyslu lineární algebry. V tomto smyslu kategorická stopa zobecňuje lineárně-algebraickou stopu.
Li C je category-kategorie řetězové komplexy modulů (přes pevný komutativní kruh R), aktualizovatelné objekty PROTI v C jsou přesně dokonalé komplexy. Trasa v tomto nastavení zachycuje například Eulerova charakteristika, což je střídavý součet řad jejích členů:
Další aplikace
Kondyrev & Prikhodko (2018) použili kategorické stopové metody k prokázání algebro-geometrické verze Atiyah – Bottův vzorec s pevným bodem, rozšíření Lefschetzův vzorec s pevným bodem.
Reference
- ^ Ponto & Shulman (2014, Def. 2.2)
- ^ Ponto & Shulman (2014, Např. 3.3)
- Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), „Kategorický důkaz vzorce Holomorphic Atiyah – Bott“, J. Inst. Matematika. Jussieu: 1–25, arXiv:1607.06345, doi:10.1017 / S1474748018000543
- Ponto, Kate; Shulman, Michael (2014), „Stopy v symetrických monoidních kategoriích“, Expositiones Mathematicae, 32 (3): 248–273, arXiv:1107.6032, Bibcode:2011arXiv1107.6032P