Supertrace - Supertrace

V teorii superalgebry, pokud A je komutativní superalgebra, PROTI je svobodné právo A-supermodul a T je endomorfismus z PROTI pro sebe, pak supertrace z T, str (T) je definován následujícím trasovací diagram:

Přesněji řečeno, pokud vypíšeme T v bloková matice tvoří se po rozkladu na sudý a lichý podprostor následujícím způsobem,

${ displaystyle T = { begin {pmatrix} T_ {00} & T_ {01} T_ {10} & T_ {11} end {pmatrix}}}$

pak supertrace

str (T) = obyčejný stopa z T₀₀ - obyčejná stopa T₁₁.

Ukažme, že supertrace nezávisí na základě. Předpokládejme E₁, ..., E_p jsou sudé základní vektory a E_p+1, ..., E_p+q jsou liché základní vektory. Pak komponenty T, což jsou prvky A, jsou definovány jako

${ displaystyle T ( mathbf {e} _ {j}) = mathbf {e} _ {i} T_ {j} ^ {i}. ,}$

Hodnocení Tⁱ_j je součet známek z T, E_i, E_j mod 2.

Změna základu na E_1', ..., E_{p '}, E_(p+1)', ..., E_(p+q)' je dán supermatrix

${ displaystyle mathbf {e} _ {i '} = mathbf {e} _ {i} A_ {i'} ^ {i}}$

a inverzní supermatrix

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = mathbf {e} _ {i '} (A ^ {- 1}) _ {i} ^ {i'}, ,}$

kde samozřejmě AA⁻¹ = A⁻¹A = 1 (identita).

Nyní můžeme explicitně zkontrolovat, že supertrace je nezávislé. V případě, že T je dokonce, máme

${ displaystyle operatorname {str} (A ^ {- 1} TA) = (- 1) ^ {| i '|} (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {i'} T_ {k} ^ {j} A_ {i '} ^ {k} = (- 1) ^ {| i' |} (- 1) ^ {(| i '| + | j |) (| i' | + | j | )} T_ {k} ^ {j} A_ {i '} ^ {k} (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {i'} = (- 1) ^ {| j |} T_ {j } ^ {j} = operatorname {str} (T).}$

V případě, že T je zvláštní, máme

${ displaystyle operatorname {str} (A ^ {- 1} TA) = (- 1) ^ {| i '|} (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {i'} T_ {k} ^ {j} A_ {i '} ^ {k} = (- 1) ^ {| i' |} (- 1) ^ {(1+ | j | + | k |) (| i '| + | j |)} T_ {k} ^ {j} (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {i '} A_ {i'} ^ {k} = (- 1) ^ {| j |} T_ { j} ^ {j} = operatorname {str} (T).}$

Obyčejná stopa není nezávislá na bázi, takže vhodná stopa pro použití v Z₂-graded setting is the supertrace.

Nadřazená vlastnost vyhovuje vlastnosti

${ displaystyle operatorname {str} (T_ {1} T_ {2}) = (- 1) ^ {| T_ {1} || T_ {2} |} operatorname {str} (T_ {2} T_ { 1})}$

pro všechny T₁, T₂ na konci (PROTI). Zejména supertrace superkomutátoru je nulová.

Ve skutečnosti lze definovat supertrakci obecněji pro jakoukoli asociativní superalgebru E nad komutativní superalgebrou A jako lineární mapa tr: E -> A který zmizí na superkomutátorech.^[1] Taková supertrace není jednoznačně definována; vždy jej lze alespoň upravit vynásobením prvkem A.

Fyzikální aplikace

V supersymetrických teoriích kvantového pole, ve kterých je integrál akce neměnný pod množinou transformací symetrie (známé jako transformace supersymetrie), jejichž algebry jsou superalgebry, má supertrace řadu aplikací. V takovém kontextu lze supertrakci hmotové matice pro teorii zapsat jako součet nad rotacemi stop hmotných matic pro částice různých spinů:^[2]

${ displaystyle operatorname {str} [M ^ {2}] = sum _ {s} (- 1) ^ {2s} (2 s + 1) operatorname {tr} [m_ {s} ^ {2}] .}$

V teoriích bez anomálií, kde se v superpotenciálu objevují pouze renormalizovatelné termíny, lze prokázat, že výše uvedená supertrace mizí, i když je supersymetrie spontánně přerušena.

Příspěvek k efektivnímu potenciálu vznikajícímu v jedné smyčce (někdy označovaný jako Coleman-Weinbergův potenciál^[3]) lze také psát jako supertrace. Li ${ displaystyle M}$ je hmotnostní matice pro danou teorii, lze potenciál jedné smyčky zapsat jako

${ displaystyle V_ {eff} ^ {1-smyčka} = { dfrac {1} {64 pi ^ {2}}} operatorname {str} { bigg [} M ^ {4} ln { Big (} { dfrac {M ^ {2}} { Lambda ^ {2}}} { Big)} { bigg]} = { dfrac {1} {64 pi ^ {2}}} operatorname {tr} { bigg [} m_ {B} ^ {4} ln { Big (} { dfrac {m_ {B} ^ {2}} { Lambda ^ {2}}} { Big)} -m_ {F} ^ {4} ln { Big (} { dfrac {m_ {F} ^ {2}} { Lambda ^ {2}}} { Big)} { bigg]}}$

kde ${ displaystyle m_ {B}}$ a ${ displaystyle m_ {F}}$ jsou příslušné hmotové matice na úrovni stromu pro samostatné bosonické a fermionické stupně volnosti v teorii a ${ displaystyle Lambda}$ je mezní stupnice.

Viz také

• Berezinian

Reference