Golden – Thompsonova nerovnost - Golden–Thompson inequality
v fyzika a matematika, Golden – Thompsonova nerovnost je stopová nerovnost mezi exponenciály symetrických / hermitovských matic nezávisle prokázaných Zlatý (1965) a Thompson (1965). Byl vyvinut v kontextu statistická mechanika, kde má zvláštní význam.
Úvod
Li A a b jsou dvě reálná čísla, pak exponenciální z a + b je součin exponenciálu A s exponenciálem b:
Tento vztah je ne pravda, pokud nahradíme A a b se symetrickými / hermitovskými čtvercovými maticemi A a B. Golden a Thompson to dokázali, zatímco matice daná se ne vždy rovná matici dané , jejich stopy souvisí s následující nerovností:
Nerovnost je dobře definována, protože výraz na pravé straně nerovnosti je kladné reálné číslo, což lze vidět přepsáním na (pomocí cyklické vlastnosti stopy).
Li A a B dojíždět, pak rovnost platí, stejně jako v případě reálného čísla. V této situaci je Golden-Thompsonova nerovnost ve skutečnosti rovností. Petz (1994) prokázal, že se jedná o jedinou situaci, kdy k tomu dojde: pokud A a B jsou dvě hermitovské matice, pro které je Golden-Thomposonova nerovnost ověřována jako rovnost, pak dvě matice dojíždějí.
Zobecnění
Nerovnost byla zobecněna na tři matice Lieb (1973) a dále na libovolný počet hermitovských matic od Sutter, Berta & Tomamichel (2016). Pro tři matice to vyžaduje následující formulaci:
kde operátor je derivace maticového logaritmu daná vztahem . Všimněte si, že pokud a dojíždět, pak a nerovnost pro tři matice se snižuje na originál od Golden a Thompsona.
Bertram Kostant (1973 ) používal Kostantova věta o konvexitě zobecnit Golden – Thompsonovu nerovnost na všechny kompaktní Lieovy skupiny.
Reference
- Bhatia, Rajendra (1997), Maticová analýza, Postgraduální texty z matematiky, 169, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0653-8, ISBN 978-0-387-94846-1, PAN 1477662
- J. E. Cohen, S. Friedland, T. Kato, F. Kelly, Nerovnosti vlastních čísel pro produkty maticových exponenciálů, Lineární algebra a její aplikace, sv. 45, str. 55–95, 1982. doi:10.1016/0024-3795(82)90211-7
- Lieb, Elliott H (1973), „Konvexní stopové funkce a domněnka Wigner-Yanase-Dyson“, Pokroky v matematice, 11 (3): 267–288, doi:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-X
- Golden, Sidney (1965), „Dolní hranice pro funkci Helmholtz“, Phys. Rev., Řada II, 137 (4B): B1127 – B1128, Bibcode:1965PhRv..137,1127G, doi:10.1103 / PhysRev.137.B1127, PAN 0189691
- Kostant, Bertram (1973), „Pokud jde o konvexnost, skupina Weylů a rozklad Iwasawy“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 6 (4): 413–455, doi:10,24033 / asens.1254, ISSN 0012-9593, PAN 0364552
- D. Petz, Průzkum stopových nerovností, in Functional Analysis and Operator Theory, 287–298, Banach Center Publications, 30 (Warszawa 1994).
- Sutter, David; Berta, Mario; Tomamichel, Marco (2016), „Multivariate Trace Nerovnosti“, Komunikace v matematické fyzice, 352 (1): 37–58, arXiv:1604.03023, Bibcode:2017CMaPh.352 ... 37S, doi:10.1007 / s00220-016-2778-5, S2CID 12081784
- Thompson, Colin J. (1965), „Nerovnost s aplikacemi ve statistické mechanice“, Journal of Mathematical Physics, 6 (11): 1812–1813, Bibcode:1965JMP ..... 6.1812T, doi:10.1063/1.1704727, ISSN 0022-2488, PAN 0189688
externí odkazy
- Tao, T. (2010), Golden – Thompsonova nerovnost
- Forrester, Peter J; Thompson, Colin J (2014). "Golden-Thompsonova nerovnost --- historické aspekty a náhodné maticové aplikace". Journal of Mathematical Physics. 55 (2): 023503. arXiv:1408.2008. Bibcode:2014JMP .... 55b3503F. doi:10.1063/1.4863477. S2CID 119676709.