Částečná stopa - Partial trace

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Částečná stopa"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Levá strana ukazuje matici plné hustoty ${ displaystyle rho _ {AB}}$ bipartitního qubitového systému. Částečná stopa se provádí přes subsystém o rozměru 2 x 2 (matice hustoty jedné qubit). Na pravé straně je výsledná matice se sníženou hustotou 2 x 2 ${ displaystyle rho _ {A}}$.

v lineární algebra a funkční analýza, částečná stopa je zobecněním stopa. Zatímco stopa je a skalární hodnotná funkce na operátorech, částečná stopa je operátor -hodnotená funkce. Částečné trasování má aplikace v kvantová informace a dekoherence což je relevantní pro kvantové měření a tím k odchylovacím přístupům k interpretace kvantové mechaniky, počítaje v to konzistentní historie a interpretace relativního stavu.

Detaily

Předpokládat ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle W}$ jsou konečné trojrozměrné vektorové prostory nad a pole, s rozměry ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$, resp. Pro jakýkoli prostor ${ displaystyle A}$, nechť ${ displaystyle L (A)}$ označit prostor lineární operátory na ${ displaystyle A}$. Částečná stopa skončila ${ displaystyle W}$ se pak píše jako ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W}: operatorname {L} (V otimes W) to operatorname {L} (V)}$.

Je definována takto: Pro ${ displaystyle T in operatorname {L} (V otimes W)}$, nechť ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {m}}$, a ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$, být základem pro PROTI a Ž respektive; pak Tmá maticovou reprezentaci

${ displaystyle {a_ {k ell, ij} } quad 1 leq k, i leq m, quad 1 leq ell, j leq n}$

vzhledem k základu ${ displaystyle e_ {k} mnohokrát f _ { ell}}$ z ${ displaystyle V otimes W}$.

Nyní pro indexy k, i v rozsahu 1, ..., m, zvažte součet

${ displaystyle b_ {k, i} = součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

To dává matici b_{k, i}. Přidružený lineární operátor zapnutý PROTI je nezávislý na výběru bází a je podle definice částečná stopa.

U fyziků se tomu často říká „trasování“ nebo „trasování“ Ž ponechat zapnutý pouze operátor PROTI v kontextu kde Ž a PROTI jsou Hilbertovy prostory spojené s kvantovými systémy (viz níže).

Invariantní definice

Operátor částečného trasování lze definovat invariantně (tj. Bez odkazu na základ) takto: jedná se o jedinečný lineární operátor

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W}: operatorname {L} (V otimes W) rightarrow operatorname {L} (V)}$

takhle

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W} (R otimes S) = operatorname {Tr} (S) , R quad forall R in operatorname {L} (V) quad forall S in operatorname {L} (W).}$

Chcete-li vidět, že výše uvedené podmínky jednoznačně určují částečnou stopu, dovolte ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {m}}$ tvoří základ pro ${ displaystyle V}$, nechť ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {n}}$ tvoří základ pro ${ displaystyle W}$, nechť ${ displaystyle E_ {ij} dvojtečka V až V}$ být mapa, která posílá ${ displaystyle v_ {i}}$ na ${ displaystyle v_ {j}}$ (a všechny ostatní základní prvky na nulu), a let ${ displaystyle F_ {kl} dvojtečka W to W}$ být mapa, která posílá ${ displaystyle w_ {k}}$ na ${ displaystyle w_ {l}}$. Protože vektory ${ displaystyle v_ {i} krát w_ {k}}$ tvoří základ pro ${ displaystyle V otimes W}$, mapy ${ displaystyle E_ {ij} další F_ {kl}}$ tvoří základ pro ${ displaystyle operatorname {L} (V otimes W)}$.

Z této abstraktní definice vyplývají následující vlastnosti:

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W} (I_ {V otimes W}) = dim W I_ {V}}$

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W} (T (I_ {V} otimes S)) = operatorname {Tr} _ {W} ((I_ {V} otimes S) T) quad forall S in operatorname {L} (W) quad forall T in operatorname {L} (V otimes W).}$

Teoretický pojem kategorie

Je to dílčí stopa lineárních transformací, která je předmětem pojmu Joyal, Street a Verity Trasovaná monoidní kategorie. Sledovaná monoidní kategorie je monoidní kategorií ${ displaystyle (C, otimes, I)}$ společně s, pro objekty X, Y, U v kategorii funkce Hom-setů,

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {X, Y} ^ {U} colon operatorname {Hom} _ {C} (X otimes U, Y otimes U) to operatorname {Hom} _ {C } (X, Y)}$

splňující určité axiomy.

Další případ této abstraktní představy o částečné stopě se odehrává v kategorii konečných množin a bijekcí mezi nimi, ve kterých je monoidální součin disjunktní unie. Lze ukázat, že pro jakékoli konečné množiny X, Y, U a bijekce ${ displaystyle X + U cong Y + U}$ existuje odpovídající „částečně vysledovatelná“ bijekce ${ displaystyle X cong Y}$.

Částečné trasování pro operátory v Hilbertových prostorech

Částečná stopa zobecňuje operátory na nekonečných dimenzionálních Hilbertových prostorech. Předpokládat PROTI, Ž jsou Hilbertovy prostory, a nechť

${ displaystyle {f_ {i} } _ {i v I}}$

být ortonormální základ pro Ž. Nyní existuje izometrický izomorfismus

${ displaystyle bigoplus _ { ell in I} (V otimes mathbb {C} f _ { ell}) rightarrow V otimes W}$

Pod tímto rozkladem jakýkoli operátor ${ displaystyle T in operatorname {L} (V otimes W)}$ lze považovat za nekonečnou matici operátorů na PROTI

${ displaystyle { begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & ldots & T_ {1j} & ldots T_ {21} & T_ {22} & ldots & T_ {2j} & ldots vdots & vdots && vdots T_ {k1} & T_ {k2} & ldots & T_ {kj} & ldots vdots & vdots && vdots end {bmatrix}},}$

kde ${ displaystyle T_ {k ell} v operatorname {L} (V)}$.

Nejprve předpokládejme T je nezáporný operátor. V tomto případě jsou všechny diagonální položky výše uvedené matice nezáporné operátory PROTI. Pokud je součet

${ displaystyle sum _ { ell} T _ { ell ell}}$

konverguje do silná topologie operátora z L (PROTI), je nezávislý na zvoleném základě Ž. Částečná stopa Tr_Ž(T) je definován jako tento operátor. Částečná stopa samoadjungujícího operátoru je definována právě tehdy, jsou-li definovány částečné stopy kladné a záporné části.

Výpočet částečné stopy

Předpokládat Ž má ortonormální základ, který označujeme ket vektorový zápis jako ${ displaystyle {| ell rangle } _ { ell}}$. Pak

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {W} left ( sum _ {k, ell} T ^ {(k ell)} , otimes , | k rangle langle ell | right ) = sum _ {j} T ^ {(jj)}.}$

Horní indexy v závorkách nepředstavují maticové komponenty, nýbrž označují samotnou matici.

Částečné trasování a invariantní integrace

V případě konečných rozměrných Hilbertových prostorů existuje užitečný způsob pohledu na částečnou stopu zahrnující integraci s ohledem na vhodně normalizovanou Haarovu míru μ přes jednotkovou skupinu U (Ž) z Ž. Vhodně normalizovaná znamená, že μ se považuje za míru s celkovou hmotností dim (Ž).

Teorém. Předpokládat PROTI, Ž jsou konečné Hilbertovy prostory. Pak

${ displaystyle int _ { operatorname {U} (W)} (I_ {V} otimes U ^ {*}) T (I_ {V} otimes U) d mu (U)}$

dojíždí se všemi operátory formuláře ${ displaystyle I_ {V} mnohokrát S}$ a proto má jedinečnou formu ${ displaystyle R otimes I_ {W}}$. Operátor R je částečná stopa T.

Částečná stopa jako kvantová operace

Částečnou stopu lze zobrazit jako a kvantová operace. Uvažujme kvantově mechanický systém, jehož stavový prostor je tenzorovým produktem ${ displaystyle H_ {A} další H_ {B}}$ Hilbertových prostorů. Smíšený stav je popsán a matice hustoty ρ, to je nezáporný operátor třídy trasování stopy 1 na tenzorovém produktu ${ displaystyle H_ {A} další H_ {B}.}$Částečná stopa ρ vzhledem k systému B, označeno ${ displaystyle rho ^ {A}}$, se nazývá snížený stav ρ v systému A. V symbolech,

${ displaystyle rho ^ {A} = operatorname {Tr} _ {B} rho.}$

Ukázat, že je to skutečně rozumný způsob, jak přiřadit stav na A subsystému do ρ, nabízíme následující odůvodnění. Nechat M být pozorovatelný na subsystému A, pak odpovídající pozorovatelný na složeném systému je ${ displaystyle M otimes I}$. Jeden se však rozhodne definovat omezený stav ${ displaystyle rho ^ {A}}$, měla by existovat konzistence statistik měření. Očekávaná hodnota M po subsystému A je připraven v ${ displaystyle rho ^ {A}}$ a to z ${ displaystyle M otimes I}$ když je složený systém připraven v ρ by měl být stejný, tj. následující rovnost by měla platit:

${ displaystyle operatorname {Tr} (M cdot rho ^ {A}) = operatorname {Tr} (M otimes I cdot rho).}$

Vidíme, že je to splněno, pokud ${ displaystyle rho ^ {A}}$ je definováno výše prostřednictvím částečné stopy. Taková operace je navíc jedinečná.

Nechat T (H) být Banachův prostor operátorů třídy stop v prostoru Hilberta H. Lze snadno zkontrolovat, zda je částečná stopa zobrazena jako mapa

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {B}: T (H_ {A} otimes H_ {B}) rightarrow T (H_ {A})}$

je zcela pozitivní a chrání stopy.

Částečná trasovací mapa, jak je uvedena výše, vyvolává duální mapu ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$ mezi C * -algebry omezených operátorů na ${ displaystyle ; H_ {A}}$ a ${ displaystyle H_ {A} krát H_ {B}}$ dána

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A otimes I.}$

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$ mapuje pozorovatelny na pozorovatelny a je Heisenbergův obrázek zastoupení ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {B}}$.

Srovnání s klasickým případem

Předpokládejme, že místo kvantově mechanických systémů budou tyto dva systémy A a B jsou klasické. Prostor pozorovatelnosti pro každý systém jsou pak abelianské C * -algebry. Jsou ve formě C(X) a C(Y) respektive pro kompaktní prostory X, Y. Stavový prostor kompozitního systému je jednoduše

${ displaystyle C (X) mnohokrát C (Y) = C (X krát Y).}$

Stav na složeném systému je kladným prvkem ρ duálu C (X × Y), který Riesz-Markovova věta odpovídá běžnému opatření Borel na X × Y. Odpovídající redukovaný stav se získá promítnutím míry ρ na X. Částečná stopa je tedy kvantově mechanickým ekvivalentem této operace.