Stereografická projekce v kartografii - Stereographic projection in cartography - Wikipedia

Stereografická projekce světa na sever od 30 ° j. Š. Mřížka 15 °.

Stereografická projekce s Tissotův ukazatel deformace.

The stereografická projekce, také známý jako projekce planisféry nebo azimutální konformní projekce, je konformní mapová projekce jehož použití sahá až do starověku. Jako pravopisná projekce a gnomonická projekce, stereografická projekce je azimutální projekce, a když na kouli, také a perspektivní projekce.

Na elipsoid, perspektivní definice stereografické projekce není konformní a je třeba provést úpravy, aby byly zachovány její azimutální a konformní vlastnosti. The univerzální polární stereografický souřadnicový systém používá jednu takovou elipsoidní implementaci.

Dějiny

Mapa světa vytvořená Rumoldem Mercatorem v roce 1587, využívající dva rovníkové aspekty stereografické projekce.

Stereografická projekce byla pravděpodobně známa ve svém polárním aspektu vůči starověcí Egypťané, ačkoli jeho vynález je často připočítán k Hipparchus, který ji jako první Řek použil. Jeho šikmý aspekt využil řecký matematik Theon Alexandrijský ve čtvrtém století a jeho rovníkový aspekt použil arabský astronom Al-Zarkali v jedenáctém století. Nejdříve psaný popis je Ptolemaios Planisphaerium, který jej nazývá „projekcí planisféry“.

Stereografická projekce byla používána výhradně pro hvězdné mapy až do roku 1507, kdy Walther Ludd ze St. Dié v Lorraine vytvořil první známý příklad stereografické projekce zemského povrchu. Jeho popularita v kartografii vzrostla poté Rumold Mercator použil svůj rovníkový aspekt pro svůj atlas z roku 1595.^[1] Následně bylo v sedmnáctém století často používáno, přičemž jeho rovníkový aspekt byl používán pro mapy USA Východní a Západní hemisféry.^[2]

V roce 1695 Edmond Halley, motivován jeho zájmem o hvězdné mapy, zveřejnil první matematický důkaz, že tato mapa je konformní.^[3] Použil nedávno zavedené nástroje počet, vynalezený jeho přítelem Isaac Newton.

Vzorce

Sférická forma stereografické projekce je obvykle vyjádřena v polárních souřadnicích:

{ displaystyle { begin {aligned} r & = 2R tan left ({ frac { pi} {4}} - { frac { varphi} {2}} right) theta & = lambda end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle R}$ je poloměr koule a ${ displaystyle varphi}$ a ${ displaystyle lambda}$ jsou zeměpisná šířka a délka.

The koule je obvykle vybrán k modelování Země, když rozsah mapované oblasti přesahuje několik stovek kilometrů v obou rozměrech. Pro mapy menších regionů an elipsoidní model je nutné zvolit, pokud je požadována větší přesnost.^[1]

Používá elipsoidní forma polární elipsoidní projekce konformní zeměpisná šířka. Existují různé formy příčných nebo šikmých stereografických projekcí elipsoidů. Jedna metoda používá dvojitou projekci přes konformní sféru, zatímco jiné metody nikoli.

Příklady příčných nebo šikmých stereografických projekcí zahrnují Miller Oblated Stereographic^[4] a Roussilhe šikmá stereografická projekce.^[2]

Vlastnosti

Jako azimutální projekce stereografická projekce věrně představuje relativní směry všech velké kruhy procházející středem. Jako konformní projekce věrně představuje úhly všude. Kromě toho je ve své sférické formě stereografická projekce jedinou mapovou projekcí, která vykresluje vše malé kruhy jako kruhy.

3D obrázek geometrické konstrukce stereografické projekce.

Sférická forma stereografické projekce je ekvivalentní perspektivní projekci, kde je perspektivní bod v bodě na planetě naproti středovému bodu mapy.

Protože výraz pro ${ displaystyle r}$ rozchází se jako ${ displaystyle varphi}$ přístupy ${ displaystyle - { frac { pi} {2}}}$ , stereografická projekce je nekonečně velká a zobrazení jižního pólu je nemožné. Je však možné zobrazovat body libovolně blízko jižního pólu, pokud jsou hranice mapy dostatečně daleko.^[1]

Odvozené projekce

Paralely na Gall stereografická projekce jsou distribuovány se stejnými mezerami jako na středním poledníku příčný stereografická projekce.

The GS50 projekce je vytvořen mapováním šikmý stereografická projekce do složité letadlo a poté transformovat body na něm pomocí polynomu desátého řádu.

Porovnání stereografické projekce a některých azimutálních projekcí soustředěných na 90 ° severní šířky ve stejném měřítku, seřazených podle projekční výšky v poloměrech Země. (klikněte pro detail)

Reference

^ ^A ^b ^C Snyder, John P. 1987. „Mapové projekce --- Pracovní příručka“. Profesionální papír. Geologický průzkum Spojených států. 1395: 154-163. ISBN 0-226-76746-9.
^ ^A ^b Snyder, John P. (1993). Zploštění Země: Dva tisíce let mapových projekcí s. ~ 169. Chicago a London: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9.
^ Timothy Feeman. 2002. „Portréty Země: Matematik se dívá na mapy“. Americká matematická společnost.
^ Sprinsky, William H .; Snyder, John P. (1986). „The Miller Oblated Stereographic Projection for Africa, Europe, Asia and Australasia“. Americký kartograf. 13 (3): 253–261. doi:10.1559/152304086783899908.

[Working_manual-1] A ^b ^C Snyder, John P. 1987. „Mapové projekce --- Pracovní příručka“. Profesionální papír. Geologický průzkum Spojených států. 1395: 154-163. ISBN 0-226-76746-9.

[Flattening-2] A ^b Snyder, John P. (1993). Zploštění Země: Dva tisíce let mapových projekcí s. ~ 169. Chicago a London: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9.

[3] Timothy Feeman. 2002. „Portréty Země: Matematik se dívá na mapy“. Americká matematická společnost.

[4] Sprinsky, William H .; Snyder, John P. (1986). „The Miller Oblated Stereographic Projection for Africa, Europe, Asia and Australasia“. Americký kartograf. 13 (3): 253–261. doi:10.1559/152304086783899908.

[1]

[2]

[3]

[4]