Riemannovo ponoření - Riemannian submersion

v diferenciální geometrie, pobočka matematika, a Riemannovo ponoření je ponoření od jednoho Riemannovo potrubí do jiného, který respektuje metriky, což znamená, že se jedná o ortogonální projekce na tečných mezerách.

Formální definice

Nechť (M, G) a (N, h) být dva Riemannovy potrubí a ${ displaystyle f: M až N}$ a (surjektivní) ponoření, tj. a vláknité potrubí. Horizontální rozdělení ${ displaystyle mathrm {ker} (df) ^ { perp}}$ je dílčí svazek z tečný svazek z ${ displaystyle TM}$ což závisí jak na projekci ${ displaystyle f}$ a na metriku ${ displaystyle g}$ .

Pak, F se nazývá Riemannovo ponoření právě tehdy, pokud jde o izomorfismus ${ displaystyle df: mathrm {ker} (df) ^ { perp} rightarrow TN}$ je izometrie^[1].

Příklady

Příklad Riemannova ponoření vzniká, když a Lež skupina ${ displaystyle G}$ působí izometricky, volně a správně na Riemannově potrubí ${ displaystyle (M, g)}$ . Projekce ${ displaystyle pi: M rightarrow N}$ do kvocientový prostor ${ displaystyle N = M / G}$ vybavené metrikou kvocientu je Riemannovo ponoření. Například multiplikace po komponentách zapnuta ${ displaystyle S ^ {3} podmnožina mathbb {C} ^ {2}}$ skupinou komplexních čísel jednotek získá Hopfova fibrace.

Vlastnosti

Průřezové zakřivení cílového prostoru Riemannova ponoření lze vypočítat ze zakřivení celkového prostoru pomocí O'Neillův vzorec, pojmenovaný pro Barrett O'Neill:

{ displaystyle K_ {N} (X, Y) = K_ {M} ({ tilde {X}}, { tilde {Y}}) + { tfrac {3} {4}} | [{ tilde {X}}, { tilde {Y}}] ^ {V} | ^ {2}}

kde ${ displaystyle X, Y}$ jsou ortonormální vektorová pole ${ displaystyle N}$ , ${ displaystyle { tilde {X}}, { tilde {Y}}}$ jejich vodorovné výtahy do ${ displaystyle M}$ , ${ displaystyle [*, *]}$ je Ležácká závorka vektorových polí a ${ displaystyle Z ^ {V}}$ je projekce vektorového pole ${ displaystyle Z}$ do vertikální rozdělení.

Zejména spodní mez pro průřezové zakřivení ${ displaystyle N}$ je alespoň stejně velký jako dolní mez pro průřezové zakřivení ${ displaystyle M}$ .

Zobecnění a variace

Viz také

Poznámky

^ Gilkey, Peter B .; Leahy, John V .; Park, Jeonghyeong (1998), Spinors, Spectral Geometry a Riemannian Submersions „Global Analysis Research Center, Seoul National University, s. 4–5

Reference

Gilkey, Peter B .; Leahy, John V .; Park, Jeonghyeong (1998), Spinory, spektrální geometrie a Riemannovy ponoření, Centrum pro globální analýzu výzkumu, Soulská národní univerzita.
Barrett O'Neill. Základní rovnice ponoření. Michigan Math. J. 13 (1966), 459 - 469. doi:10,1307 / mmj / 1028999604

[1] Gilkey, Peter B .; Leahy, John V .; Park, Jeonghyeong (1998), Spinors, Spectral Geometry a Riemannian Submersions „Global Analysis Research Center, Seoul National University, s. 4–5

[1]