Minimální polynom (lineární algebra) - Minimal polynomial (linear algebra)
v lineární algebra, minimální polynom μA z n × n matice A přes pole F je monický polynom P přes F nejméně takového stupně P(A) = 0. Jakýkoli jiný polynom Q s Q(A) = 0 je (polynomický) násobek μA.
Následující tři příkazy jsou ekvivalentní:
- λ je kořenem μA,
- λ je kořenem charakteristický polynom χA z A,
- λ je vlastní číslo matice A.
Násobnost kořene λ z μA je největší síla m takhle ker ((A − λIn)m) přísně obsahuje ker ((A − λIn)m−1). Jinými slovy, zvýšení exponentu až na m dá stále větší jádra, ale další zvětšování exponentu dále m jen dá stejné jádro.
Pokud pole F není algebraicky uzavřeno, pak minimální a charakteristické polynomy nemusí činit faktory podle svých kořenů (v F) samostatně, jinými slovy mohou mít neredukovatelný polynom faktory stupně větší než 1. Pro neredukovatelné polynomy P jeden má podobné ekvivalence:
- P rozděluje μA,
- P rozděluje χA,
- jádro P(A) má alespoň rozměr 1.
- jádro P(A) má alespoň rozměr deg (P).
Stejně jako charakteristický polynom i minimální polynom nezávisí na základním poli, jinými slovy uvažování matice jako matice s koeficienty ve větším poli nemění minimální polynom. Důvod je poněkud odlišný od charakteristického polynomu (kde je bezprostřední z definice determinantů), konkrétně skutečnosti, že minimální polynom je určen vztahy lineární závislost mezi pravomocemi A: rozšíření základního pole nezavede žádné nové takové vztahy (samozřejmě také neodstraní existující).
Minimální polynom je často stejný jako charakteristický polynom, ale ne vždy. Například pokud A je násobek aIn matice identity, pak je její minimální polynom X − A od jádra aIn − A = 0 je již celý prostor; na druhé straně je jeho charakteristický polynom (X − A)n (jediná vlastní hodnota je Aa stupeň charakteristického polynomu se vždy rovná dimenzi prostoru). Minimální polynom vždy rozděluje charakteristický polynom, což je jeden způsob formulování Cayley-Hamiltonova věta (pro případ matic nad polem).
Formální definice
Vzhledem k endomorfismus T na konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI přes pole F, nechť JáT být množina definovaná jako
kde F[t] je prostor všech polynomů nad polem F. JáT je správný ideál z F[t]. Od té doby F je pole, F[t] je hlavní ideální doména, tedy jakýkoli ideál je generován jediným polynomem, který je jedinečný až pro jednotky v F. Lze provést konkrétní volbu mezi generátory, protože právě jeden z generátorů je monic. The minimální polynom je tedy definován jako monický polynom, který generuje JáT. Jedná se o monický polynom s nejmenším stupněm v JáT.
Aplikace
An endomorfismus φ konečného dimenzionálního vektorového prostoru nad polem F je úhlopříčně právě když jeho minimální polynomické faktory úplně skončily F do odlišný lineární faktory. Skutečnost, že existuje pouze jeden faktor X − λ za každé vlastní číslo λ znamená, že zobecněný vlastní prostor pro λ je stejný jako vlastní prostor pro λ: každý blok Jordan má velikost 1. Obecněji, pokud φ splňuje polynomickou rovnici P(φ) = 0 kde P faktory do různých lineárních faktorů F, pak bude diagonalizovatelný: jeho minimální polynom je dělitelem P a proto také faktory do zřetelných lineárních faktorů. Jeden má zejména:
- P = X k − 1: endomorfismy konečného řádu komplexních vektorových prostorů jsou diagonalizovatelné. Pro zvláštní případ k = 2 z involuce, to platí dokonce i pro endomorfismy vektorových prostorů nad jakýmkoli polem charakteristický jiný než 2, od té doby X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) je faktorizace na odlišné faktory nad takovým polem. Toto je součást teorie reprezentace cyklických skupin.
- P = X 2 − X = X(X − 1): uspokojivé endomorfismy φ2 = φ jsou nazývány projekce, a jsou vždy diagonalizovatelné (navíc mají pouze vlastní čísla 0 a 1).
- Naproti tomu, pokud μφ = X k s k ≥ 2 pak φ (nilpotentní endomorfismus) nemusí být nutně diagonalizovatelný, protože X k má opakovaný kořen 0.
Tyto případy lze také dokázat přímo, ale minimální polynom dává jednotnou perspektivu a důkaz.
Výpočet
Pro vektor proti v PROTI definovat:
Tato definice splňuje vlastnosti správného ideálu. Nechat μT,proti být monický polynom, který jej generuje.
Vlastnosti
- Od té doby JáT,proti obsahuje minimální polynom μT, to je dělitelné μT,proti.
- Li d je nejméně přirozené číslo takové, že proti, T(proti), ..., Td(proti) jsou lineárně závislé, pak existují jedinečné A0, A1, ..., Ad−1 v F, ne všechny nulové, takové
a pro tyto koeficienty jeden má
- Nechte podprostor Ž být obrazem μT,proti(T), který je T-stabilní. Od té doby μT,proti(T) ničí alespoň vektory proti, T(proti), ..., Td-1(proti), kodimenzionální z Ž je alespoň d.
- Minimální polynom μT je produktem μT,proti a minimální polynom Q omezení T na Ž. V (pravděpodobném) případě Ž má rozměr 0 jeden má Q = 1 a proto μT = μT,proti; jinak rekurzivní výpočet Q stačí najít μT.
Příklad
Definovat T být endomorfismem R3 s matricí, na kanonickém základě,