Nerovnost mladých u produktů - Youngs inequality for products - Wikipedia

v matematika, Youngova nerovnost pro výrobky je matematická nerovnost o součin dvou čísel.^[1] Nerovnost je pojmenována po William Henry Young a neměla by být zaměňována s Youngova konvoluční nerovnost.

Youngovu nerovnost vůči produktům lze použít k prokázání Hölderova nerovnost. Je také široce používán k odhadu normy nelineárních výrazů v Teorie PDE, protože umožňuje odhadnout součin dvou členů součtem stejných členů zvýšených na mocninu a škálovaných.

Standardní verze pro konjugované Hölderovy exponenty

Standardní forma nerovnosti je následující:

Teorém — Li A a b jsou nezáporné reálná čísla a p a q jsou reálná čísla větší než 1, takže 1 /p + 1/q = 1, tedy

{ displaystyle ab leq { frac {a ^ {p}} {p}} + { frac {b ^ {q}} {q}} ~.}

Rovnost platí tehdy a jen tehdy $A p = b q$ .

Tuto formu Youngovy nerovnosti lze dokázat Jensenova nerovnost a lze je použít k prokázání Hölderova nerovnost.

Důkaz —

Toto tvrzení je jistě pravdivé, pokud $A = 0$ nebo $b = 0$ . Proto předpokládejme $A > 0$ a $b > 0$ v následujícím. Dát $t = 1/ p$ , a $(1 - t) = 1/ q$ . Od té doby logaritmus funkce je konkávní,

{ displaystyle ln (ta ^ {p} + (1-t) b ^ {q}) geq t ln (a ^ {p}) + (1-t) ln (b ^ {q}) = ln (a) + ln (b) = ln (ab)}

s držením rovnosti právě tehdy $A p = b q$ . Youngova nerovnost následuje umocněním.

Youngova nerovnost může být ekvivalentně napsána jako

{ displaystyle a ^ { alpha} b ^ { beta} leq alpha a + beta b, qquad , 0 leq alpha, beta leq 1, quad alpha + beta = 1 ~.}

Kde je to jen konkávnost logaritmus funkce. Rovnost platí tehdy a jen tehdy $A = b$ nebo ${ displaystyle { alpha, beta } = {0,1 }}$ .

Zobecnění

Teorém^[2] — Předpokládat $A > 0$ a $b > 0$ . Li $1 < p < \infty$ a $q := .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} p / p - 1$ pak

ab = min 0 < t < \infty t p A p / p + t - q b q / q

.

Všimněte si, že tím, že necháte $t = 1$ a nahrazení $A$ (resp. $b$ ) s $A 1/ p$ (resp. $b 1/ q$ ), získáváme

A 1/ p b 1/ q \leq A / p + b / q

což je užitečné pro prokázání Hölderova nerovnost.

Důkaz^[2] —

Definujte funkci se skutečnou hodnotou $F$ o kladných reálných číslech o

F (t) := t p A p / p + t - q b q / q

pro každého $t > 0$ a poté vypočítat jeho minimum.

Teorém — : ${ displaystyle prod _ {i} {a_ {i}} ^ { alpha _ {i}} leq sum _ {i} alpha _ {i} a_ {i}, quad 0 leq alpha _ {i} leq 1, quad sum _ {i} alpha _ {i} = 1 ~.}$ Rovnost platí tehdy a jen tehdy, pokud všechny ${ displaystyle a_ {i}}$ s nenulovou ${ displaystyle alpha _ {i}}$ s jsou stejné.

Základní případ

Elementárním případem Youngovy nerovnosti je nerovnost s exponent 2,

{ displaystyle ab leq { frac {a ^ {2}} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}},}

což také vede k tzv. Youngově nerovnosti s ε (platí pro všechny ε > 0), někdy nazývaná Peter – Paul nerovnost.^[3] Tento název odkazuje na skutečnost, že přísnější kontroly nad druhým termínem je dosaženo za cenu ztráty určité kontroly nad prvním termínem - člověk musí „okrást Petra, aby zaplatil Pavlovi“

{ displaystyle ab leq { frac {a ^ {2}} {2 varepsilon}} + { frac { varepsilon b ^ {2}} {2}}.}

Důkaz

Youngova nerovnost s exponentem 2 je zvláštní případ p = q = 2. Má však elementárnější důkaz.

Začněte pozorováním, že čtverec každého reálného čísla je nulový nebo kladný. Proto pro každou dvojici reálných čísel A a b můžeme psát:

{ displaystyle 0 leq (a-b) ^ {2}}

Vypracujte čtverec na pravé straně:

{ displaystyle 0 leq a ^ {2} -2ab + b ^ {2}}

Přidejte '2ab' na obě strany:

{ displaystyle 2ab leq a ^ {2} + b ^ {2}}

Vydělte obě strany 2 a máme Youngovu nerovnost s exponentem 2:

{ displaystyle ab leq { frac {a ^ {2}} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}}}

Youngova nerovnost s ε následuje střídáním ${ displaystyle a '}$ a ${ displaystyle b '}$ jak je uvedeno níže do Youngovy nerovnosti s exponentem 2:

{ displaystyle a '= a / { sqrt { varepsilon}}, { text {}} b' = { sqrt { varepsilon}} b.}

Zobecnění matice

T. Ando dokázal zobecnění Youngovy nerovnosti pro složité matice nařízené Objednávka loewneru.^[4] Uvádí se, že pro jakýkoli pár A, B složitých matic řádu n existuje jednotná matice U takhle

{ displaystyle U ^ {*} | AB ^ {*} | U preceq { frac {1} {p}} | A | ^ {p} + { frac {1} {q}} | B | ^ {q},}

kde * označuje konjugovat transponovat matice a ${ displaystyle | A | = { sqrt {A ^ {*} A}}}$ .

Standardní verze pro zvýšení funkcí

Plocha obdélníku a, b nemůže být větší než součet oblastí pod funkcemi

{ displaystyle f}

(červená) a

{ displaystyle f ^ {- 1}}

(žlutá)

Pro standardní verzi^[5]^[6] nerovnosti, ať F označují skutečnou hodnotu, nepřetržitou a přísně rostoucí funkci na [0,C] s C > 0 a F(0) = 0. Nechť F⁻¹ označit inverzní funkce zF. Pak pro všechny A ∈ [0, C] a b ∈ [0, F(C)],

{ displaystyle ab leq int _ {0} ^ {a} f (x) , dx + int _ {0} ^ {b} f ^ {- 1} (x) , dx}

s rovností právě tehdy b = F(A).

S ${ displaystyle f (x) = x ^ {p-1}}$ a ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = y ^ {q-1}}$ , to se redukuje na standardní verzi pro konjugované Hölderovy exponenty.

Podrobnosti a zevšeobecnění odkazujeme na dokument Mitroi & Niculescu ^[7].

Zobecnění pomocí transformací Fenchel – Legendre

Li F je konvexní funkce a jeho Legendární transformace (konvexní konjugát ) je označen G, pak

{ Displaystyle ab leq f (a) + g (b).}

To bezprostředně vyplývá z definice transformace Legendre.

Obecněji, pokud F je konvexní funkce definované na reálném vektorovém prostoru ${ displaystyle X}$ a jeho konvexní konjugát je označen ${ displaystyle f ^ { star}}$ (a je definován na dvojí prostor ${ displaystyle X ^ { star}}$ ), pak

{ displaystyle langle u, v rangle leq f ^ { star} (u) + f (v).}

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle: X ^ { star} krát X to mathbb {R}}$ je dvojité párování.

Příklady

Legendární transformace F(A) = A^p/p je G(b) = b^q/q s q takový, že 1 /p + 1/q = 1, a tedy Youngova nerovnost pro konjugované Hölderovy exponenty uvedená výše je zvláštní případ.
Legendární transformace F(A) = e^A - 1 je G(b) = 1 − b + b ln b, proto ab ≤ e^A − b + b lnb pro všechny nezáporné A a b. Tento odhad je užitečný v teorie velkých odchylek za podmínek exponenciálního momentu, protože b ln b se objeví v definici relativní entropie, který je rychlostní funkce v Sanovova věta.

Viz také

Poznámky

^ Young, W. H. (1912), „O třídách sumovatelných funkcí a jejich Fourierových řadách“, Sborník královské společnosti A, 87 (594): 225–229, doi:10.1098 / rspa.1912.0076, JFM 43.1114.12, JSTOR 93236
^ ^A ^b Jarchow 1981, str. 47-55.
^ Tisdell, Chris (2013), Nerovnost Petera Paula, YouTube video na kanálu YouTube od Chrisa Tisdella,
^ T. Ando (1995). „Maticové mladé nerovnosti“. In Huijsmans, C. B .; Kaashoek, M. A .; Luxemburg, W. A. J .; et al. (eds.). Teorie operátorů ve funkčních prostorech a Banachových mřížích. Springer. str. 33–38. ISBN 978-3-0348-9076-2.
^ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) [1934], Nerovnosti, Cambridge Mathematical Library (2. vyd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8, PAN 0046395, Zbl 0047.05302, Kapitola 4.8
^ Henstock, Ralph (1988), Přednášky o teorii integrace, Series in Real Analysis Volume I, Singapore, New Jersey: World Scientific, ISBN 9971-5-0450-2, PAN 0963249, Zbl 0668.28001, Věta 2.9
^ Mitroi, F. C. a Niculescu, C. P. (2011). Rozšíření Youngovy nerovnosti. In Abstract and Applied Analysis (Vol.2011). Hindawi.

Reference

Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.

externí odkazy

[1] Young, W. H. (1912), „O třídách sumovatelných funkcí a jejich Fourierových řadách“, Sborník královské společnosti A, 87 (594): 225–229, doi:10.1098 / rspa.1912.0076, JFM 43.1114.12, JSTOR 93236

[FOOTNOTEJarchow198147-55-2] A ^b Jarchow 1981, str. 47-55.

[3] Tisdell, Chris (2013), Nerovnost Petera Paula, YouTube video na kanálu YouTube od Chrisa Tisdella,

[4] T. Ando (1995). „Maticové mladé nerovnosti“. In Huijsmans, C. B .; Kaashoek, M. A .; Luxemburg, W. A. J .; et al. (eds.). Teorie operátorů ve funkčních prostorech a Banachových mřížích. Springer. str. 33–38. ISBN 978-3-0348-9076-2.

[5] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) [1934], Nerovnosti, Cambridge Mathematical Library (2. vyd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8, PAN 0046395, Zbl 0047.05302, Kapitola 4.8

[6] Henstock, Ralph (1988), Přednášky o teorii integrace, Series in Real Analysis Volume I, Singapore, New Jersey: World Scientific, ISBN 9971-5-0450-2, PAN 0963249, Zbl 0668.28001, Věta 2.9

[7] Mitroi, F. C. a Niculescu, C. P. (2011). Rozšíření Youngovy nerovnosti. In Abstract and Applied Analysis (Vol.2011). Hindawi.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]