Produkt Wick - Wick product
v teorie pravděpodobnosti, Produkt Wick je zvláštní způsob definování upraveného produkt sady náhodné proměnné. V produktu nejnižšího řádu úprava odpovídá odečtení střední hodnoty a ponechání výsledku, jehož průměr je nula. U produktů vyššího řádu úprava zahrnuje odečtení (běžných) produktů náhodných proměnných nižšího řádu symetrickým způsobem a opět ponechání výsledku, jehož průměr je nula. Produkt Wick je polynomiální funkcí náhodných proměnných, jejich očekávaných hodnot a očekávaných hodnot jejich produktů.
Definice produktu Wick okamžitě vede k Síla knotu jedné náhodné proměnné a to umožňuje definovat analogy dalších funkcí náhodných proměnných na základě nahrazení běžných mocnin v expanzích mocninné řady Wickovými mocnostmi. Wickovy síly běžně viděných náhodných proměnných lze vyjádřit pomocí speciálních funkcí, jako jsou Bernoulliho polynomy nebo Hermitovy polynomy.
Produkt Wick je pojmenován po fyzikovi Gian-Carlo Wick srov. Wickova věta.
Definice
Předpokládat, že X1, ..., Xk jsou náhodné proměnné s konečnou momenty. Produkt Wick
je něco jako produkt definováno rekurzivně takto:[Citace je zapotřebí ]
(tj prázdný produkt —Výrobek bez náhodných proměnných vůbec - je 1). Pro k ≥ 1, ukládáme požadavek
kde znamená, že Xi chybí spolu s omezením, že průměr je nula,
Příklady
Z toho vyplývá, že
Další notační konvence
V notaci konvenční mezi fyziky je produkt Wick často označován takto:
a zápis úhlové závorky
se používá k označení očekávaná hodnota náhodné proměnné X.
Wickovy síly
The nth Síla knotu náhodné proměnné X je produkt Wick
s n faktory.
Posloupnost polynomů Pn takhle
pro muže Appellova sekvence, tj. uspokojují identitu
pro n = 0, 1, 2, ... a P0(X) je nenulová konstanta.
Lze například ukázat, že pokud X je rovnoměrně rozloženo pak na intervalu [0, 1]
kde Bn je nth-stupeň Bernoulliho polynom. Podobně, pokud X je normálně distribuováno tedy s odchylkou 1
kde Hn je nth Poustevnický polynom.
Binomická věta
Knot exponenciální
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Květen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Reference
- Knotový produkt Springer Encyclopedia of Mathematics
- Florin Avram a Murad Taqqu, (1987) "Noncentral Limit Theorems and Appell Polynomials", Annals of Probability, svazek 15, číslo 2, strany 767—775, 1987.
- Hida, T. a Ikeda, N. (1967) „Analýza v Hilbertově prostoru s reprodukčním jádrem vyplývajícím z více Wienerova integrálu“. Proc. Páté Berkeley Sympos. Matematika. Statist. a pravděpodobnost (Berkeley, Kalifornie, 1965/66). Sv. II: Příspěvky k teorii pravděpodobnosti, část 1 117–143 Univ. California Press
- Wick, G. C. (1950) „Vyhodnocení kolizní matice“. Fyzická rev. 80 (2), 268–272.
- Hu, Yao-zhong; Yan, Jia-an (2009) "Wickův počet pro nelineární gaussovské funkcionály", Acta Mathematicae Applicatae Sinica (anglická řada), 25 (3), 399–414 doi:10.1007 / s10255-008-8808-0