Begriffsschrift - Begriffsschrift

Titulní strana původního vydání z roku 1879

Begriffsschrift (Německy zhruba „concept-script“) je kniha o logika podle Gottlob Frege, publikovaný v roce 1879, a formální systém uvedené v té knize.

Begriffsschrift se obvykle překládá jako koncept psaní nebo koncept notace; plný název knihy ji označuje jako „a vzorec Jazyk, po vzoru toho aritmetický, z čistého myslel „Fregeova motivace k rozvoji formálního přístupu k logice se podobala Leibniz motivace pro jeho kalkulátor ratiocinator (Navzdory tomu v předmluvě Frege jasně popírá, že dosáhl tohoto cíle, a také to, že jeho hlavním cílem by bylo vytvoření ideálního jazyka, jako je Leibniz, který Frege prohlašuje za docela tvrdý a idealistický - i když ne nemožný - úkol). Frege pokračoval ve výzkumu logiky pomocí svého logického počtu základy matematiky, provedené v příštím čtvrtstoletí.

Zápis a systém

Kalkul obsahuje první výskyt kvantifikovaných proměnných a je v podstatě klasický bivalentní logika druhého řádu s identitou. Je bivalentní v tom, že věty nebo vzorce označují buď True, nebo False; druhého řádu, protože obsahuje kromě objektových proměnných i relační proměnné a umožňuje kvantifikaci přes obě. Modifikátor "s identitou" určuje, že jazyk zahrnuje vztah identity,.

Frege představuje svůj kalkul pomocí idiosynkratické dvojrozměrnosti notace: spojovací výrazy a kvantifikátory jsou psány pomocí řádků spojujících vzorce, spíše než dnes používané symboly ¬, ∧ a ∀. Například ten rozsudek B podstatně implikuje úsudek A, tj. ${ displaystyle B rightarrow A}$ je psán jako .

V první kapitole Frege definuje základní myšlenky a notaci, jako je výrok („úsudek“), univerzální kvantifikátor („obecnost“), podmiňovací způsob, negace a „znaménko pro identitu obsahu“ ${ displaystyle equiv}$ (kterým označoval obojí materiální rovnocennost a vlastní identita); ve druhé kapitole deklaruje devět formalizovaných výroků jako axiomy.

Základní koncept	Fregeova notace	Moderní notace
Soudě	${ displaystyle vdash A, Vdash A}$	${ displaystyle p (A) = 1,}$ ${ displaystyle p (A) = i}$${ displaystyle vdash A, Vdash A}$
Negace		${ displaystyle neg A}$ ${ displaystyle { sim} A}$
Podmíněné (implikace)		${ displaystyle B rightarrow A}$ ${ displaystyle B supset A}$
Univerzální kvantifikace		${ displaystyle forall x , F (x)}$
Existenční kvantifikace		${ displaystyle existuje x , F (x)}$
Identita obsahu (ekvivalence / identita)	${ displaystyle A equiv B}$	${ displaystyle A leftrightarrow B}$ ${ displaystyle A equiv B}$ ${ displaystyle A = B}$

V kapitole 1, §5, Frege definuje podmíněné takto:

„Nechť A a B odkazují na souditelný obsah, pak jsou čtyři možnosti:

1. A je uplatněno, B je uplatněno;
2. A je uplatněno, B je negováno;
3. A je negováno, B je uplatněno;
4. A je negováno, B je negováno.

Nechat

znamenají, že třetí z těchto možností nezíská, ale jedna ze tří dalších ano. Takže pokud negujeme , to znamená, že platí třetí možnost, tj. negujeme A a tvrdíme B. “

Kalkul ve Fregeově práci

Frege prohlásil za devět svých návrhů axiomy, a ospravedlnil je neformální argumentací, že vzhledem k jejich zamýšlenému významu vyjadřují zjevné pravdy. Tyto axiomy, vyjádřené v současné notaci, jsou:

1. ${ displaystyle vdash A rightarrow left (B rightarrow A right)}$
2. ${ displaystyle vdash vlevo [ A rightarrow left (B rightarrow C right) right] rightarrow left [ left (A rightarrow B right) rightarrow left (A rightarrow C right) right]}$
3. ${ displaystyle vdash vlevo [ D rightarrow left (B rightarrow A right) right] rightarrow left [ B rightarrow left (D rightarrow A right) že jo]}$
4. ${ displaystyle vdash vlevo (B rightarrow A right) rightarrow left ( lnot A rightarrow lnot B right)}$
5. ${ displaystyle vdash není není A pravá šipka A}$
6. ${ displaystyle vdash A rightarrow lnot lnot A}$
7. ${ Displaystyle vdash doleva (c = d pravá) pravá šipka levá (f (c) = f (d) pravá)}$
8. ${ displaystyle vdash c = c}$
9. ${ displaystyle vdash vše a f (a) rightarrow f (c)}$

Toto jsou návrhy 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 a 58 v EU Begriffschrifft. (1) - (3) vládnou materiální implikace, (4)–(6) negace, (7) a (8) totožnost a (9) univerzální kvantifikátor. (7) vyjadřuje Leibniz je nerozeznatelnost identit, a (8) tvrdí, že identita je a reflexivní vztah.

Všechny ostatní návrhy jsou odvozeny z (1) - (9) vyvoláním kteréhokoli z následujících odvozovací pravidla:

• Modus ponens umožňuje nám to odvodit ${ displaystyle vdash B}$ z ${ displaystyle vdash A až B}$ a ${ displaystyle vdash A}$;
• The pravidlo zobecnění umožňuje nám to odvodit ${ Displaystyle vdash P to forall xA (x)}$ z ${ displaystyle vdash P do A (x)}$ -li X nevyskytuje se v P;
• The pravidlo náhrady, což Frege výslovně neuvádí. Toto pravidlo je mnohem těžší přesně formulovat než dvě předchozí pravidla a Frege se jej dovolává způsoby, které zjevně nejsou legitimní.

Hlavní výsledky třetí kapitoly s názvem „Části z teorie obecné řady“ se týkají toho, čemu se nyní říká rodový vztahu R. "A je R- předchůdce b" je psáno "aR*b".

Frege použil výsledky z Begriffsschrifft, včetně těch o předcích vztahu, v jeho pozdější práci Základy aritmetiky. Pokud tedy vezmeme xRy být vztahem y = X + 1, poté 0R*y je predikát "y je přirozené číslo. “(133) říká, že pokud X, y, a z jsou přirozená čísla, pak musí platit jedna z následujících možností: X < y, X = ynebo y < X. Toto je takzvaný „zákon o“ trichotomie ".

Vliv na jiná díla

Pro pečlivou nedávnou studii o tom, jak Begriffsschrift byla přezkoumána v německé matematické literatuře, viz Vilko (1998). Někteří recenzenti, zejména Ernst Schröder, byly celkově příznivé. Všichni pracují ve formální logice následně po Begriffsschrift je jí zavázán, protože její logika druhého řádu byla první formální logikou schopnou představovat poctivý kus matematiky a přirozeného jazyka.

Nějaká známka Fregeovy notace přežila v „turniket "symbol." ${ displaystyle vdash}$ odvozený z jeho „Urteilsstrich“ (posuzování / odvozování mrtvice) │ a „Inhaltsstrich“ (tj. tah obsahu) ──. Frege použil tyto symboly v Begriffsschrift ve sjednocené formě ├─ pro prohlášení, že tvrzení je pravdivé. Ve své pozdější „Grundgesetze“ mírně reviduje svou interpretaci symbolu ├─.

V „Begriffsschrift“ se používá „Definitionsdoppelstrich“ (tj. definice dvojitý zdvih) │├─ označuje, že výrok je definice. Dále znak negace ${ displaystyle neg}$ lze číst jako kombinaci vodorovné Inhaltsstrich se svislou negací. Tento symbol negace byl znovu zaveden Arend Heyting^[1] v roce 1930 rozlišovat intuitivní z klasické negace. Objevuje se také v Gerhard Gentzen disertační práce.

V Tractatus Logico Philosophicus, Ludwig Wittgenstein vzdává poctu Frege použitím tohoto výrazu Begriffsschrift jako synonymum pro logický formalismus.

Fregeova esej z roku 1892, “O smyslu a odkazu, “připomíná některé závěry z Begriffsschrifft o identitě (v matematice označeno znaménkem „=“). Zejména odmítá názor „Begriffsschrift“, že predikát identity vyjadřuje vztah mezi jmény, ve prospěch závěru, že vyjadřuje vztah mezi objekty to jsou označeno těmito jmény.

Citace

„Pokud je úkolem filozofie prolomit nadvládu slov nad lidskou myslí [...], pak můj koncept zápisu, který byl vyvinut pro tyto účely, může být užitečným nástrojem pro filozofy [...] Věřím, že příčina logiky již bylo dosaženo vynálezem tohoto konceptu. “ (Předmluva k Begriffsschrift)

Edice

• Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a / S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Překlady:

• Bynum, Terrell Ward, trans. a vyd., 1972. Konceptuální notace a související články, s biografií a úvodem. Oxford Uni. Lis.
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, „Concept Script“ v Jean van Heijenoort, vyd., Od Frege po Gödela: Kniha pramenů v matematické logice, 1879-1931. Harvard Uni. Lis.
• Beaney, Michael, 1997, "Begriffsschrift: Výběry (předmluva a část I)" v Čtenář Frege. Oxford: Blackwell.

Viz také

• Rodový vztah
• Počet ekvivalentních výroků
• Fregeův výrokový počet
• Principia Mathematica

Reference

Další čtení

• George Boolos, 1985. „Čtení Begriffsschrift", Mysl 94: 331–44.
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. Při hledání matematických kořenů. Princeton University Press.
• Risto Vilkko, 1998, "Příjem Frege Begriffsschrift," Historia Mathematica 25 (4): 412–22.

externí odkazy

• Zalta, Edward N. „Fregeova logika, věta a základy pro aritmetiku“. v Zalta, Edward N. (vyd.). Stanfordská encyklopedie filozofie.
• Begriffsschrift jako fax ke stažení (2,5 MB)