Quintic trojí - Quintic threefold

V matematice, a quintic trojí je 3-dimenzionální hyperplocha stupně 5 ve 4-dimenzionálním projektivním prostoru. Non-singulární quintic trojí jsou Rozdělovače Calabi – Yau.

The Hodge diamant ne-singulárního kvintického 3-násobku je

Matematik Robbert Dijkgraaf řekl: "Jedno číslo, které každý algebraický geometr zná, je číslo 2 875, protože to je samozřejmě počet řádků na kvintiku."^[1]

Definice

Quintic trojnásobek je speciální třída Rozdělovače Calabi – Yau definované stupněm ${displaystyle 5}$ projektivní rozmanitost v ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$. Mnoho příkladů je konstruováno jako hyperplochy v ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$nebo kompletní křižovatky ležící uvnitř ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$, nebo jako plynulá odrůda řešící singularity jiné odrůdy. Jako sada je rozdělovač Calabi-Yau

${displaystyle X = {x = [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}: x_ {4}] v mathbb {CP} ^ {4}: p (x) = 0} }$

kde ${displaystyle p (x)}$ je titul ${displaystyle 5}$ homogenní polynom. Jeden z nejvíce studovaných příkladů je z polynomu

${displaystyle p (x) = x_ {0} ^ {5} + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5 }}$

volal a Fermatův polynom. Prokázat, že takový polynom definuje Calabi-Yau, vyžaduje další nástroje, například Adjunkční vzorec a podmínky pro hladkost.

Hyperplochy v P⁴

Připomeňme, že je to homogenní polynom ${displaystyle fin Gamma (mathbb {P} ^ {4}, {mathcal {O}} (d))}$ (kde ${displaystyle {mathcal {O}} (d)}$ je Serre-twist z svazek nadroviny ) definuje a projektivní rozmanitost nebo projektivní schéma, ${displaystyle X}$, z algebry

${displaystyle {frac {k [x_ {0}, ldots, x_ {4}]} {(f)}}}$

kde ${displaystyle k}$ je pole, jako např ${displaystyle mathbb {C}}$. Poté pomocí Adjunkční vzorec vypočítat jeho kanonický svazek, my máme

${displaystyle {egin {aligned} Omega _ {X} ^ {3} & = omega _ {X} & = omega _ {mathbb {P} ^ {4}} další {mathcal {O}} (d) & cong {mathcal {O}} (- (4 + 1)) často {mathcal {O}} (d) & cong {mathcal {O}} (d-5) konec {zarovnáno}}}$

proto, aby odrůda byla Calabi-Yau, což znamená, že má triviální kanonický svazek, musí být její stupeň ${displaystyle 5}$. Pokud jde navíc o tuto odrůdu, jedná se o rozdělovač Calabi-Yau hladký. To lze zkontrolovat pohledem na nuly polynomů

${displaystyle partial _ {0} f, ldots, partial _ {4} f}$

a ujistěte se, že je sada

${displaystyle {x = [x_ {0}: cdots: x_ {4}] | f (x) = částečné _ {0} f (x) = cdots = částečné _ {4} f (x) = 0}}$

je prázdný.

Příklady

Fermat Quintic

Jeden z nejjednodušších příkladů pro kontrolu potrubí Calabi-Yau je uveden v Fermatův kvintický trojnásobek, který je definován mizejícím lokusem polynomu

${displaystyle f = x_ {0} ^ {5} + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5}}$

Výpočet dílčích derivací ${displaystyle f}$ dává čtyři polynomy

${displaystyle {egin {zarovnáno} částečné _ {0} f = 5x_ {0} ^ {4} částečné _ {1} f = 5x_ {1} ^ {4} částečné _ {2} f = 5x_ {2} ^ {4} částečné _ {3} f = 5x_ {3} ^ {4} částečné _ {4} f = 5x_ {4} ^ {4} end {zarovnáno}}}$

Protože jediné body, kde zmizí, jsou dány souřadnicovými osami v ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$, mizející lokus je od té doby prázdný ${displaystyle [0: 0: 0: 0: 0]}$ není bod v ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$.

Jako Hodgeova hypotéza

Další aplikace kvintického trojnásobku je při studiu nekonečně zobecněného Hodgeova domněnka kde lze v tomto případě vyřešit tento obtížný problém^[2]. Ve skutečnosti lze všechny řádky na tomto hyperplochu najít explicitně.

Dwork rodina quintic trojnásobné

Další populární třídou příkladů kvintických trojnásobků, studovaných v mnoha kontextech, je Dwork rodina. Jedna populární studie o takové rodině pochází od Candelas, De La Ossa, Green a Parkes^[3], když objevili zrcadlová symetrie. To je dáno rodinou

${displaystyle f_ {psi} = x_ {0} ^ {5} + x_ {1} ^ {5} + x_ {2} ^ {5} + x_ {3} ^ {5} + x_ {4} ^ {5 } -5psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4}}$^{[4] stránky 123-125}

kde ${displaystyle psi}$ je jediný parametr, který se nerovná 5tému kořen jednoty. To lze zjistit výpočtem parciálních derivací ${displaystyle f_ {psi}}$ a vyhodnocení jejich nul. Dílčí derivace jsou dány vztahem

${displaystyle {egin {zarovnáno] částečné _ {0} f_ {psi} = 5x_ {0} ^ {4} -5psi x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} částečné _ {1} f_ {psi} = 5x_ {1} ^ {4} -5psi x_ {0} x_ {2} x_ {3} x_ {4} částečné _ {2} f_ {psi} = 5x_ {2} ^ {4} - 5 psi x_ {0} x_ {1} x_ {3} x_ {4} částečné _ {3} f_ {psi} = 5x_ {3} ^ {4} -5psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {4} částečné _ {4} f_ {psi} = 5x_ {4} ^ {4} -5psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} end {zarovnáno}}}$

V bodě, kde jsou částečné derivace nulové, to dává vztah ${displaystyle x_ {i} ^ {5} = psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4}}$. Například v ${displaystyle partial _ {0} f_ {psi}}$ dostaneme

${displaystyle {egin {aligned} 5x_ {0} ^ {4} & = 5psi x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {0} ^ {4} & = psi x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {0} ^ {5} & = psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} konec {zarovnáno}}}$

dělením ${displaystyle 5}$ a vynásobením každé strany ${displaystyle x_ {0}}$. Z vynásobení těchto rodin rovnic ${displaystyle x_ {i} ^ {5} = psi x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4}}$ společně máme vztah

${displaystyle prod x_ {i} ^ {5} = psi ^ {5} prod x_ {i} ^ {5}}$

zobrazení řešení je dáno buď ${displaystyle x_ {i} = 0}$ nebo ${displaystyle psi ^ {5} = 1}$. Ale v prvním případě dávají hladký sublokus od měnícího se termínu v ${displaystyle f_ {psi}}$ zmizí, takže v něm musí ležet jednotný bod ${displaystyle psi ^ {5} = 1}$. Vzhledem k takovému ${displaystyle psi}$, singulární body mají potom tvar

${displaystyle [mu _ {5} ^ {a_ {0}}: cdots: mu _ {5} ^ {a_ {4}}]}$ takhle ${displaystyle mu _ {5} ^ {součet a_ {i}} = psi ^ {- 1}}$

kde ${displaystyle mu _ {5} = e ^ {2pi i / 5}}$. Například bod

${displaystyle [mu _ {5} ^ {4}: mu _ {5} ^ {- 1}: mu _ {5} ^ {- 1}: mu _ {5} ^ {- 1}: mu _ {5 } ^ {- 1}]}$

je řešením obou ${displaystyle f_ {1}}$ a jeho dílčí deriváty od roku ${displaystyle (mu _ {5} ^ {i}) ^ {5} = (mu _ {5} ^ {5}) ^ {i} = 1 ^ {i} = 1}$, a ${displaystyle psi = 1}$.

Další příklady

• Barth – Nieto quintic
• Consani – Scholten quintic

Křivky na kvintickém trojnásobku

Výpočet počtu racionálních křivek stupňů ${displaystyle 1}$ lze vypočítat explicitně pomocí Schubertův počet. Nechat ${displaystyle T ^ {*}}$ být hodností ${displaystyle 2}$ vektorový svazek na Grassmannian ${displaystyle G (2,5)}$ z ${displaystyle 2}$- letadla v nějaké pozici ${displaystyle 5}$ vektorový prostor. Projektování ${displaystyle G (2,5)}$ na ${displaystyle mathbb {G} (1,4)}$ dává projektivní grassmannian řádků stupně 1 v ${displaystyle mathbb {P} ^ {4}}$ a ${displaystyle T ^ {*}}$ sestupuje na vektorový svazek na tomto projektivním Grassmannianovi. Je to celkem třída chern je

${displaystyle c (T ^ {*}) = 1 + sigma _ {1} + sigma _ {1,1}}$

v Chow prsten ${displaystyle A ^ {ullet} (mathbb {G} (1,4))}$. Nyní sekce ${displaystyle lin Gamma (mathbb {G} (1,4), T ^ {*})}$ svazku odpovídá lineárnímu homogennímu polynomu, ${displaystyle {ilde {l}} v gama (mathbb {P} ^ {4}, {mathcal {O}} (1))}$, takže část ${displaystyle {ext {Sym}} ^ {5} (T ^ {*})}$ odpovídá kvintickému polynomu, části ${displaystyle Gamma (mathbb {P} ^ {4}, {mathcal {O}} (5))}$. Potom, aby bylo možné vypočítat počet řádků na generickém kvintickém trojnásobku, stačí vypočítat integrál

${displaystyle int _ {mathbb {G} (1,4)} c ({ext {Sym}} ^ {5} (T ^ {*})) = 2875}$^[5]

Toho lze dosáhnout pomocí princip rozdělení. Od té doby

${displaystyle {egin {zarovnáno} c (T ^ {*}) & = (1 + alfa) (1+ eta) & = 1+ (alfa + eta) + alfa eta konec {zarovnáno}}}$

a pro dimenzi ${displaystyle 2}$ vektorový prostor, ${displaystyle V = V_ {1} oplus V_ {2}}$,

${displaystyle {ext {Sym}} ^ {5} (V) = igoplus _ {i = 0} ^ {5} (V_ {1} ^ {otimes 5-i} otimes V_ {2} ^ {otimes i}) }$

takže celková třída chern ${displaystyle {ext {Sym}} ^ {5} (T ^ {*})}$ je dán produktem

${displaystyle c ({ext {Sym}} ^ {5} (T ^ {*})) = prod _ {i = 0} ^ {5} (1+ (5-i) alpha + i eta)}$

Poté eulerova třída nebo je nejvyšší třída

${displaystyle 5alpha (4alpha + eta) (3alpha +2 eta) (2alpha +3 eta) (alpha +4 eta) 5 eta}$

rozšiřovat to z hlediska původních tříd chern dává

${displaystyle {egin {aligned} c_ {6} ({ext {Sym}} ^ {5} (T ^ {*})) & = 25sigma _ {1,1} (4sigma _ {1} ^ {2} + 9sigma _ {1,1}) (6sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {1,1}) & = (100sigma _ {2,2} + 225sigma _ {2,2}) (6sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {1,1}) & = 325sigma _ {2,2} (6sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {1,1}) konec {zarovnáno}} }$

pomocí vztahů ${displaystyle sigma _ {1,1} cdot sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {2,2}}$, ${displaystyle sigma _ {1,1} ^ {2} = sigma _ {2,2}}$.

Racionální křivky

Herbert Clemens  (1984 ) se domníval, že počet racionálních křivek daného stupně na generickém kvintickém trojnásobku je konečný. (Některé hladké, ale negenerické kvintické trojnásobky mají na sobě nekonečné rodiny čar.) Toto bylo ověřeno pro stupně až 7 Sheldon Katz  (1986 ), který také vypočítal počet 609250 racionálních křivek stupně 2. Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa a Paul S. Green a kol. (1991 ) se domníval obecný vzorec pro virtuální počet racionálních křivek jakéhokoli stupně, což prokázal Givental (1996) (skutečnost, že se virtuální číslo rovná skutečnému počtu, závisí na potvrzení Clemensova domněnky, která je v současné době známá maximálně 11 Cotterill (2012) Počet racionálních křivek různých stupňů na generickém kvintickém trojnásobku je dán vztahem

2875, 609250, 317206375, 242467530000, ... (sekvence A076912 v OEIS ).

Jelikož generická kvintická trojnásobnost je trojnásobná Calabi – Yau a prostor modulů racionálních křivek daného stupně je diskrétní, konečná množina (tedy kompaktní), mají dobře definované Donaldson – Thomasovy invarianty („virtuální počet bodů“); alespoň pro 1. a 2. stupeň souhlasí se skutečným počtem bodů.

Viz také

• Zrcadlová symetrie (teorie strun)
• Gromov – Wittenův invariant
• Jacobian ideální - dává výslovný základ pro Hodgeův rozklad
• Teorie deformace
• Hodgeova struktura
• Schubertův počet - techniky pro stanovení počtu řádků na kvintickém trojnásobku

Reference

• Arapura, Donu, „Výpočet některých čísel Hodge“ (PDF)
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C .; Green, Paul S .; Parkes, Linda (1991), „Dvojice potrubí Calabi-Yau jako přesně rozpustná superkonformní teorie“, Jaderná fyzika B, 359 (1): 21–74, doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6, PAN  1115626
• Clemens, Herbert (1984), "Některé výsledky týkající se mapování Abel-Jacobi", Témata transcendentální algebraické geometrie (Princeton, NJ, 1981/1982), Ann. matematiky. Stud., 106, Princeton University Press, str. 289–304, PAN  0756858
• Cotterill, Ethan (2012), „Racionální křivky stupně 11 na obecném kvintickém trojnásobku“, Quarterly Journal of Mathematics, 63 (3): 539–568, doi:10.1093 / qmath / har001, PAN  2967162
• Cox, David A.; Katz, Sheldone (1999), Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie Matematické průzkumy a monografie 68„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1059-0, PAN  1677117
• Givental, Alexander B. (1996), "Equivariant Gromov-Witten invariants", Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 1996 (13): 613–663, doi:10.1155 / S1073792896000414, PAN  1408320
• Katz, Sheldone (1986), „O konečnosti racionálních křivek na kvintických trojnásobcích“, Compositio Mathematica, 60 (2): 151–162, PAN  0868135
• Pandharipande, Rahul (1998), "Racionální křivky na hyperplošinách (po A. Giventalovi)", Astérisque, 1997/98 (252): 307–340, arXiv:matematika / 9806133, PAN  1685628