Siegel doména - Siegel domain - Wikipedia

V matematice, a Siegel doména nebo Piatetski-Shapiro doména je speciální otevřená podmnožina komplex afinní prostor zobecňující Siegel horní polovina roviny studoval Siegel  (1939 ). Byli představeni Piatetski-Shapiro  (1959, 1969 ) ve své studii ohraničených homogenních domén.

Definice

Siegelova doména prvního druhu (nebo prvního typu nebo rodu 1) je otevřená podmnožina C^m prvků z takhle

${ displaystyle Im (z) ve V ,}$

kde PROTI je otevřený konvexní kužel v R^m. Jedná se o speciální případy trubkové domény. Příkladem je Siegel horní polovina roviny, kde PROTI⊂R^k(k + 1)/2 je kužel pozitivních určitých kvadratických forem v R^k a m = k(k + 1)/2.

Siegelova doména druhého druhu (nebo druhého typu nebo rodu 2), nazývaná také doména Piatetski-Shapiro, je otevřenou podmnožinou C^m×Cⁿ prvků (z,w) takové, že

${ displaystyle Im (z) -F (w, w) ve V ,}$

kde PROTI je otevřený konvexní kužel v R^m a F je PROTI- hodnotná hermitovská forma na Cⁿ.Li n = 0 toto je doména Siegel prvního druhu.

Siegelova doména třetího druhu (nebo třetího typu nebo rodu 3) je otevřená podmnožina C^m×Cⁿ×C^k prvků (z,w,t) takové, že

${ displaystyle Im (z) - Re L_ {t} (w, w) ve V ,}$ a t leží v nějaké ohraničené oblasti

kde PROTI je otevřený konvexní kužel v R^m a L_t je PROTI- hodnotná polomitovská forma na Cⁿ.

Ohraničené homogenní domény

A ohraničená doména je otevřená spojená ohraničená podmnožina komplexního afinního prostoru. Nazývá se homogenní, pokud její skupina automorfismů působí přechodně, a nazývá se symetrická, pokud pro každý bod existuje automorfismus působící jako –1 na tangenciálním prostoru. Ohraničené symetrické domény jsou homogenní.

Élie Cartan klasifikovala homogenní ohraničené domény v dimenzi maximálně 3 (až do izomorfismu), což ukazuje, že jsou všechny Hermitovské symetrické prostory. K dispozici je 1 v dimenzi 1 (jednotková koule), dvě v dimenzi 2 (produkt dvou jednorozměrných komplexních koulí nebo dvourozměrného komplexního míče). Zeptal se, zda jsou všechny ohraničené homogenní domény symetrické. Piatetski-Shapiro (1959, 1959b ) odpověděl na Cartanovu otázku nalezením Siegelovy domény typu 2 ve 4 rozměrech, která je homogenní a biholomorfní s ohraničenou doménou, ale není symetrická. V dimenzích nejméně 7 existují nekonečné rodiny homogenních ohraničených domén, které nejsou symetrické.

E. B. Vinberg, S. G. Gindikin a I. I. Piatetski-Shapiro (1963 ) ukázaly, že každá ohraničená homogenní doména je biholomorfní se Siegelovou doménou typu 1 nebo 2.

Wilhelm Kaup, Yozô Matsushima a Takushiro Ochiai (1970 ) popsal izomorfismy Siegelových domén typů 1 a 2 a Lieovu algebru automatorfismů Siegelovy domény. Zejména dvě Siegelovy domény jsou izomorfní právě tehdy, pokud jsou izomorfní afinní transformací.

j-algebry

Předpokládejme to G je Lieova algebra tranzitivní spojené skupiny analytických automorfismů ohraničené homogenní domény Xa nechte K. být subalgebra upevňující bod X. Pak téměř složitá struktura j na X indukuje endomorfismus vektorového prostoru j z G takhle

• j²= –1 zapnuto G/K.
• [X,y] + j[jx,y] + j[X,jy] – [jx,jy] = 0 palců G/K.; to vyplývá ze skutečnosti, že téměř složitá struktura X je integrovatelný
• Existuje lineární tvar ω G takové, že ω [jx,jy] = ω [X,y] a ω [jx,X]> 0 pokud X∉K.
• -li L je kompaktní subalgebra o G s jL⊆K.+L pak L⊆K.

A j-algebra je Lieova algebra G s subalgebrou K. a lineární mapa j splňující výše uvedené vlastnosti.

Lieova algebra propojené Lieovy skupiny působící přechodně na homogenní ohraničenou doménu je a j-algebra, což není překvapující j-algebry jsou definovány tak, aby měly zjevné vlastnosti takové lže algebry. Platí také obrácený: jakýkoli j-algebra je Lieova algebra nějaké tranzitivní skupiny automorfismů homogenní ohraničené domény. To nedává korespondenci 1: 1 mezi homogenními ohraničenými doménami a j-algebry, protože v homogenní ohraničené doméně může přechodně působit několik různých Lieových skupin.

Reference

• Kaup, Wilhelm; Matsushima, Yozô; Ochiai, Takushiro (1970), „O automorfismech a ekvivalencích zobecněných domén Siegel“, American Journal of Mathematics, 92: 475–498, doi:10.2307/2373335, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373335, PAN  0267127
• Murakami, Shingo (1972), O automorfismech Siegelových doménPřednášky z matematiky, 286, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058567, PAN  0364690
• Piatetski-Shapiro, I. I. (1959), „K problému navrženému E. Cartanem“, Doklady Akademii Nauk SSSR, 124: 272–273, ISSN  0002-3264, PAN  0101922
• Piatetski-Shapiro, I. I. (1959b), „Geometrie homogenních domén a teorie automorfních funkcí. Řešení problému E. Cartana“, Uspekhi Mat. Nauk (v Rusku), 14 (3): 190–192
• Piatetski-Shapiro, I. I. (1963), „Domény typu horní poloroviny v teorii několika komplexních proměnných“, Proc. Internat. Congr. Matematici (Stockholm, 1962) (v ruštině), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, str. 389–396, PAN  0176105, archivovány z originál dne 17.07.2011
• Piatetski-Shapiro, I. I. (1969) [1961], Automorfní funkce a geometrie klasických domén, Matematika a její aplikace, 8, New York: Gordon and Breach Science Publishers, PAN  0136770
• Siegel, Carl Ludwig (1939), „Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades“, Mathematische Annalen, 116: 617–657, doi:10.1007 / BF01597381, ISSN  0025-5831, PAN  0001251
• Vinberg, E.B. (2001) [1994], „Doména Siegel“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Vinberg, È. B .; Gindikin, S. G .; Piatetski-Shapiro, I. I. (1963), „Klasifikace a kanonická realizace komplexních homogenních ohraničených domén“, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva, 12: 359–388, ISSN  0134-8663, PAN  0158415 V příloze (Piatetski-Shapiro 1969 ).
• Xu, Yichao (2005), Teorie komplexních homogenních ohraničených domén, Matematika a její aplikace, 569, Peking: Science Press, ISBN  978-1-4020-2132-9, PAN  2217650