Symetrický kužel - Symmetric cone - Wikipedia

v matematika, symetrické kužele, někdy nazývané domény pozitivity, jsou otevřené konvexní self-dual šišky v euklidovském prostoru, které mají přechodnou skupinu symetrií, tj. invertibilní operátory, které berou kužel na sebe. Podle Koecher-Vinbergova věta tyto odpovídají kuželu čtverců v konečně-dimenzionálním skutečné euklidovské algebry Jordan, původně studoval a klasifikoval Jordan, von Neumann & Wigner (1934). The doména trubice spojené se symetrickým kuželem je nekompaktní Hermitovský symetrický prostor z typ trubice. Všechny algebraické a geometrické struktury spojené se symetrickým prostorem lze přirozeně vyjádřit pomocí Jordanovy algebry. Tomu odpovídají další neredukovatelné hermitovské symetrické prostory nekompaktního typu Siegel domény druhého druhu. Ty lze popsat pomocí složitějších struktur Trojité systémy Jordan, které zobecňují Jordanské algebry bez identity.^[1]

Definice

A konvexní kužel C v konečně-dimenzionální realitě vnitřní produktový prostor PROTI je konvexní množina neměnná při násobení kladnými skaláry. Rozkládá se v podprostoru C – C a největší podprostor, který obsahuje, je C ∩ (−C). Rozkládá se po celém prostoru právě tehdy, pokud obsahuje základ. Protože konvexní obal základem je polytop s neprázdným vnitřkem, k tomu dochází tehdy a jen tehdy C má neprázdný interiér. Vnitřek je v tomto případě také konvexní kužel. Kromě toho se otevřený konvexní kužel shoduje s vnitřkem jeho uzávěru, protože jakýkoli vnitřní bod v uzávěru musí ležet ve vnitřku nějakého polytopu v původním kuželu. Konvexní kužel se říká, že je správně pokud jeho uzávěr, také kužel, neobsahuje žádné podprostory.

Nechat C být otevřený konvexní kužel. Své dvojí je definován jako

${ displaystyle displaystyle {C ^ {*} = {X: (X, Y)> 0 , , mathrm {pro} , , Y v { overline {C}} }.} }$

Je to také otevřený konvexní kužel a C** = C.^[2] Otevřený konvexní kužel C se říká, že je self-dual -li C* = C. Je to nutně správné, protože neobsahuje 0, takže nemůže obsahovat obě X a -X.

The skupina automorfismu otevřeného konvexního kužele je definována

${ displaystyle displaystyle { mathrm {Aut} , C = {g in mathrm {GL} (V) | gC = C }.}}$

Jasně G leží v Aut C kdyby a jen kdyby G bere uzavření C na sebe. Takže Aut C je uzavřená podskupina GL (PROTI) a tedy a Lež skupina. Navíc Aut C* = (Aut C) *, kde G* je adjoint z G. C se říká, že je homogenní pokud Aut C působí přechodně na C.

Otevřený konvexní kužel C se nazývá a symetrický kužel pokud je sebe-dvojí a homogenní.

Skupinové teoretické vlastnosti

• Li C je symetrický kužel, pak Aut C je uzavřen při přijímání sousedních.
• Součást identity Aut₀ C působí přechodně na C.
• Stabilizátory bodů jsou maximální kompaktní podskupiny, všechny konjugují a vyčerpají maximální kompaktní podskupiny Aut C.
• V aut₀ C stabilizátory bodů jsou maximální kompaktní podskupiny, všechny konjugují a vyčerpají maximální kompaktní podskupiny Aut₀ C.
• Maximální kompaktní podskupiny aut₀ C jsou připojeny.
• Skupina komponent Aut C je izomorfní se skupinou komponent maximální kompaktní podskupiny, a proto konečný.
• Aut C ∩ O (V) a Aut₀ C ∩ O (V) jsou maximální kompaktní podskupiny v Aut C a Aut₀ C.
• C je přirozeně a Riemannovský symetrický prostor izomorfní s G / K. kde G = Aut₀ C. Cartanova involuce je definována σ (G)=(G*)⁻¹, aby K. = G ∩ O (V).

Spektrální rozklad v euklidovské algebře Jordan

Pascual Jordan

John von Neumann

Eugene Wigner

Ve svém klasickém příspěvku Jordan, von Neumann & Wigner (1934) studoval a kompletně klasifikoval třídu konečných trojrozměrných Jordanových algeber, které se nyní nazývají buď Euklidovské Jordanské algebry nebo formálně skutečné Jordanské algebry.

Definice

Nechat E být konečný trojrozměrný skutečný vektorový prostor se symetrickou bilineární součinovou operací

${ displaystyle displaystyle {E krát E pravá šipka E, , , , a, b mapsto ab = ba,}}$

s prvkem identity 1 takový, že A1 = A pro A v A a skutečný vnitřní produkt (A,b) pro které operátory násobení L(A) definován L(A)b = ab na E jsou sebe-adjunktní a uspokojují jordánský vztah

${ displaystyle displaystyle {L (a) L (a ^ {2}) = L (a ^ {2}) L (a).}}$

Jak se ukáže níže, podmínku na sousedních bodech lze nahradit ekvivalentní podmínkou, která má stopový tvar Tr L(ab) definuje vnitřní produkt. Výhodou stopové formy je, že je zjevně neměnná za automorfismů Jordanovy algebry, která je tedy uzavřenou podskupinou O (E) a tedy kompaktní Lieova skupina. V praktických příkladech je však často snazší vyrobit vnitřní produkt, pro který L(A) jsou self-adjoint než ověřit přímo pozitivní-definitivitu stopové formy. (Ekvivalentní původní podmínka Jordan, von Neumanna a Wignera byla, že pokud zmizí součet čtverců prvků, pak musí zmizet každý z těchto prvků.^[3])

Asociativita síly

Z podmínky Jordan vyplývá, že Jordan algebra je moc asociativní, tj. Jordánská subalgebra generovaná jakýmkoli jednotlivým prvkem A v E je vlastně asociativní komutativní algebra. Tedy definování Aⁿ indukčně Aⁿ = A (Aⁿ⁻¹), platí následující vztah asociativity:

${ displaystyle displaystyle {a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n},}}$

takže subalgebru lze identifikovat pomocí R[A], polynomy v A. Ve skutečnosti polarizační jordánského vztahu - nahrazení A podle A + tb a vezmeme koeficient t—Výnosy

${ displaystyle displaystyle {2L (ab) L (a) + L (a ^ {2}) L (b) = 2L (a) L (b) L (a) + L (a ^ {2} b) .}}$

Tato identita to naznačuje L(A^m) je polynom v L(A) a L(A²) pro všechny m. Ve skutečnosti, za předpokladu, že výsledek pro nižší exponenty než m,

${ displaystyle displaystyle {a ^ {2} a ^ {m-1} = a ^ {m-1} (a ^ {2}) = L (a ^ {m-1}) L (a) a = L (a) L (a ^ {m-1}) a = L (a) a ^ {m} = a ^ {m + 1}.}}$

Nastavení b = A^{m – 1} v polarizované Jordan identity dává:

${ displaystyle displaystyle {L (a ^ {m + 1}) = 2L (a ^ {m}) L (a) + L (a ^ {2}) L (a ^ {m-1}) - 2L (a) ^ {2} L (a ^ {m-1}),}}$

A relace opakování což ukazuje indukčně L(A^{m + 1}) je polynom v L(A) a L(A²).

V důsledku toho, pokud platí asociativita síly, když je první exponent ≤ m, pak také platí pro m+1 od

${ displaystyle displaystyle {L (a ^ {m + 1}) a ^ {n} = 2L (a) L (a ^ {m}) a ^ {n} + L (a ^ {2}) L ( a ^ {m-1}) a ^ {n} -2L (a) ^ {2} L (a ^ {m-1}) a ^ {n} = a ^ {m + n + 1}.}}$

Idempotents a pozice

Prvek E v E se nazývá idempotentní -li E² = E. O dvou idempotentech se říká, že jsou ortogonální, pokud ef = 0. To je ekvivalentní ortogonalitě s ohledem na vnitřní součin, protože (ef,ef) = (E,F). V tomto případě G = E + F je také idempotent. Idempotent G je nazýván primitivní nebo minimální pokud to nelze zapsat jako součet nenulových ortogonálních idempotentů. Li E₁, ..., E_m jsou párové ortogonální idempotenty, pak jejich součet je také idempotent a algebra, kterou generují, se skládá ze všech lineárních kombinací E_i. Je to asociativní algebra. Li E je idempotent, pak 1 - E je ortogonální idempotent. O ortogonální množině idempotentů se součtem 1 se říká, že a kompletní set nebo a oddíl 1. Pokud je každý idempotent v sadě minimální, nazývá se a Jordan rám. Protože počet prvků v libovolné ortogonální sadě idempotentů je omezen dim E, Existují rámce Jordan. Maximální počet prvků v jordánském rámci se nazývá hodnost r z E.

Spektrální rozklad

Spektrální věta uvádí, že jakýkoli prvek A lze jednoznačně napsat jako

${ displaystyle displaystyle {a = součet lambda _ {i} e_ {i},}}$

kde idempotents E_iJsou oddílem 1 a λ_i, vlastní čísla z A, jsou skutečné a odlišné. Ve skutečnosti nechte E₀ = R[a] a nechte T být omezením L(A) až E₀. T je self-adjoint a má 1 jako cyklický vektor. Takže komutant z T se skládá z polynomů v T (nebo A). Podle spektrální věta pro operátory s vlastním nastavením,

${ displaystyle displaystyle {T = součet lambda _ {i} P_ {i}}}$

Kde P_i jsou ortogonální projekce na E₀ se součtem Já a λ_iJsou zřetelná skutečná vlastní čísla T. Protože P_idojíždí s T a jsou sebe-adjunktní, jsou dány multiplikačními prvky E_i z R[a] a tvoří tak oddíl 1. Následuje jedinečnost, protože pokud F_i je oddíl 1 a A = ∑ μ_i F_i, pak s p(t)=∏ (t - μ_j) a p_i = p/(t - μ_i), F_i = p_i(A)/p_i(μ_i). Takže F_ijsou polynomy v A a jedinečnost vyplývá z jedinečnosti spektrálního rozkladu T.

Spektrální věta naznačuje, že hodnost je nezávislá na Jordanově rámci. Pro rám Jordan s k minimální idempotenty lze použít ke konstrukci prvku A s k odlišné vlastní hodnoty. Jako nad minimálním polynomem p z A má titul k a R[A] má rozměr k. Jeho rozměr je také největší k takhle F_k(A) ≠ 0 kde F_k(A) je determinantem a Gramová matice:

${ displaystyle displaystyle {F_ {k} (a) = det _ {0 leq m, n$

Takže hodnost r je největší celé číslo k pro který F_k není shodně nulová E. V tomto případě jako nemizející polynom, F_r je nenulová na otevřené husté podmnožině E. the pravidelné prvky. Jakýkoliv jiný A je limit pravidelných prvků A⁽ⁿ⁾. Vzhledem k tomu, provozovatel normou L(X) dává ekvivalentní normu E, argument standardní kompaktnosti ukazuje, že při přechodu na subsekvenci, je-li to nutné, jsou spektrální idempotenty A⁽ⁿ⁾ a jejich odpovídající vlastní čísla jsou konvergentní. Limita Jordanových rámců je Jordanův rám, protože limit nenulových idempotentů poskytuje nenulový idempotent kontinuitou normy operátora. Z toho vyplývá, že každý rám Jordan je tvořen r minimální idempotents.

Li E a F jsou ortogonální idempotenty, ukazuje to spektrální věta E a F jsou polynomy v A = E − F, aby L(E) a L(F) dojíždět. To lze vidět přímo z polarizované jordánské identity, která z toho vyplývá L(E)L(F) = 2 L(E)L(F)L(E). Následuje komutativita tím, že se vezme soused.

Spektrální rozklad pro idempotent

Li E je nenulový idempotent, potom vlastní čísla L(E) může být pouze 0, 1/2 a 1, od přijetí A = b = E ve výnosech polarizované Jordan

${ displaystyle displaystyle {2L (e) ^ {3} -3L (e) ^ {2} + L (e) = 0.}}$

Zejména norma provozovatele L(E) je 1 a jeho stopa je přísně pozitivní.

Existuje odpovídající ortogonální rozklad vlastního prostoru E

${ displaystyle displaystyle {E = E_ {0} (e) oplus E_ {1/2} (e) oplus E_ {1} (e),}}$

kde, pro A v E, E_λ(A) označuje λ-vlastní prostor L(A). V tomto rozkladu E₁(E) a E₀(E) jsou Jordanské algebry s prvky identity E a 1 - E. Jejich součet E₁(E) ⊕ E₀(E) je přímý součet Jordanových algeber v tom, že jakýkoli součin mezi nimi je nulový. To je centralizační subalgebra z E a skládá se ze všeho A takhle L(A) dojíždí s L(E). Podprostor E_1/2(E) je modul pro centralizátor E, centralizační modula součin všech dvou prvků v něm leží v centralizační subalgebře. Na druhou stranu, pokud

${ displaystyle displaystyle {U = 8L (e) ^ {2} -8L (e) + I,}}$

pak U je self-adjoint rovný 1 na algebře centralizátoru a −1 na modulu centralizátoru. Tak U² = Já a výše uvedené vlastnosti to ukazují

${ displaystyle displaystyle { sigma (x) = Ux}}$

definuje involutivní Jordan algebra automatorfismus σ z E.

Ve skutečnosti následuje Jordanova algebra a vlastnosti modulu nahrazením A a b v polarizované jordánské identitě E a A. Li ea = 0, to dává L(E)L(A) = 2L(E)L(A)L(E). Z toho vyplývá, že L(A) dojíždí s L(E). Podobně pokud (1 - E)A = 0, L(A) dojíždí s Já − L(E) a tedy L(E). Z toho vyplývá Jordanova algebra a vlastnosti modulu. Chcete-li zkontrolovat, zda součin prvků v modulu leží v algebře, stačí zkontrolovat toto pro čtverce: ale pokud L(E)A = ½ A, pak ea = ½ A, tak L(A)² + L(A²)L(E) = 2L(A)L(E)L(A) + L(A²E). Z toho vyplývá, že z toho vyplývá L(A²) dojíždí s L(E), což znamená vlastnost pro čtverce.

Stopová forma

Formu trasování definuje

${ displaystyle displaystyle { tau (a, b) = mathrm {Tr} , L (ab).}}$

Je to vnitřní produkt, protože nenulový A = ∑ λ_i E_i,

${ displaystyle displaystyle { tau (a, a) = sum lambda _ {i} ^ {2} mathrm {Tr} , L (e_ {i})> 0.}}$

Polarizovaná Jordanská identita může být znovu polarizována nahrazením A podle A + tc a vezmeme koeficient t. Další libovolná symetrie v A a C výnosy:

${ displaystyle displaystyle {L (a (bc) - (ab) c) = [[L (a), L (b)], L (c)].}}$

Nanesení stopy na obě strany

${ displaystyle displaystyle { tau (a, bc) = tau (ba, c),}}$

aby L(b) je samo-adjunkt pro stopovou formu.

Jednoduché euklidovské algebry Jordan

Adolf Hurwitz (1855–1919), jehož práce na složení algebry byla zveřejněna posmrtně v roce 1923.

Klasifikace jednoduchých euklidovských Jordanových algeber byla provedena Jordan, von Neumann & Wigner (1934), s podrobnostmi o jedné výjimečné algebře uvedené v článku bezprostředně následující po jejich Albert (1934). Za použití Peirceův rozklad, redukovali problém na algebraický problém zahrnující multiplikativní kvadratické formy již vyřešen Hurwitz. Prezentace zde, následující Faraut & Koranyi (1994), použitím složení algebry nebo Euklidovské Hurwitzovy algebry, je kratší verze původního odvození.

Centrální rozklad

Li E je euklidovská algebra Jordan a ideál F v E je lineární podprostor uzavřený při násobení prvky E, tj. F je neměnný pod operátory L(A) pro A v E. Li P je ortogonální projekce na F dojíždí s operátory L(A), Zejména F^⊥ = (Já − P)E je také ideální a E = F ⊕ F^⊥. Kromě toho, pokud E = P(1), pak P = L(E). Ve skutečnosti pro A v E

${ displaystyle displaystyle {ea = ae = L (a) P (1) = P (L (a) 1) = P (a),}}$

aby ea = A pro A v F a 0 pro A v F^⊥. Zejména E a 1 - E jsou ortogonální idempotents s L(E) = P a L(1 − E) = Já − P. E a 1 - E jsou identity v euklidovských algebrách v Jordánsku F a F^⊥. Idempotent E je centrální v E, Kde centrum z E je definována jako množina všech z takhle L(z) dojíždí s L(A) pro všechny A. Tvoří komutativní asociativní subalgebru.

Tímto způsobem pokračujeme E lze psát jako přímý součet minimálních ideálů

${ displaystyle displaystyle {E = oplus E_ {i}.}}$

Li P_i je projekce na E_i a E_i = P_i(1) pak P_i = L(E_i). The E_iJsou ortogonální se součtem 1 a jsou identitami v E_i. Síly minimality E_i být jednoduchý, tj. nemít žádné netriviální ideály. Od doby L(E_i) dojíždí se všemi L(A), jakýkoli ideál F ⊂ E_iby bylo neměnné pod E od té doby F = E_iF. Takový rozklad na přímý součet jednoduchých euklidovských algeber je jedinečný. Li E = ⊕ F_j je tedy další rozklad F_j= ⊕ e_iF_j. Minimalitou je zde pouze jeden z termínů nenulový, takže se rovná F_j. Minimalitou odpovídající E_i rovná se F_j, což dokazuje jedinečnost.

Tímto způsobem se klasifikace euklidovských jordánských algeber redukuje na klasifikaci jednoduchých. Pro jednoduchou algebru E všechny vnitřní produkty, pro které operátoři L(A) jsou samy adjoint jsou proporcionální. Ve skutečnosti má jakýkoli jiný produkt formu (Ta, b) u některých pozitivních operátorů s vlastním adjuntingem dojíždějících s L(A) 's. Libovolný nenulový vlastní prostor T je ideální v A a proto jednoduchostí T musí jednat jako celek E jako pozitivní skalár.

Seznam všech jednoduchých algeber Euclidean Jordan

• Nechat H_n(R) být prostorem skutečného symetrického n podle n matice s vnitřním produktem (A,b) = Tr ab a produkt Jordan A ∘ b = ½(ab + ba). Pak H_n(R) je jednoduchá euklidovská Jordanova algebra hodnosti n pro n ≥ 3.
• Nechat H_n(C) být prostorem komplexního sebe-adjunktu n podle n matice s vnitřním produktem (A,b) = Re Tr ab* a produkt Jordan A ∘ b = ½(ab + ba). Pak H_n(C) je jednoduchá euklidovská Jordanova algebra hodnosti n ≥ 3.
• Nechat H_n(H) být prostorem sebe-adjunktu n podle n matice se záznamy v čtveřice, vnitřní produkt (A,b) = Re Tr ab* a produkt Jordan A ∘ b = ½(ab + ba). Pak H_n(H) je jednoduchá euklidovská Jordanova algebra hodnosti n ≥ 3.
• Nechat PROTI být konečným dimenzionálním skutečným vnitřním produktovým prostorem a sadou E = PROTI ⊕ R s vnitřním produktem (u⊕λ,proti⊕μ) = (u,proti) + λμ a produkt (u⊕λ) ∘ (v⊕μ) = (μu + λproti) ⊕ [(u,proti) + λμ]. Toto je euklidovská algebra Jordan 2. úrovně.
• Výše uvedené příklady ve skutečnosti poskytují všechny jednoduché euklidovské algebry Jordan, s výjimkou jednoho výjimečného případu H₃(Ó), samo-adjunktové matice nad octonions nebo Cayleyova čísla, další 3. hodnost jednoduchá euklidovská Jordanova algebra dimenze 27 (viz níže).

Peirceův rozklad

Nechat E být jednoduchá euklidovská Jordanova algebra s vnitřním součinem daným stopovým tvarem τ (A) = Tr L(A). Důkaz toho E má výše uvedená forma spočívá na konstrukci analogu maticových jednotek pro Jordanův rám v E. Následující vlastnosti idempotentů zůstávají v platnosti E.

• Idempotent E je minimální v E kdyby a jen kdyby E₁(E) má dimenzi jedna (tedy rovná se) RE). navíc E_1/2(E) ≠ (0). Ve skutečnosti spektrální projekce jakéhokoli prvku E₁(E) ležet v E takže pokud se nenulová musí rovnat E. Pokud pak 1/2 vlastního prostoru zmizel E₁(E) = RE by byl ideální.
• Li E a F jsou neortogonální minimální idempotenty, pak existuje perioda 2 automorfismu σ z E takové, že σE=F, aby E a F mít stejnou stopu.
• Li E a F jsou tedy ortogonální minimální idempotenty E_1/2(E) ∩ E_1/2(F) ≠ (0). Kromě toho existuje období 2 automorfismu σ z E takové, že σE=F, aby E a F mít stejnou stopu a pro všechny A v této křižovatce, A² = ½ τ (E) |A|² (E + F).
• Všechny minimální idempotenty v E jsou na stejné oběžné dráze skupiny automorfismu, takže mají stejnou stopu τ₀.
• Li E, F, G jsou tři minimální ortogonální idempotenty, pak pro A v E_1/2(E) ∩ E_1/2(F) a b v E_1/2(F) ∩ E_1/2(G), L(A)² b = ⅛ τ₀ |A|² b a |ab|² = ⅛ τ₀ |A|²|b|². Navíc, E_1/2(E) ∩ E_1/2(F) ∩ E_1/2(G) = (0).
• Li E₁, ..., E_r a F₁, ..., F_r jsou Jordan rámy v E, pak existuje automorfismus α takový, že αE_i = F_i.
• Pokud (E_i) je rám Jordan a E_ii = E₁(E_i) a E_ij = E_1/2(E_i) ∩ E_1/2(E_j), pak E je ortogonální přímý součet E_iia E_ijje. Od té doby E je jednoduchý, E_iiJsou jednorozměrné a podprostory E_ij všechny jsou nenulové pro i ≠ j.
• Li A = ∑ α_i E_i pro nějaký rám Jordan (E_i), pak L(A) působí jako α_i na E_ii a (α_i + α_i) / 2 zapnuto E_ij.

Redukce na euklidovské Hurwitzovy algebry

Nechat E být jednoduchá euklidovská Jordanova algebra. Z vlastností rozkladu Peirce vyplývá, že:

• Li E má pořadí 2, pak má formu PROTI ⊕ R pro nějaký vnitřní produktový prostor PROTI s produktem Jordan, jak je popsáno výše.
• Li E má hodnost r > 2, pak existuje neasociativní unital algebra A, asociativní pokud r > 3, vybavené vnitřním produktem vyhovujícím (ab, ab) = (a, a) (b, b) a takovým, že E = H_r(A). (Konjugace v A je definováno A* = −a + 2 (a, 1) 1.)

Taková algebra A se nazývá a Euklidovská Hurwitzova algebra. v A pokud λ (A)b = ab a ρ (A)b = ba, pak:

• involuce je antiautomorfismus, tj. (a b)*=b* A*
• a a* = ‖ A ‖² 1 = A* A
• λ (A*) = λ (A)*, ρ (A*) = ρ (A)*, takže involuce na algebře odpovídá braní sousední
• Re(a b) = Re (b a) -li ReX = (X + X*)/2 = (X, 1)1
• Re(a b) C = ReA(před naším letopočtem)
• λ (A²) = λ (A)², ρ (A²) = ρ (A)², aby A je alternativní algebra.

Podle Hurwitzova věta A musí být izomorfní R, C, H nebo Ó. První tři jsou asociativní divizní algebry. Octoniony netvoří asociativní algebru, takže H_r(Ó) může dát pouze Jordanskou algebru pro r = 3. Protože A je asociativní, když A = R, C nebo H, je to okamžité H_r(A) je Jordanská algebra pro r ≥ 3. Samostatný argument, daný původně uživatelem Albert (1934), je povinen to prokázat H₃(Ó) s produktem Jordan A∘b = ½(ab + ba) uspokojuje jordánskou identitu [L(A),L(A²)] = 0. K dispozici je později přímější důkaz pomocí Freudenthalova věta o diagonalizaci kvůli Freudenthal (1951): dokázal to vzhledem k jakékoli matici v algebře H_r(A) existuje algebraický automorfismus nesoucí matici na diagonální matici se skutečnými vstupy; pak je jednoduché zkontrolovat, že [L(A),L(b)] = 0 pro skutečné úhlopříčné matice.^[4]

Výjimečné a speciální euklidovské algebry Jordan

The výjimečný Euklidovská Jordanova algebra E= H₃(Ó) se nazývá Albert algebra. Cohn – Shirshovova věta naznačuje, že ji nelze vygenerovat dvěma prvky (a identitou). To je vidět přímo. Protože podle Freudenthalovy věty o diagonalizaci jeden prvek X lze brát jako diagonální matici se skutečnými vstupy a druhou Y být kolmý k jordánské subalgebře generované X. Pokud jsou všechny diagonální záznamy z X jsou odlišné, jordánská subalgebra generovaná X a Y je generován diagonálními maticemi a třemi prvky

${ displaystyle displaystyle {Y_ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & y_ {1} 0 & y_ {1} ^ {*} & 0 end {pmatrix}}, , , , Y_ { 2} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & y_ {2} ^ {*} 0 & 0 & 0 y_ {2} & 0 & 0 end {pmatrix}}, , , , Y_ {3} = { begin {pmatrix } 0 & y_ {3} & 0 y_ {3} ^ {*} & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}.}}$

Je snadné ověřit, že skutečné lineární rozpětí diagonálních matic, těchto matic a podobných matic se skutečnými vstupy tvoří jednotnou Jordanovu subalgebru. Pokud jsou diagonální vstupy z X nejsou odlišné, X lze považovat za primitivního idempotenta E₁ s diagonálními vstupy 1, 0 a 0. Analýza v Springer & Veldkamp (2000) pak ukazuje, že unitalská Jordánská subalgebra generovaná X a Y je správné. Ve skutečnosti, pokud 1 - E₁ je součet dvou primitivních idempotentů v subalgebře, poté po použití automorfismu z E v případě potřeby bude subalgebra generována diagonálními maticemi a maticí kolmou na diagonální matice. Podle předchozího argumentu to bude správné. Pokud 1 - E₁ je primitivní idempotent, subalgebra musí být správná podle vlastností hodnosti E.

Říká se, že euklidovská algebra speciální pokud jeho centrální rozklad neobsahuje žádné kopie Albertovy algebry. Protože algebra Albert nemůže být generována dvěma prvky, vyplývá z toho, že euklidovská Jordanova algebra generovaná dvěma prvky je speciální. To je Širirova – Cohnova věta pro euklidovské Jordan algebry.^[5]

Klasifikace ukazuje, že každá neobyčejná jednoduchá euklidovská algebra Jordan je subalgebrou některých H_n(R). Totéž tedy platí o jakékoli speciální algebře.

Na druhou stranu jako Albert (1934) ukázala Albertova algebra H₃(Ó) nelze realizovat jako subalgebru H_n(R) pro všechny n.^[6]

Nechť π je ve skutečnosti lineární mapa E = H₃(Ó) do samoadjungujících operátorů dne PROTI = Rⁿ s π (ab) = ½ (π (A) π (b) + π (b) π (A)) a π (1) = Já. Li E₁, E₂, E₃ jsou tedy diagonální minimální idempotenty P_i = π (E_i jsou vzájemně ortogonální projekce na PROTI na ortogonální podprostory PROTI_i. Li i ≠ j, elementy E_ij z E s 1 v (i,j) a (j,i) položky a 0 jinde splňují E_ij² = E_i + E_j. Navíc, E_ijE_jk = ½ E_ik -li i, j a k jsou odlišné. Provozovatelé T_ij jsou nulové PROTI_k (k ≠ i, j) a omezit na involuce dne PROTI_i ⊕ PROTI_j zaměňovat PROTI_i a PROTI_j. Pronájem P_ij = P_i T_ij P_j a nastavení P_ii = P_i, (P_ij) tvoří systém maticové jednotky na PROTI, tj. P_ij* = P_ji, ∑ P_ii = Já a P_ijP_km = 8_jk P_im. Nechat E_i a E_ij být podprostory Peirceova rozkladu E. Pro X v Ó, nastavte π_ij = P_ij π (xE_ij), považovaný za provozovatele dne PROTI_i. To nezávisí na j a pro X, y v Ó

${ displaystyle displaystyle { pi _ {ij} (xy) = pi _ {ij} (x) pi _ {ij} (y), , , , pi _ {ij} (1) = Já.}}$

Protože každý X v Ó má správnou inverzi y s xy = 1, mapa π_ij je injekční. Na druhou stranu je to alombra homomorfismus z neasociativní algebry Ó do asociativní algebry End PROTI_irozpor.^[7]

Pozitivní kužel v euklidovské jordánské algebře

Max Koecher propagoval použití Jordanových algeber při studiu symetrických prostorů

Definice

Když (E_i) je oddíl 1 v euklidovské algebře Jordan E, samoupravující operátoři L (E_i) dojíždět a dochází k rozkladu na současně vlastní tvary. Li A = ∑ λ_i E_i vlastní čísla L(A) mají tvar ∑ ε_i λ_i je 0, 1/2 nebo 1. The E_i sami dávají vlastní čísla λ_i. Zejména prvek A má nezáporné spektrum právě tehdy L(A) má nezáporné spektrum. Navíc, A má pozitivní spektrum právě tehdy L(A) má pozitivní spektrum. Pro kdyby A má pozitivní spektrum, A - ε1 má nezáporné spektrum pro některé ε> 0.

The pozitivní kužel C v E je definována jako sada prvků A takhle A má pozitivní spektrum. Tato podmínka je ekvivalentní operátorovi L(A) být a pozitivní samoadjungovaný operátor zapnutý E.

• C je konvexní kužel v E protože pozitivita samoadjungujícího operátora T- vlastnost, že její vlastní čísla jsou přísně pozitivní, je ekvivalentní (Televize,proti)> 0 pro všechny proti ≠ 0.
• C je otevřený, protože kladné matice jsou otevřené v samoadjungovaných maticích a L je spojitá mapa: ve skutečnosti, pokud je nejnižší vlastní hodnota z T je tedy ε> 0 T + S je pozitivní kdykoli ||S|| <ε.
• Uzavření C skládá se ze všeho A takhle L(A) není negativní nebo ekvivalentní A má nezáporné spektrum. Z elementárních vlastností konvexních kuželů, C je vnitřek jeho uzávěru a je správným kuželem. Prvky v závěru C jsou přesně druhou mocninou prvků v E.
• C je dvojí. Ve skutečnosti prvky uzavření C jsou jen sada všech čtverců X² v E, dvojitý kužel je dán všemi A takový, že (A,X²)> 0. Na druhou stranu, (A,X²) = (L(A)X,X), takže je to ekvivalentní pozitivitě L(A).^[8]

Kvadratické znázornění

Ukázat, že pozitivní kužel C je homogenní, tj. má tranzitivní skupinu automorfismů, zobecnění kvadratického působení samoadjungovaných matic na sebe dané X ↦ YXY musí být definováno. Li Y je invertible a self-adjoint, tato mapa je invertible a nese pozitivní operátory na pozitivní operátory.

Pro A v E, definovat endomorfismus z E, nazvaný kvadratické znázorněnítím, že^[9]

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L levý (a ^ {2} pravý).}}$

Všimněte si, že pro matice s vlastním nastavením L(X)Y = ½(XY + YX), aby Q(X)Y = XYX.

Prvek A v E je nazýván invertibilní pokud je invertibilní v R[A]. Li b označuje inverzní, pak spektrální rozklad A ukázat to L(A) a L(b) dojíždět.

Ve skutečnosti A je invertibilní právě tehdy Q(A) je invertibilní. V tom případě

${ displaystyle displaystyle {Q (a) ^ {- 1} a = a ^ {- 1}, , , , Q doleva (a ^ {- 1} doprava) = Q (a) ^ { -1}.}}$

Opravdu, pokud Q(A) je invertibilní, že nese R[A] na sebe. Na druhou stranu, Q(A)1 = A², tak

${ displaystyle displaystyle { left (Q (a) ^ {- 1} a right) a = aQ (a) ^ {- 1} a = L (a) Q (a) ^ {- 1} a = Q (a) ^ {- 1} a ^ {2} = 1.}}$

Brát b = A⁻¹ v polarizované jordánské identitě, výnosy

${ displaystyle displaystyle {Q (a) L left (a ^ {- 1} right) = L (a).}}$

Výměna A jeho inverzí následuje vztah, pokud L(A) a L(A⁻¹) jsou invertibilní. Pokud ne, platí pro A + ε1 s ε libovolně malé, a tedy také v limitu.

Tyto identity lze snadno prokázat v konečně-dimenzionální (euklidovské) Jordanské algebře (viz níže) nebo v speciální Jordanova algebra, tj. Jordánská algebra definovaná jednotnou asociativní algebrou.^[10] Jsou platné v jakékoli jordánské algebře. To předpokládal Jacobson a prokázáno v Macdonald (1960): Macdonald ukázal, že pokud je polynomiální identita ve třech proměnných, lineární ve třetí, platná v jakékoli speciální Jordanově algebře, pak platí ve všech Jordanových algebrách.^[11]

Ve skutečnosti pro C v A a F(A) funkce zapnuta A s hodnotami na konci A, nechťD_CF(A) být derivátem na t = 0 z F(A + tc). Pak

${ displaystyle displaystyle {c = D_ {c} left (Q (a) a ^ {- 1} right) = 2 left [(L (a) L (c) + L (c) L (a ) -L (ac)) a ^ {- 1} vpravo] + Q (a) D_ {c} vlevo (a ^ {- 1} vpravo) = 2c + Q (a) D_ {c} vlevo (a ^ {- 1} vpravo).}}$

Výraz v hranatých závorkách se zjednodušuje na C protože L(A) dojíždí s L(A⁻¹).

Tím pádem

${ displaystyle displaystyle {D_ {c} left (a ^ {- 1} right) = - Q (a) ^ {- 1} c.}}$

Přihlašování D_C na L(A⁻¹)Q(A) = L(A) a jedná se o b = C⁻¹ výnosy

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) left (Q left (a ^ {- 1} right) b ^ {- 1} right) = 1.}}$

Na druhou stranu, L(Q(A)b) je invertibilní na otevřené husté sadě, kde Q(A)b musí být také invertibilní s

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) ^ {- 1} = Q levý (a ^ {- 1} pravý) b ^ {- 1}.}}$

Užívání derivátu D_C v proměnné b ve výše uvedeném výrazu dává

${ displaystyle displaystyle {-Q (Q (a) b) ^ {- 1} Q (a) c = -Q (a) ^ {- 1} Q (b) ^ {- 1} c.}}$

Tím se získá základní identita pro hustou sadu invertibilních prvků, takže obecně následuje kontinuita. To naznačuje základní identita C = Q(A)b je invertibilní, pokud A a b jsou invertovatelné a dává vzorec pro inverzi Q(C). Aplikuji to na C dává inverzní identitu v plné obecnosti.

Nakonec to lze okamžitě ověřit z definic, které, pokud u = 1 − 2E pro někoho idempotentního E, pak Q(u) je automorfismus období 2 konstruovaný výše pro centralizovanou algebru a modul E.

Homogenita pozitivního kužele

Důkaz toho se opírá o elementární vlastnosti kontinuity vlastních čísel operátorů s vlastním adjointem.^[12]

Nechat T(t) (α ≤ t ≤ β) být spojitou rodinou samoadjungovaných operátorů E s T(α) pozitivní a T(β) mající negativní eiegenvalue. Soubor S(t)= –T(t) + M s M > 0 zvoleno tak velké, že S(t) je pozitivní pro všechny t. Norma operátora ||S(t) || je spojitý. Je to méně než M pro t = α a větší než M pro t = β. Takže pro některé α < s <β, ||S(s) || = M a existuje vektor proti ≠ 0 takové, že S(s)proti = Mv. Zejména T(s)proti = 0, takže T(s) není invertibilní.

Předpokládejme to X = Q(A)b nelže C. Nechat b(t) = (1 − t) + tb s 0 ≤ t ≤ 1. Konvexitou b(t) leží v C. Nechat X(t) = Q(A)b(t) a X(t) = L(X(t)). Li X(t) je invertibilní pro všechny t s 0 ≤ t ≤ 1, argument vlastní hodnoty dává rozpor, protože je kladný v t = 0 a má záporná vlastní čísla na t = 1. Takže X(s) má pro některé nulové vlastní číslo s s 0 < s ≤ 1: X(s)w = 0 s w ≠ 0. Vlastnosti kvadratického vyjádření, X(t) je invertibilní pro všechny t. Nechat Y(t) = L(X(t)²). Toto je pozitivní operátor od roku X(t)² leží v C. Nechat T(t) = Q(X(t)), invertible self-adjoint operator by the invertibility of X(t). Na druhou stranu, T(t) = 2X(t)² - Y(t). Tak (T(s)w,w) <0 od té doby Y(s) je pozitivní a X(s)w = 0. Zejména T(s) má některá negativní vlastní čísla. Na druhou stranu operátor T(0) = Q(A²) = Q(A)² je pozitivní. Argumentem vlastní hodnoty, T(t) má pro některé vlastní hodnotu 0 t s 0 < t < srozpor.

Z toho vyplývá, že lineární operátory Q(A) s A invertible a jejich inverze, vezměte kužel C na sebe. Opravdu inverzní k Q(A) je jen Q(A⁻¹). Od té doby Q(A)1 = A², existuje tedy přechodná skupina symetrií:

Euklidovská Jordanova algebra symetrického kužele

Konstrukce

Nechat C být symetrický kužel v euklidovském prostoru E. Jak je uvedeno výše, Aut C označuje uzavřenou podskupinu GL (E) užívání C (nebo ekvivalentně jeho uzavření) na sebe. Nechat G = Aut₀ C být jeho součástí identity. K. = G ∩ O (E). Je to maximální kompaktní podskupina G a stabilizátor bodu E v C. Je připojen. Skupina G je neměnný při přijímání sousedů. Nechť σG =(G*)⁻¹, období 2 automorfismus. Tím pádem K. je podskupina pevného bodu σ. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být Lieovou algebrou G. Σ tedy indukuje involuci ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a tudíž rozklad vlastního prostoru ± 1

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} = { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}},}}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$, +1 vlastní prostor, je Lieova algebra K. a ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je -1 vlastní prostor. Tím pádem ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$⋅E je afinní podprostor dimenze dim ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. Od té doby C = G/K. je otevřený podprostor o E, z toho vyplývá, že dim E = dim ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ a tudíž ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$⋅E = E. Pro A v E nechat L(A) být jedinečným prvkem ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ takhle L(A)E = A. DefinovatA ∘ b = L(A)b. Pak E se svou euklidovskou strukturou a tímto bilineárním produktem je euklidovská Jordanova algebra s identitou 1 = E. Konvexní kužel se shoduje C s pozitivním kuželem E.^[13]

Protože prvky ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ jsou self-adjoint, L(A)* = L(A). Produkt je komutativní, protože [${ displaystyle { mathfrak {p}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$] ⊆ ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ ničí E, aby ab = L(A)L(b)E = L(b)L(A)E = ba. Zbývá zkontrolovat identitu Jordánska [L(A),L(A²)] = 0.

The spolupracovník darováno [A,b,C] = [L(A),L(C)]b. Od té doby [L(A),L(C)] leží v${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ z toho vyplývá, že [[L(A),L(C)],L(b)] = L([A,b,C]). Přinutit obě strany jednat C výnosy

${ displaystyle displaystyle {[a, b ^ {2}, c] = 2 [a, b, c] b.}}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = (b ^ {2} (ba) -b (b ^ {2} a), c) = - (b ^ { 2}, [a, b, c])}}$

a podobně

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = (b, [a, b ^ {2}, c]).}}$

Kombinace těchto výrazů dává

${ displaystyle displaystyle {([b ^ {2}, a, b], c) = 0,}}$

z čehož vyplývá jordánská identita.

Nakonec pozitivní kužel E se shoduje s C. To záleží na skutečnosti, že v jakékoli euklidovské jordánské algebře E

${ displaystyle displaystyle {Q (e ^ {a}) = e ^ {2L (a)}.}}$

Ve skutečnosti Q(E^A) je pozitivní operátor,Q(E^ta) je jednoparametrická skupina kladných operátorů: z racionality vyplývá kontinuita t, kde je to důsledek chování sil, má tedy formu exp tX pro nějakého operátora s vlastním nastavením X. Vezmeme-li derivaci na 0, dostaneme X = 2L(A).

Kladný kužel je tedy dán všemi prvky

${ displaystyle displaystyle {e ^ {2a} = Q (e ^ {a}) 1 = e ^ {2L (a)} 1 = e ^ {X} cdot 1,}}$

s X v ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. Tedy pozitivní kužel E leží uvnitř C. Jelikož jsou oba sebe-duální, musí se shodovat.

Automorfické skupiny a sledovací forma

Nechat C být kladným kuželem v jednoduché euklidovské Jordanově algebře E. Aut C je uzavřená podskupina GL (E) užívání C (nebo jeho uzavření) na sebe. Nechat G = Aut₀ C být součástí identity Aut C a nechte K. být uzavřenou podskupinou G upevnění 1. Ze skupinových teoretických vlastností kužele, K. je připojená kompaktní podskupina G a rovná se složce identity kompaktní Lieovy skupiny Aut E. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ být algebry lži z G a K.. G je uzavřen při přijímání sousedních a K. je pevná podskupina bodu automatorfismu období 2 σ (G) = (G*)⁻¹. Tím pádem K. = G ∩ SO (E). Nechat ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ být -1 vlastní prostor σ.

• ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ sestává z derivací E které jsou zkosené pro vnitřní produkt definovaný stopovým formulářem.
• [[L(A),L(C)],L(b)] = L([A,b,C]).
• Li A a b jsou v E, pak D = [L(A),L(b)] je derivace E, takže leží v ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$. Tyto derivace se rozprostírají ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$.
• Li A je v C, pak Q(A) leží v G.
• C je připojená součást otevřené sady invertibilních prvků E obsahující 1. Skládá se z exponenciálů prvků z E a exponenciální mapa dává difeomorfismus E na C.
• Mapa A ↦ L(A) dává izomorfismus z E na ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ a E^L(A) = Q(E^A/2). Tento prostor takových exponenciálů se shoduje s P pozitivní prvky s vlastním adjunktem v G.
• Pro G v G a A v E, Q(G(A)) = G Q(A) G*.

Rozklad kartanu

• G = P ⋅ K. = K. ⋅ P a rozklad G = pk odpovídá polární rozklad v GL (E).
• Pokud (E_i) je rám Jordan v E, pak podprostor ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ překlenul L(E_i) je maximální Abelian v ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. A = exp ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ je abelianská podskupina operátorů Q(A) kde A = Σ λ_i E_i s λ_i > 0. A je uzavřen P a tudíž G. Li b = Σ μ_i E_i s μ_i > 0, tedy Q(ab)=Q(A)Q(b).
• ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ a P jsou svazkem K. překládá z ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ a A.

Iwasawa rozklad na kužel

Li E má Peirceův rozklad relativně k jordánskému rámu (E_i)

${ displaystyle displaystyle {E = bigoplus _ {i leq j} E_ {ij},}}$

pak ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ je tímto rozkladem diagonalizován pomocí L(A) působící jako (α_i + α_j) / 2 zapnuto E_ij, kde A = ∑ α_i E_i.

Definujte uzavřenou podskupinu S z G podle

${ displaystyle displaystyle {S = {g v G | gE_ {ij} subseteq bigoplus _ {(p, q) geq (i, j)} E_ {pq} },}}$

kde je objednávání na párech p ≤ q je lexikografický. S obsahuje skupinu A, protože působí jako skaláry E_ij. Li N je uzavřená podskupina S takhle nx = X modulo ⊕_{(p,q) > (i,j)} E_pq, pak S = AN = NA, a polopřímý produkt s A normalizace N. Navíc, G má následující Iwasawa rozklad:

${ displaystyle displaystyle {G = KAN.}}$

Pro i ≠ j nechat

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} _ {ij} = {X v { mathfrak {g}}: [L (a), X] = {1 nad 2} ( alpha _ {i} - alpha _ {j}) X, , , , mathrm {for} , , , a = sum alpha _ {i} e_ {i} }.}}$

Pak Lieova algebra z N je

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {n}} = bigoplus _ {i$

Užívání objednaných ortonormálních základen E_ij dává základ Epomocí lexikografického pořadí na párech (i,j). Skupina N je nižší unitriangular a jeho Lie algebra nižší trojúhelníkový. Zejména exponenciální mapa je polynomiální mapování ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ na N, s polynomiální inverzí danou logaritmem.

Složitění euklidovské algebry Jordan

Definice komplexizace

Nechat E být euklidovskou algebrou Jordan. Složitost E_C = E ⊕ tj má přirozenou konjugační operaci (A + ib)* = A − ib a přirozený komplexní vnitřní produkt a norma. Produkt Jordan dále E sahá bilineárně do E_C, aby (A + ib)(C + id) = (ac − bd) + i(inzerát + před naším letopočtem). Pokud je násobení definováno L(A)b = ab pak jordánský axiom

${ displaystyle displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] = 0}}$

stále drží analytické pokračování. Ve skutečnosti výše uvedená identita platí, když A je nahrazen A + tb pro t nemovitý; a protože levá strana je pak polynom s hodnotami na konci E_C mizející doopravdy t, také zmizí t komplex. Analytické pokračování také ukazuje, že vše pro vzorce zahrnující asociativitu výkonu pro jeden prvek A v E, včetně rekurzních vzorců pro L(A^m), také držet E_C. Od b v E, L(b) je stále sám nastaven E_Cadjunkční vztah L(A*) = L(A) * platí pro A v E_C. Podobně symetrická bilineární forma β (A,b) = (A,b*) splňuje β (ab,C) = β (b,ac). Pokud vnitřní produkt pochází ze stopové formy, pak β (A,b) = Tr L(ab).

Pro A v E_C, kvadratické vyjádření je definováno jako předtím pomocí Q(A)=2L(A)² − L(A²). Analytickým pokračováním základní identity stále platí:

${ displaystyle displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a), , , , Q (a ^ {m}) = Q (a) ^ {m } , , (m geq 0).}}$

Prvek A v E je nazýván invertibilní pokud je invertibilní v C[A]. Síla asociativity to ukazuje L(A) a L(A⁻¹) dojíždět. Navíc, A⁻¹ je invertibilní s inverzí A.

Jako v E, A je invertibilní právě tehdy Q(A) je invertibilní. V tom případě

${ displaystyle displaystyle {Q (a) ^ {- 1} a = a ^ {- 1}, , , , Q (a ^ {- 1}) = Q (a) ^ {- 1}. }}$

Opravdu, pokud jde o E, pokud Q(A) je invertibilní, že nese C[A] na sebe, zatímco Q(A)1 = A², tak

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) ^ {- 1} a) a = aQ (a) ^ {- 1} a = L (a) Q (a) ^ {- 1} a = Q (a) ^ {- 1} a ^ {2} = 1,}}$

tak A je invertibilní. Naopak pokud A je invertibilní, přičemž b = A⁻² v základní identitě to ukazuje Q(A) je invertibilní. Výměna A podle A⁻¹ a b podle A pak ukazuje, že jeho inverzní je Q(A⁻¹). Nakonec pokud A a b jsou invertibilní, pak také jsou C = Q(A)b a uspokojuje inverzní identitu:

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) ^ {- 1} = Q (a ^ {- 1}) b ^ {- 1}.}}$

Invertovatelnost C vyplývá ze základního vzorce, který dává Q(C) = Q(A)Q(b)Q(A). Proto

${ displaystyle displaystyle {c ^ {- 1} = Q (c) ^ {- 1} c = Q (a) ^ {- 1} Q (b) ^ {- 1} b = Q (a) ^ { -1} b ^ {- 1}.}}$

Vzorec

${ displaystyle displaystyle {Q (e ^ {a}) = e ^ {2L (a)}}}$

také následuje analytické pokračování.

Komplexizace skupiny automorfismu

Aut E_C je komplexifikace kompaktní skupiny Lie Aut E v GL (E_C). Toto následuje, protože Lieovy algebry z Aut E_C a Aut E se skládají z derivací komplexních a skutečných jordánských algeber E_C a E. Pod izomorfismem identifikující End E_C se složitostí End E, je komplexní derivace identifikována se složitostí skutečných derivací.^[14]

Skupiny struktur

Provozovatel Jordan L(A) jsou symetrické vzhledem ke stopové formě, takže L(A)^t = L(A) pro A v E_C. Skupiny automorfismu z E a E_C se skládají z invertibilních skutečných a složitých lineárních operátorů G takhle L(ga) = gL(A)G⁻¹ a g1 = 1. Aut E_C je komplexizace Aut E. Protože automorfismus G zachovává stopovou formu, G⁻¹ = G^t.

The strukturní skupiny z E a E_C se skládají z invertibilních skutečných a složitých lineárních operátorů G takhle

${ displaystyle displaystyle {Q (ga) = gQ (a) g ^ {t}.}}$

Tvoří skupiny Γ (E) a Γ (E_C) s Γ (E) ⊂ Γ (E_C).

• Skupina struktur je uzavřena při přijímání transpozic G ↦ G^t a sousední G ↦ G*.
• Skupina struktury obsahuje skupinu automorfismu. Skupinu automorfismu lze identifikovat se stabilizátorem 1 ve skupině struktury.
• Li A je invertibilní, Q(A) leží ve skupině struktur.
• Li G je ve skupině struktur a A je invertibilní, ga je také invertibilní s (ga)⁻¹ = (G^t)⁻¹A⁻¹.
• Li E je jednoduché, Γ (E) = Aut C × {± 1}, Γ (E) ∩ O (E) = Aut E × {± 1} a složka identity Γ (E) působí přechodně na C.
• Γ (E_C) je komplexizace Γ (E), který má Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}}}$.
• Skupina struktury Γ (E_C) působí přechodně na sadu invertibilních prvků v E_C.
• Každý G v Γ (E_C) má formu G = h Q(A) s h automorfismus a A invertibilní.

The jednotná strukturní skupina Γ_u(E_C) je podskupina Γ (E_C) skládající se z nečleněných operátorů, takže Γ_u(E_C) = Γ (E_C) ∩ U (E_C).

• Stabilizátor 1 v Γ_u(E_C) je Aut E.
• Každý G v Γ_u(E_C) má formu G = h Q(u) s h v Aut E a u invertible in E_C s u* = u⁻¹.
• Γ (E_C) je komplexizace Γ_u(E_C), který má Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {k}} oplus i { mathfrak {p}}}$.
• Sada S invertibilních prvků u takhle u* = u⁻¹ lze rovnocenně charakterizovat jako ty u pro který L(u) je normální operátor s U u* = 1 nebo jako takové u of the form exp IA pro některé A v E. Zejména S je připojen.
• The identity component of Γ_u(E_C) acts transitively on S
• G in GL(E_C) is in the unitary structure group if and only if gS = S
• Given a Jordan frame (E_i) a proti v E_C, existuje operátor u in the identity component of Γ_u(E_C) takové, že uv = ∑ α_i E_i s α_i ≥ 0. If proti is invertible, then α_i > 0.

Given a frame (E_i) in a Euclidean Jordan algebra E, omezená skupina Weyl can be identified with the group of operators on ⊕ R E_i arising from elements in the identity component of Γ_u(E_C) that leave ⊕ R E_i neměnný.

Spectral norm

Nechat E be a Euclidean Jordan algebra with the inner product given by the trace form. Nechť (E_i) be a fixed Jordan frame in E. Za dané A v E_C Vybrat u v Γ_u(E_C) takové, žeua = ∑ α_i E_i s α_i ≥ 0. Then the spectral norm ||A|| = max α_i is independent of all choices. It is a norm on E_C s

${displaystyle displaystyle {|a^{*}|=|a|,,,,|{a,a^{*},a}|=|a|^{3}.}}$

In addition ||A||² je dán norma operátora z Q(A) on the inner product space E_C. The fundamental identity for the quadratic representation implies that ||Q(A)b|| ≤ ||A||²||b||. The spectral norm of an element A is defined in terms of C[A] so depends only on A and not the particular Euclidean Jordan algebra in which it is calculated.^[15]

Kompaktní sada S je sada extrémní body of the closed unit ball ||X|| ≤ 1. Each u v S has norm one. Navíc pokud u = E^IA a proti = E^ib, then ||uv|| ≤ 1. Indeed, by the Cohn–Shirshov theorem the unital Jordan subalgebra of E generováno uživatelem A a b is special. The inequality is easy to establish in non-exceptional simple Euclidean Jordan algebras, since each such Jordan algebra and its complexification can be realized as a subalgebra of some H_n(R) and its complexification H_n(C) ⊂ M_n(C). The spectral norm in H_n(C) is the usual operator norm. In that case, for unitary matrices U a PROTI v M_n(C), clearly ||½(UV + VU) || ≤ 1. The inequality therefore follows in any special Euclidean Jordan algebra and hence in general.^[16]

Na druhou stranu Kerin – Milmanova věta, the closed unit ball is the (closed) convex span z S.^[17] It follows that ||L(u) || = 1, in the operator norm corresponding to either the inner product norm or spectral norm. Proto ||L(A)|| ≤ ||A|| pro všechny A, so that the spectral norm satisfies

${displaystyle displaystyle {|ab|leq |a|cdot |b|.}}$

Z toho vyplývá, že E_C je Jordan C* algebra.^[18]

Complex simple Jordan algebras

The complexification of a simple Euclidean Jordan algebra is a simple complex Jordan algebra which is also oddělitelný, i.e. its trace form is non-degenerate. Conversely, using the existence of a real form of the Lie algebra of the structure group, it can be shown that every complex separable simple Jordan algebra is the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra.^[19]

To verify that the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra E has no ideals, note that if F is an ideal in E^C then so too is F^⊥, the orthogonal complement for the trace norm. As in the real case, J = F^⊥ ∩ F must equal (0). For the associativity property of the trace form shows that F^⊥ is an ideal and that ab = 0 if A a b ležet v J. Proto J je ideální. Ale pokud z je v J, L(z) trvá E_C do J a J into (0). Hence Tr L(z) = 0. Since J is an ideal and the trace form degenerate, this forces z = 0. It follows that E_C = F ⊕ F^⊥. Li P is the corresponding projection onto F, it commutes with the operators L(A) a F^⊥ = (Já − P)E_C. is also an ideal and E = F ⊕ F^⊥. Kromě toho, pokud E = P(1), then P = L(E). In fact for A v E

${displaystyle displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

aby ea = A pro A v F a 0 pro A v F^⊥. Zejména E a 1 - E are orthogonal centrální idempotents with L(E) = P a L(1 − E) = Já − P.

So simplicity follows from the fact that the center of E_C is the complexification of the center of E.

Symmetry groups of bounded domain and tube domain

According to the "elementary approach" to bounded symmetric space of Koecher,^[20] Hermitian symmetric spaces of noncompact type can be realized in the complexification of a Euclidean Jordan algebra E as either the open unit ball for the spectral norm, a bounded domain, or as the open tube domain T = E + iC, kde C is the positive open cone in E. In the simplest case where E = R, the complexification of E je jen C, the bounded domain corresponds to the open unit disk and the tube domain to the upper half plane. Both these spaces have transitive groups of biholomorphisms given by Möbius transformations, corresponding to matrices in SU(1,1) nebo SL (2,R). They both lie in the Riemann sphere C ∪ {∞}, the standard one-point compactification of C. Moreover, the symmetry groups are all particular cases of Möbius transformations corresponding to matrices in SL (2,C). This complex Lie group and its maximal compact subgroup SU (2) act transitively on the Riemann sphere. The groups are also algebraic. They have distinguished generating subgroups and have an explicit description in terms of generators and relations. Moreover, the Cayley transform gives an explicit Möbius transformation from the open disk onto the upper half plane. All these features generalize to arbitrary Euclidean Jordan algebras.^[21] The compactification and complex Lie group are described in the next section and correspond to the dual Hermitian symmetric space of compact type. In this section only the symmetries of and between the bounded domain and tube domain are described.

Jordan frames provide one of the main Jordan algebraic techniques to describe the symmetry groups. Each Jordan frame gives rise to a product of copies of R a C. The symmetry groups of the corresponding open domains and the compactification—polydisks and polyspheres—can be deduced from the case of the unit disk, the upper halfplane and Riemann sphere. All these symmetries extend to the larger Jordan algebra and its compactification. The analysis can also be reduced to this case because all points in the complex algebra (or its compactification) lie in an image of the polydisk (or polysphere) under the unitary structure group.

Definice

Nechat E be a Euclidean Jordan algebra with complexification A = E_C = E + iE.

The unit ball or disk D v A is just the convex bounded open set of elementsA such the ||A|| < 1, i.e. the unit ball for the spectral norm.

The tube domain T v A is the unbounded convex open set T = E + iC, kde C is the open positive cone in E.

Möbiovy transformace

Skupina SL (2,C) jedná Möbiovy transformace na Riemannova koule C ∪ {∞}, the jednobodové zhutnění z C. Li G in SL(2,C) is given by the matrix

${displaystyle displaystyle {g={egin{pmatrix}alpha &eta gamma &delta end{pmatrix}},}}$

pak

${displaystyle displaystyle {g(z)=(alpha z+eta )(gamma z+delta )^{-1}.}}$

Similarly the group SL(2,R) acts by Möbius transformations on the circle R ∪ {∞}, the one-point compactification of R.

Nechat k = R nebo C. Then SL(2,k) is generated by the three subgroups of lower and upper unitriangular matrices, L a U ', and the diagonal matrices D. It is also generated by the lower (or upper) unitriangular matrices, the diagonal matrices and the matrix

${displaystyle displaystyle {J={egin{pmatrix}0&1-1&0end{pmatrix}}.}}$

Matice J corresponds to the Möbius transformation j(z) = −z⁻¹ a lze psát

${displaystyle displaystyle {J={egin{pmatrix}1&0-1&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}1&1�&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}1&0-1&1end{pmatrix}}.}}$

The Möbius transformations fixing ∞ are just the upper triangular matrices B = UD = DU. Li G does not fix ∞, it sends ∞ to a finite point A. Ale pak G can be composed with an upper unitriangular matrix to send A to 0 and then with J to send 0 to infinity. This argument gives the one of the simplest examples of the Bruhatův rozklad:

${ displaystyle displaystyle { mathbf {SL} (2, k) = mathbf {B} pohár mathbf {B} cdot J cdot mathbf {B},}}$

dvojitý cosetový rozklad SL (2,k). Ve skutečnosti je unie disjunktní a lze ji přesněji zapsat jako

${ displaystyle displaystyle { mathbf {SL} (2, k) = mathbf {B} pohár mathbf {B} cdot J cdot mathbf {U},}}$

kde produkt vyskytující se ve druhém termínu je přímý.

Tak teď

${ displaystyle displaystyle {T ( beta) = { začátek {pmatrix} 1 & beta 0 & 1 konec {pmatrix}}.}}$

Pak

${ displaystyle displaystyle {{ begin {pmatrix} alpha & 0 0 & alpha ^ {- 1} end {pmatrix}} = JT ( alpha ^ {- 1}) JT ( alpha) JT ( alfa ^ {- 1}).}}$

Následuje SL (2,k) je generována skupinou operátorů T(β) a J s výhradou následujících vztahů:

• β ↦ T(β) je aditivní homomorfismus
• α ↦ D(α) = JT(α⁻¹)JT(α)JT(α⁻¹) je multiplikativní homomorfismus
• D(−1) = J
• D(α)T(β)D(α)⁻¹ = T(α²β)
• JD(α)J⁻¹ = D(α)⁻¹

Poslední vztah vyplývá z definice D(α). Generátor a vztahy nahoře jsou ve skutečnosti prezentací SL (2,k). Zvažte skutečně volnou skupinu Φ generovanou J a T(β) s J řádu 4 a jeho čtvercový střed. To se skládá ze všech produktůT(β₁)JT(β₂)JT(β₃)J ... T(β_m)J pro m ≥ 0. Existuje přirozený homomorfismus Φ na SL (2,k). Jeho jádro obsahuje normální podskupinu Δ generovanou výše uvedenými vztahy. Existuje tedy přirozený homomorfismus Φ / Δ na SL (2,k). K prokázání toho, že je to injekční, stačí ukázat, že platí i Bruhatův rozklad Φ / Δ. Stačí dokázat první verzi, protože přesnější verze vyplývá z komutačních vztahů mezi J aD(α). Sada B ∪ B J B je invariantní pod inverzí, obsahuje operátory T(β) a J, takže stačí ukázat, že při násobení je invariantní. Podle konstrukce je invariantní při vynásobení B. Je invariantní při vynásobení J kvůli definující rovnici pro D(α).^[22]

Zejména centrum města SL (2,k) se skládá ze skalárních matic ±Já a je to jediná netriviální normální podskupina SL (2,k), aby PSL (2,k) = SL (2,k)/{±Já} je jednoduchý.^[23] Ve skutečnosti, pokud K. je normální podskupina, pak to znamená Bruhatův rozklad B je maximální podskupina, takže buď K. je obsažen v B neboKB = SL (2,k). V prvním případě K. opravuje jeden bod, a tedy každý bod k ∪ {∞}, takže leží uprostřed. Ve druhém případě podskupina komutátoru z SL (2,k) je celá skupina, protože se jedná o skupinu generovanou dolní a horní jednotkou trojúhelníkových matic a čtvrtý vztah ukazuje, že všechny takové matice jsou komutátory, protože [T(β),D(a)] = T(β - α²β). Psaní J = kb s k v K. a b v B, z toho vyplývá, že L = k U k⁻¹. Od té doby U a L generovat celou skupinu, SL (2,k) = KU. Ale pak SL (2,k)/K. ≅ U/U ∩ K.. Pravá strana je zde Abelian, zatímco levá strana je vlastní podskupina komutátoru. Proto to musí být triviální skupina a K. = SL (2,k).

Vzhledem k prvku A ve složité Jordanské algebře A = E_C, unital Jordan subalgebra C[A] je asociativní a komutativní. Násobení A definuje operátor na C[A] který má spektrum, jmenovitě soubor komplexních vlastních čísel. Li p(t) je tedy složitý polynom p(A) je definován v C[A]. Je invertibilní v A právě když je invertibilní vC[A], které se stávají přesně kdy p nezmizí na spektru A. To dovoluje racionální funkce z A bude definováno, kdykoli je funkce definována na spektru A. Li F a G jsou racionální funkce s G a F∘G definováno dne A, pakF je definováno na G(A) a F(G(A)) = (F∘G)(A). To platí zejména pro složité Möbiovy transformace, které lze definovat pomocíG(A) = (αA + β1) (γA + δ1)⁻¹. Odcházejí C[A] invariantní a pokud je definován, platí zákon o složení skupiny. (V další části budou definovány Möbiovy transformace při zhutnění A.)^[24]

Vzhledem k primitivnímu idempotentovi E v E s Peirceovým rozkladem

${ displaystyle displaystyle {E = E_ {1} (e) oplus E_ {1/2} (e) oplus E_ {0} (e), , , , , A = A_ {1} (e) oplus A_ {1/2} (e) oplus A_ {0} (e).}}$

akce SL (2,C) podle Möbiových transformací E₁(E) = C E lze rozšířit na akci na A takže akce ponechá neměnné komponenty A_i(E) a zejména jedná triviálně E₀(E).^[25] Li P₀ je projekce na A₀(E), akce je dána vzorcem

${ displaystyle displaystyle {g (ze oplus x_ {1/2} oplus x_ {0}) = { alpha z + beta over gamma z + delta} cdot e oplus ( gamma z + delta ) ^ {- 1} x_ {1/2} oplus x_ {0} - ( gamma z + delta) ^ {- 1} P_ {0} (x_ {1/2} ^ {2}).}}$

Pro jordánský rámec primitivních idempotentů E₁, ..., E_m, akce SL (2,C) spojené s různými E_i dojíždět, tedy podat žalobu z SL (2,C)^m. Diagonální kopie SL (2,C) dává opět akci Möbiovy transformace A.

Cayleyova transformace

Möbiova transformace definovaná

${ displaystyle displaystyle {C (z) = já {1 + z nad 1-z} = - i + {2i nad 1-z}}}$

se nazývá Cayleyova transformace. Jeho inverze je dána vztahem

${ displaystyle displaystyle {P (w) = {w-i nad w + i} = 1- {2i nad w + i}.}}$

Inverzní Cayleyova transformace nese skutečnou linii na kruh s vynechaným bodem 1. Přenáší horní polorovinu na disk jednotky a spodní polorovinu na doplněk uzavřeného disku jednotky. v teorie operátorů mapování T ↦ P(T) bere operátory s vlastním adjointem T na unitární operátory U neobsahující 1 ve svém spektru. U matic to následuje, protože unitární a samoadjungované matice mohou být diagonalizovány a jejich vlastní hodnoty leží na jednotkové kružnici nebo reálné linii. V tomto konečně-dimenzionálním nastavení Cayleyova transformace a její inverze zavádějí bijekci mezi maticemi normy operátora menší než jedna a operátory s imaginární částí kladný operátor. Toto je zvláštní případ pro A = M._n(C) jordánského algebraického výsledku, vysvětleného níže, který tvrdí, že Cayleyova transformace a její inverze zavádějí bijekci mezi ohraničenou doménou D a doména trubice T.

V případě matic bijekce vyplývá z resolvantních vzorců.^[26] Ve skutečnosti, pokud imaginární část T je tedy pozitivní T + II je od té doby invertibilní

${ displaystyle displaystyle { | (T + iI) x | ^ {2} = | (T-iI) x | ^ {2} +4 ( mathrm {Im} (T) x, x) .}}$

Zejména nastavení y = (T + II)X,

${ displaystyle displaystyle { | y | ^ {2} = | P (T) y | ^ {2} +4 ( mathrm {Im} (T) x, x).}}$

Ekvivalentně

${ displaystyle displaystyle {IP (T) ^ {*} P (T) = 4 (T ^ {*} - iI) ^ {- 1} [ mathrm {Im} , T] (T + iI) ^ {-1}}}$

je kladný operátor, takže ||P(T) || <1. Naopak, pokud ||U|| <1 pak Já− U je invertibilní a

${ displaystyle displaystyle { mathrm {Im} , C (U) = (2i) ^ {- 1} [C (U) -C (U) ^ {*}] = (1-U ^ {*} ) ^ {- 1} [IU ^ {*} U] (IU) ^ {- 1}.}}$

Vzhledem k tomu, že Cayleyova transformace a její inverzní dojíždění s transpozicí vytvářejí také bijekci pro symetrické matice. To odpovídá Jordanské algebře symetrických komplexních matic, komplexizaci H_n(R).

v A = E_C výše uvedené identity řešení mají následující podobu:^[27]

${ displaystyle displaystyle {Q (1-u ^ {*}) Q (C (u) + C (u ^ {*})) Q (1-u) = - 4B (u ^ {*}, u) }}$

a rovnocenně

${ displaystyle displaystyle {4Q ( mathrm {Im} , a) = Q (a ^ {*} - i) B (P (a) ^ {*}, P (a)) Q (a + i) ,}}$

kde operátor Bergman B(X,y) je definováno B(X,y) = Já − 2R(X,y) + Q(X)Q(y) s R(X,y) = [L(X),L(y)] + L(xy). Inverze zde jsou dobře definované. Ve skutečnosti jedním směrem 1 − u je invertibilní pro ||u|| <1: následuje buď s využitím skutečnosti, že norma vyhovuje ||ab|| ≤ ||A|| ||b||; nebo pomocí identity resolvantu a invertibility B(u*,u) (viz. níže). V opačném směru, pokud imaginární část A je v C pak imaginární část L(A) je pozitivní určitý, takže A je invertibilní. Tento argument lze použít A + i, takže je také invertibilní.

K vytvoření korespondence stačí zkontrolovat, kdy E je jednoduchý. V takovém případě to vyplývá z konektivity T a D a protože:

První kritérium vyplývá ze skutečnosti, že vlastní hodnoty Q(X) jsou přesně λ_iλ_j pokud vlastní čísla z X jsou λ_i. Takže λ_i jsou buď všechny pozitivní, nebo všechny negativní. Druhé kritérium vyplývá ze skutečnosti, že pokudA = u ∑ α_i E_i = ux s α_i ≥ 0 a u v Γ_u(E_C), pak B(A*,A) = u*Q(1 − X²)u má vlastní čísla (1 - α_i²) (1 - α_j²). Takže α_i jsou buď všechny menší než jedna, nebo všechny větší než jedna.

Identita řešení je důsledkem následující identity pro A a b invertibilní

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (a ^ {- 1} + b ^ {- 1}) Q (b) = Q (a + b).}}$

Ve skutečnosti v tomto případě vztahy pro kvadratickou jordánskou algebru naznačit

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b)}}$

aby

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a) Q (a ^ {- 1} -b) = Q (b ^ {- 1} -a) Q (b).}}$

Rovnost posledních dvou termínů implikuje identitu a nahrazuje ji b podle −b⁻¹.

Nyní nastaveno A = 1 − X a b = 1 − y. Identita řešení je zvláštním případem obecnější identity následující:

${ displaystyle displaystyle {Q (1-x) Q (C (x) + C (y)) Q (1-y) = - 4B (x, y).}}$

Ve skutečnosti

${ displaystyle displaystyle {C (x) + C (y) = - 2i (1-a ^ {- 1} -b ^ {- 1}),}}$

takže identita je ekvivalentní

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (1-a ^ {- 1} -b ^ {- 1}) Q (b) = B (1-a, 1-b).}}$

Používání výše uvedené identity společně s Q(C)L(C⁻¹) = L(C), levá strana se rovná Q(A)Q(b) + Q(A + b) − 2L(A)Q(b) − 2Q(A)L(b). Pravá strana se rovná 2L(A)L(b) + 2L(b)L(A) − 2L(ab) − 2L(A)Q(b) − 2Q(A)L(b) + Q(A)Q(b) + Q(A) + Q(b). Ty jsou stejné, protože vzorec ½[Q(A + b) − Q(A) − Q(b)] = L(A)L(b) + L(b)L(A) − L(ab).

Automorfická skupina ohraničené domény

Li A leží v ohraničené doméně D, pak A − 1 je invertibilní. Od té doby D je invariantní při násobení skaláry modulu ≤ 1, z toho vyplýváA - λ je invertibilní pro | λ | ≥ 1. Proto pro ||A|| ≤ 1, A - λ je invertibilní pro | λ | > 1. Z toho vyplývá, že Möbiova transformace ga je definováno pro ||A|| ≤ 1 a G v SU (1,1). Tam, kde je to definováno, je to injekční. Je holomorfní D. Podle princip maximálního modulu, ukázat to G mapy D na D stačí ukázat mapy S na sebe. V tom případě G a jeho inverzní rezervace D tak to musí být surjektivní. Li u = E^ix s X = ∑ ξ_iE_i v E, pak gu leží v ⊕ C E_i. Toto je komutativní asociativní algebra a spektrální norma je normou supremum. Od té doby u = ∑ ς_iE_i s | ς_i| = 1, z toho vyplývá gu = ∑ G(ς_i)E_i kde |G(ς_i) | = 1. Takže gu leží v S.

To je přímý důsledek definice spektrální normy.

Toto je již známé pro Möbiovy transformace, tj. Úhlopříčku v SU (1,1)^m. Z toho vyplývá pro diagonální matice v pevné složce v SU (1,1)^m protože odpovídají transformacím ve skupině unitární struktury. Konjugace pomocí Möbiovy transformace je ekvivalentní konjugaci pomocí matice v této složce. Jelikož jediná netriviální normální podskupina SU (1,1) je jeho střed, nese každá matice v pevné složce D na sebe.

Vzhledem k prvku v D transformace v komponentě identity skupiny unitární struktury ji nese v prvku v ⊕ C E_i s normou supremum menší než 1. Transformace v SU (1,1)^m nese to na nulu. Existuje tedy tranzitivní skupina biholomorfních transformací D. Symetrie z ↦ −z je biholomorfní Möbiova transformace, která stanoví pouze 0.

Li F je biholomorfní samo-mapování D s F(0) = 0 a derivát Já v 0, pak F musí být identita.^[28] Pokud ne, F má rozšíření Taylorovy řady F(z) = z + F_k + F_{k + 1}(z) + ⋅⋅⋅ s F_i homogenní stupně ia F_k ≠ 0. Ale pak Fⁿ(z) = z + n F_k(z). Nechat ψ být funkční v A* normy jedna. Pak pro pevné z v D, holomorfní funkce komplexní proměnné w dána h_n(w) = ψ (Fⁿ(wz)) musí mít modul menší než 1 pro |w| <1. Autorem Cauchyova nerovnost, koeficienty w^k musí být rovnoměrně ohraničené nezávisle na n, což není možné, pokud F_k ≠ 0.

Li G je biholomorfní mapování D na sebe právě opravuje 0 ifif h(z) = E^iα z, mapování F = G ∘ h ∘ G⁻¹ ∘ h^−α opravuje 0 a má derivaci Já tam. Jedná se tedy o mapu identity. Tak G(E^iα z) = E^iαG(z) pro jakýkoli α. Z toho vyplývá G je lineární mapování. Protože to mapuje D na sebe mapuje uzávěr na sebe. Zejména musí mapovat hranici Shilov S na sebe. To nutí G být ve skupině jednotné struktury.

Oběžná dráha 0 pod A_D je množina všech bodů ∑ α_i E_i s -1 <α_i < 1. Oběžná dráha těchto bodů pod jednotnou strukturní skupinou je celá D. Následuje rozklad Cartanu, protože K._D je stabilizátor 0 palců G_D.

Ve skutečnosti jediný bod stanovený (složkou identity) K._D v D je 0. Jedinečnost znamená, že centrum z G_D musí opravit 0. Z toho vyplývá, že střed G_D leží v K._D. Centrum města K._D je izomorfní se skupinou kruhů: rotace přes θ odpovídá násobení E^iθ na D tak leží v SU (1,1) / {± 1}. Jelikož tato skupina má banální centrum, centrum G_D je triviální.^[29]

Ve skutečnosti by se protínala jakákoli větší kompaktní podskupina A_D netriviálně a nemá žádné netriviální kompaktní podskupiny.

Všimněte si, že G_D je Lieova skupina (viz níže), takže výše uvedené tři výroky drží G_D a K._D nahrazeny jejich složkami identity, tj. podskupinami generovanými jejich jednoparametrovými krychlovými skupinami. Z toho vyplývá jedinečnost maximální kompaktní podskupiny až po konjugaci obecný argument nebo lze odvodit pro klasické domény přímo pomocí Sylvestrov zákon setrvačnosti Následující Sugiura (1982).^[30] Například příklad hermitovských matic C, to se redukuje na prokázání toho U (n) × U (n) je na konjugaci jedinečné maximální kompaktní podskupiny v U (n,n). Ve skutečnosti, pokud Ž = Cⁿ ⊕ (0), pak U (n) × U (n) je podskupinou U (n,n) zachování Ž. Omezení poustevnické formy dané vnitřním součinem na Ž minus vnitřní produkt na (0) ⊕ CⁿNa druhou stranu, pokud K. je kompaktní podskupina U (n,n), tady je K.-invariantní vnitřní produkt na C²ⁿ získané zprůměrováním jakéhokoli vnitřního produktu s ohledem na Haarovu míru na K.. Hermitovská forma odpovídá ortogonálnímu rozkladu na dva podprostory dimenze n oba neměnné pod K. s tvarem pozitivní určitý na jedné a negativní určitý na druhé. Podle Sylvestrova zákona setrvačnosti, který dostal dva dimenze podprostoru n na kterém je hermitovská forma kladně definitivní, je jedna na druhou nesena prvkem U (n,n). Proto existuje prvek G z U (n,n) takový, že kladný určitý podprostor je dán vztahem gW. Tak gKg⁻¹ listy Ž neměnný a gKg⁻¹ ⊆ U (n) × U (n).