Mutace (Jordan algebra) - Mutation (Jordan algebra) - Wikipedia

v matematika, a mutace, také nazývaný a homotop, z unital Jordan algebra je nová Jordanova algebra definovaná daným prvkem Jordanské algebry. Mutace má jednotku právě tehdy, když je daný prvek invertibilní, v takovém případě se mutace nazývá a správná mutace nebo izotop. Mutace byly poprvé představeny Max Koecher ve svém jordánském algebraickém přístupu k Hermitovské symetrické prostory a ohraničené symetrické domény trubkového typu. Jejich funkcionální vlastnosti umožňují explicitní konstrukci odpovídajícího hermitovského symetrického prostoru kompaktního typu jako zhutnění konečněrozměrné komplexní polojediné Jordanovy algebry. Automorphism skupina kompaktifikace se stává komplexní podskupina, komplexifikace jeho maximální kompaktní podskupina. Obě skupiny působí přechodně na zhutnění. Tato teorie byla rozšířena tak, aby pokryla všechny hermitovské symetrické prostory pomocí teorie Jordan páry nebo Trojité systémy Jordan. Koecher získal výsledky v obecnějším případě přímo z případu Jordan algebry na základě skutečnosti, že jsou vyžadovány pouze páry Jordan spojené s obdobím dvou automatorfismů Jordanových algeber.

Definice

Nechat A být unitalskou algebrou Jordan nad polem k charakteristiky ≠ 2.^[1] Pro A v A definovat operátor multiplikace Jordan na A podle

${ displaystyle displaystyle {L (a) b = ab}}$

a kvadratické znázornění Q(A) od

${ displaystyle Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}). ,}$

To uspokojuje

${ displaystyle Q (1) = já. ,}$

the základní identita

${ displaystyle displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}$

komutační nebo homotopickou identitu

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a),}}$

kde

${ displaystyle R (a, b) c = 2Q (a, c) b, , , , Q (x, y) = { frac {1} {2}} (Q (x + y) - Q (x) -Q (y)).}$

Zejména pokud A nebo b je tedy invertibilní

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Z toho vyplývá, že A s operacemi Q a R a prvek identity definuje a kvadratická Jordanova algebra, kde kvadratická Jordanova algebra se skládá z vektorového prostoru A s rozlišovacím prvkem 1 a kvadratickou mapou A do endomorfismů A, A ↦ Q(A), splňující podmínky:

• Q(1) = id
• Q(Q(A)b) = Q(A)Q(b)Q(A) („základní identita“)
• Q(A)R(b,A) = R(A,b)Q(A) ("komutační nebo homotopická identita"), kde R(A,b)C = (Q(A + C) − Q(A) − Q(C))b

Trojitý produkt Jordan je definován

${ displaystyle {a, b, c } = (ab) c + (cb) a- (ac) b, ,}$

aby

${ Displaystyle Q (a) b = {a, b, a }, , , , Q (a, c) b = {a, b, c }, , , , R (a, b) c = {a, b, c }. ,}$

Existují také vzorce

${ Displaystyle Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab), , , , R (a, b) = [L (a ), L (b)] + L (ab). ,}$

Pro y v A the mutace A^y je definován do vektorového prostoru A s množením

${ displaystyle a circ b = {a, y, b }. ,}$

Li Q(y) je invertibilní, vzájemná se nazývá a správná mutace nebo izotop.

Kvadratické Jordanské algebry

Nechat A být kvadratickou Jordanskou algebrou nad polem k charakteristiky ≠ 2. Následující Jacobson (1969), lze spojit lineární strukturu Jordanovy algebry A takové, pokud L(A) je Jordanovo násobení, potom je kvadratická struktura dána vztahem Q(A) = 2L(A)² − L(A²).

Nejprve axiom Q(A)R(b,A) = R(A,b)Q(A) lze posílit na

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}$

Opravdu, aplikováno na C, dávají první dva pojmy

${ displaystyle displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}$

Přepínání b a C pak dává

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}$

Teď nech

${ displaystyle displaystyle {L (a) = { frac {1} {2}} R (a, 1).}}$

Výměna b podle A a A o 1 v identitě výše dává

${ displaystyle displaystyle {R (a, 1) = R (1, a) = 2Q (a, 1).}}$

Zejména

${ displaystyle displaystyle {L (a) = Q (a, 1), , , , L (1) = Q (1,1) = já.}}$

Produkt Jordan je dán

${ displaystyle displaystyle {a circ b = L (a) b = { frac {1} {2}} R (a, 1) b = Q (a, b) 1,}}$

aby

${ displaystyle displaystyle {a circ b = b circ a.}}$

Vzorec výše ukazuje, že 1 je identita. Definování A² podle A∘A = Q(A) 1, jedinou zbývající podmínkou, kterou je třeba ověřit, je identita Jordánska

${ displaystyle displaystyle {[L (a), L (a ^ {2})] = 0.}}$

V základní identitě

${ displaystyle displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a),}}$

Nahradit A podle A + t1 set b = 1 a porovnejte koeficienty t² na obou stranách:

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = 2Q (a, 1) ^ {2} -Q (a ^ {2}, 1) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}) .}}$

Nastavení b = 1 ve druhém axiomu dává

${ displaystyle displaystyle {Q (a) L (a) = L (a) Q (a),}}$

a proto L(A) musí dojíždět s L(A²).

Inverses

Nechat A být unitalskou algebrou Jordan nad polem k charakteristiky ≠ 2. Prvek A v unitální Jordanské algebře A se říká, že je invertibilní pokud existuje prvek b takhle ab = 1 a A²b = A.^[2]

Vlastnosti.^[3]

Li ab = 1 a A²b = A, pak Q(A)b = 2A(ab) − (A²)b = A. Jordánská identita [L(X),L(X²)] = 0 lze polarizovat nahrazením X podle X + ty a vezmeme koeficient t. To dává

${ displaystyle displaystyle {[L (x ^ {2}), L (y)] + 2 [L (xy), L (x)] = 0.}}$

Brát X = A nebo b a y = b nebo A ukázat to L(A²) dojíždí s L(b) a L(b²) dojíždí s L(A). Proto (b²)(A²) = 1. Přihlašování L(b) dává b²A = b. Proto Q(A)b² = 1. Naopak pokud Q(A)b = A a Q(A)b² = 1, pak dává druhý vztah Q(A)Q(b)² Q(A) = Já. Takže oba Q(A) a Q(b) jsou invertibilní. První dává Q(A)Q(b)Q(A) = Q(A) aby Q(A) a Q(b) jsou vzájemné inverze. Od té doby L(b) dojíždí s Q(b) dojíždí inverzní Q(A). Podobně L(A) dojíždí s Q(b). Tak (A²)b = L(b)A² = Q(A)b = A a ab = L(b)Q(A)b= Q(A)Q(b)1= 1.

Opravdu, pokud A je invertibilní, pak z výše uvedeného vyplývá Q(A) je invertibilní s inverzí Q(b). Jakákoli inverzní b splňuje Q(A)b = A, tak b = Q(A)⁻¹A. Naopak pokud Q(A) je invertible let b = Q(A)⁻¹A. PakQ(A)b = A. To tedy naznačuje základní identita Q(b) a Q(A) jsou navzájem inverze, takže Q(A)b² = Q(A)Q(b)1=1.

To vyplývá ze vzorce A⁻¹ = Q(A)⁻¹A.

Předpokládejme to Q(A)C = 1. Pak základní identitou Q(A) je invertibilní, takže A je invertibilní.

To je bezprostřední důsledek základní identity a skutečnosti, že STS je invertibilní jen a jen S a T jsou invertibilní.

V identifikaci komutace Q(A)R(b,A) = Q (Q (A)b,A), nastavit b = C² s C = A⁻¹. Pak Q (A)b = 1 a Q(1,A) = L(A). Od té doby L(A) dojíždí s L(C²), R(b,A) = L(C) = L(A⁻¹).

Li L(A) a L(b) dojíždět tedy ba = 1 naznačuje b(A²) = A. Naopak předpokládejme, že A je invertibilní s inverzí b. Pak ab = 1. Morevoer L(b) dojíždí s Q(b) a proto jeho inverzní Q(A). Dojíždí tedy s L(A) = Q(A)L(b).

Algebra k[A] je komutativní a asociativní, takže pokud b je tam inverzní ab =1 a A²b = A. Naopak Q(A) listy k[A] neměnný. Takže pokud je to bijective na A je to tam bijektivní. Tím pádem A⁻¹ = Q(A)⁻¹A leží v k[A].

Základní vlastnosti správných mutací

Ve skutečnosti ^[4]násobení v algebře A^y je dána

${ displaystyle displaystyle {a circ b = {a, y, b },}}$

podle definice je komutativní. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle displaystyle {a circ b = L_ {y} (a) b,}}$

s

${ displaystyle displaystyle {L_ {y} (a) = [L (a), L (y)] + L (ay).}}$

Li E splňuje A ∘ E = A, pak brát A = 1 dává

${ displaystyle displaystyle {ye = 1.}}$

Brát A = E dává

${ displaystyle displaystyle {e (ya) = y (ea)}}$

aby L(y) a L(E) dojíždět. Proto y je invertibilní a E = y⁻¹.

Nyní pro y invertibilní sada

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y), , , , R_ {y} (a, b) = R (a, Q (y) b). }}$

Pak

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (e) = Q_ {y} (y ^ {- 1}) = Q (y ^ {- 1}) Q (y) = I.}}$

Navíc,

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) Q_ {y} (b) Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y) Q (b) Q (y) Q (a) Q ( y) = Q (a) Q (Q (y) b) Q (a) Q (y) = Q (Q (a) Q (y) b) Q (y) = Q_ {y} (Q_ {y} (a) b).}}$

Konečně

${ displaystyle displaystyle {Q (y) R (c, Q (y) d) Q (y) ^ {- 1} = R (Q (y) c, d),}}$

od té doby

${ Displaystyle Displaystyle {Q (y) R (c, Q (y) d) x = 2Q (y) Q (c, x) Q (y) d = 2Q (Q (y) c, Q (y) x) d = R (Q (y) c, d) Q (y) x.}}$

Proto

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) R_ {y} (b, a) = Q (a) Q (y) R (b, Q (y) a) = Q (y ^ {- 1} ) Q (Q (y) a) R (b, Q (y) a) = Q (y) ^ {- 1} R (Q (y) a, b) Q (Q (y) a) = R_ { y} (a, b) Q_ {y} (a).}}$

Tím pádem (A,Q^y,y⁻¹) je unitalská kvadratická Jordanova algebra. Odpovídá tedy lineární Jordanově algebře s přidruženým operátorem multiplikace Jordan M(A) dána

${ displaystyle displaystyle {M (a) b = { frac {1} {2}} R_ {y} (a, e) b = { frac {1} {2}} R (a, Q (y ) e) b = { frac {1} {2}} R (a, y) b = {a, y, b } = L_ {y} (a) b.}}$

To ukazuje, že operátoři L_y(A) uspokojit jordánskou identitu, aby byla správná mutace nebo izotop A^y je jednotná Jordanova algebra. Korespondence s kvadratickými jordánskými algebrami ukazuje, že její kvadratické zastoupení je dáno vztahem Q_y.

Neunitální mutace

Definice mutace platí také pro neinvertibilní prvky y. Li A je konečně-dimenzionální R nebo C, invertibilní prvky A v A jsou husté, protože invertibilita je ekvivalentní podmínce, že det Q(A) ≠ 0. Takže kontinuitou Jordan identita pro správné mutace implikuje Jordan identitu pro libovolné mutace. Obecně lze Jordanskou identitu odvodit z Macdonaldovy věty pro Jordanovy algebry, protože zahrnuje pouze dva prvky Jordanské algebry. Alternativně lze Jordanskou identitu odvodit realizací mutace uvnitř unitální kvadratické algebry.^[5]

Pro A v A definovat kvadratickou strukturu na A₁ = A ⊕ k podle

${ displaystyle displaystyle {Q_ {1} (a oplus alpha 1) (b oplus beta 1) = alpha ^ {2} beta 1 oplus [ alpha ^ {2} a + alpha ^ { 2} b + 2 alpha beta a + alpha {a, y, b } + beta Q (a) y + Q (a) Q (y) b].}}$

To pak lze ověřit (A₁, Q₁, 1) je unitalská kvadratická Jordanova algebra. Unitalská Jordanova algebra, které odpovídá, má A^y jako ideál, a to zejména A^y uspokojuje jordánskou identitu. Identity unitalské kvadratické Jordanovy algebry vyplývají z následujících vlastností kompatibility kvadratické mapy Q_y(A) = Q(A)Q(y) a kvadratická mapa S_y(A) = Q(A)y:

• R_y(A,A) = L_y(S_y(A)).
• [Q_y(A),L_y(A)] = 0.
• Q_y(A)S_y(A) = S_y(S_y(A)).
• Q_y∘ S_y = S_y ∘ Q_y.
• Q_y(A) Q_y(b) S_y(A) = S_y(Q_y(A)b).
• Q_y(Q_y(A)b) = Q_y(A) Q_y(b) Q_y(A).

Identita Hua

Nechat A být jednotnou Jordanovou algebrou. Li A, b a A – b jsou tedy invertibilní Hua identita drží:^[6]

:${ displaystyle displaystyle {a ^ {- 1} = (ab) ^ {- 1} + (aQ (a) b ^ {- 1}) ^ {- 1} = (ab) ^ {- 1} + Q (a) ^ {- 1} (a ^ {- 1} -b ^ {- 1}) ^ {- 1}.}}$

Zejména pokud X a 1 - X jsou invertibilní, pak také 1 - X⁻¹ s

${ displaystyle displaystyle {(1-x) ^ {- 1} + (1-x ^ {- 1}) ^ {- 1} = 1.}}$

Dokázat totožnost pro X, nastavit y = (1 – X)⁻¹. Pak L(y) = Q(1 – X)⁻¹L(1 – X). Tím pádem L(y) dojíždí s L(X) a Q(X). Od té doby Q(y) = Q(1 – X)⁻¹, dojíždí také s L(X) a Q(X). Od té doby L(X⁻¹) = Q(X)⁻¹L(X), L(y) také dojíždí s L(X⁻¹) a Q(X⁻¹).

Z toho vyplývá, že (X⁻¹ – 1)xy =(1 – X) y = 1. Navíc, y – 1 = xy od té doby (1 – X)y = 1. Tak L(xy) dojíždí s L(X) a tudíž L(X⁻¹ – 1). Tím pádem 1 – X⁻¹ má inverzní 1 – y.

Teď nech A^A být mutací A definován A. Prvek identity A^A je A⁻¹. Navíc invertibilní prvek C v A je také invertibilní v A^A s inverzí Q(A)⁻¹ C⁻¹.

Nechat X = Q(A)⁻¹b v A^A. Je invertibilní v A, jak je A⁻¹ – Q(A)⁻¹b = Q(A)⁻¹(A – b). Takže zvláštním případem identity Hua pro X v A^A

${ displaystyle displaystyle {a ^ {- 1} = Q (a) ^ {- 1} (a ^ {- 1} -Q (a) ^ {- 1} b) ^ {- 1} + Q (a ) ^ {- 1} (a ^ {- 1} -b ^ {- 1}) ^ {- 1} = (ab) ^ {- 1} + (aQ (a) b ^ {- 1}) ^ { -1}.}}$

Operátor Bergman

Li A je unitalská Jordanova algebra, Operátor Bergman je definováno pro A, b v A podle^[7]

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = I-R (a, b) + Q (a) Q (b).}}$

Li A je tedy invertibilní

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a) Q (a ^ {- 1} -b);}}$

zatímco pokud b je tedy invertibilní

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a-b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Ve skutečnosti, pokud A je invertibilní

Q(A)Q(A⁻¹ − b) = Q(A)[Q(A⁻¹ − 2Q(A⁻¹,b) + Q(b)]=Já − 2Q(A) Q (A⁻¹,b) + Q(A)Q(b)=Já − R(A,b) + Q(A)Q(b)

a podobně pokud b je invertibilní.

Obecněji platí, že operátor Bergman splňuje verzi identity komutace nebo homotopy:

a verze základní identity:

K dispozici je také třetí technická identita:

Kvazi-invertibilita

Nechat A být konečně-dimenzionální unitalská Jordanova algebra nad polem k charakteristiky ≠ 2.^[8] Pro pár (A,b) s A a A⁻¹ − b invertible define

:${ displaystyle displaystyle {a ^ {b} = (a ^ {- 1} -b) ^ {- 1}.}}$

V tomto případě operátor Bergman B(A,b) = Q(A)Q(A⁻¹ − b) definuje invertibilní operátor na A a

:${ displaystyle displaystyle {a ^ {b} = B (a, b) ^ {- 1} (a-Q (a) b).}}$

Ve skutečnosti

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) ^ {- 1} (aQ (a) b) = Q (a ^ {b}) Q (a ^ {- 1}) (aQ (a) b) = Q (a ^ {b}) (a ^ {b}) ^ {- 1} = a ^ {b}.}}$

Navíc podle definice A⁻¹ − b − C je invertibilní právě tehdy (A^b)⁻¹ − C je invertibilní. V tom případě

:${ displaystyle displaystyle {a ^ {b + c} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Vskutku,

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b + c} = ((a ^ {- 1} -b) -c) ^ {- 1} = ((a ^ {b}) ^ {- 1} -c) ^ {- 1} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Předpoklad, že A být invertibilní lze zrušit od A^b lze definovat pouze za předpokladu, že operátor Bergman B(A,b) je invertibilní. Dvojice (A,b) pak se říká, že je kvazi-invertibilní. V tom případě A^b je definován vzorcem

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b} = B (a, b) ^ {- 1} (a-Q (a) b).}}$

Li B(A,b) je tedy invertibilní B(A,b)C = 1 pro některé C. To naznačuje základní identita B(A,b)Q(C)B(b,A) = Já. Takže konečnou dimenzionálností B(b,A) je invertibilní. Tím pádem (A,b) je invertibilní právě tehdy (b,A) je invertibilní a v tomto případě

Ve skutečnosti

B(A,b)(A + Q(A)b^A) = A − 2R(A,b)A + Q(A)Q(b)A + Q(A)(b − Q(b)A) = A − Q(A)b,

takže vzorec následuje aplikací B(A,b)⁻¹ na obě strany.

Jako dříve (A,b+C) je kvazi-invertibilní právě tehdy (A^b,C) je kvazi-invertibilní; a v tom případě

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b + c} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Li k = R nebo C, na to by navazovala kontinuita od zvláštního případu kde A a A⁻¹ − b byly invertibilní. Obecně důkaz vyžaduje pro operátora Bergmana čtyři identity:

Ve skutečnosti platí Q k identitě B(A,b)A^b = A − Q(A)b výnosy

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) Q (a ^ {b}) B (b, a) = B (a, b) Q (a) = Q (a) B (b, a).} }$

První identita následuje zrušením B(A,b) a B(b,A). Druhá identita následuje podobným zrušením v

B(A,b)Q(A^b,C)B(b,A) = Q(B(A,b)A^b,B(A,b)C) = Q(A − Q(A)b,B(A,b)C) = B(A,b)(Q(A,C) − R(C,b)Q(A)) = (Q(A,C) − Q(A)R(b,C))B(b,A).

Třetí identita následuje aplikací druhé identity na prvek d a poté přepnout role C a d. Čtvrtý následuje, protože

B(A,b)B(A^b,C) = B(A,b)(Já − R(A^b,C) + Q(A^b)Q(C)) = Já − R(A,b + C) + Q(A) Q(b + C) = B(A,b+C).

Ve skutečnosti (A,b) je kvazi-invertibilní právě tehdy A je v mutaci kvazi-invertibilní A^b. Jelikož tato mutace nemusí být nutně jednotná, znamená to, že když je identita spojena 1 − A se stane invertibilní v A^b ⊕ k1. Tuto podmínku lze vyjádřit následovně bez zmínky o mutaci nebo homotopu:

Ve skutečnosti, pokud (A,b) je tedy kvazi-invertibilní C = A^b uspokojuje první identitu podle definice. Druhý následuje, protože B(A,b)Q(A^b) = Q(A). Naopak podmínky uvádějí, že v A^b ⊕ k1 podmínky to naznačují 1 + C je inverzní k 1 − A. Na druhou stranu, ( 1 − A) ∘ X = B(A,b)X pro X v A^b. Proto B(A,b) je invertibilní.

Vztah ekvivalence

Nechat A být konečně-dimenzionální unitalská Jordanova algebra nad polem k charakteristiky ≠ 2.^[9]Dva páry (A_i,b_i) s A_i invertible se říká, že jsou ekvivalent -li (A₁)⁻¹ − b₁ + b₂ je invertibilní a A₂ = (A₁)^{b₁ − b₂}.

Toto je vztah ekvivalence, protože pokud A je invertibilní A⁰ = A takže pár (A,b) je ekvivalentní sobě samému. Je to symetrické, protože z definice A₁ = (A₂)^{b₂ − b₁}. Je to přechodné. Předpokládejme, že (A₃,b₃) je třetí pár s (A₂)⁻¹ − b₂ + b₃ invertibilní a A₃ = (A₂)^{b₂ − b₃}. Z výše uvedeného

${ displaystyle displaystyle {a_ {1} ^ {- 1} -b_ {1} + b_ {3} = (a_ {1} ^ {- 1} -b_ {1} + b_ {2}) - b_ { 2} + b_ {3} = a_ {2} ^ {- 1} -b_ {2} + b_ {3}}}$

je invertibilní a

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2} -b_ {3}} = a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {3}}.}}$

Pokud jde o kvazi-invertibilitu, lze tuto definici rozšířit na případ, kdy A a A⁻¹ − b nepředpokládá se, že jsou invertibilní.

Dva páry (A_i,b_i) se říká, že jsou ekvivalent -li (A₁, b₁ − b₂) je kvazi-invertibilní a A₂ = (A₁)^{b₁ − b₂}. Když k = R nebo CSkutečnost, že tato obecnější definice také poskytuje vztah ekvivalence, lze z invertibilního případu odvodit kontinuitou. Obecně k, lze také ověřit přímo:

• Vztah je reflexivní, protože (A,0) je kvazi-invertibilní a A⁰ = A.
• Vztah je symetrický, protože A₁ = (A₂)^{b₂ − b₁}.
• Vztah je tranzitivní. Předpokládejme, že (A₃,b₃) je třetí pár s (A₂, b₂ − b₃) kvazi-invertibilní a A₃ = (A₂)^{b₂ − b₃}. V tomto případě

${ displaystyle displaystyle {B (a_ {1}, b_ {1} -b_ {3}) = B (a_ {1}, b_ {1} -b_ {2}) B (a_ {2}, b_ { 2} -b_ {3}),}}$

aby (A₁,b₁ − b₃) je kvazi-invertibilní s

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2} -b_ {3}} = a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {3}}.}}$

Třída ekvivalence (A,b) je označen (A:b).

Skupiny struktur

Nechat A být konečně-dimenzionální komplex, polojednoduchá unitalská Jordanova algebra. Li T je operátor na A, nechť T^t být jeho transpozicí s ohledem na stopovou formu. Tím pádemL(A)^t = L(A), Q(A)^t = Q(A), R(A,b)^t = R(b,A) a B(A,b)^t = B(b,A). The strukturní skupina z A skládá se z G v GL (A) takhle

${ displaystyle displaystyle {Q (ga) = gQ (a) g ^ {t}.}}$

Tvoří skupinu Γ (A). Automorfická skupina Aut A z A se skládá z invertibilních komplexních lineárních operátorů G takhle L(ga) = gL(A)G⁻¹ a g1 = 1. Protože automorfismus G zachovává stopovou formu, G⁻¹ = G^t.

• Skupina struktur je uzavřena při přijímání transpozic G ↦ G^t a sousední G ↦ G*.
• Skupina struktury obsahuje skupinu automorfismu. Skupinu automorfismu lze identifikovat se stabilizátorem 1 ve skupině struktury.
• Li A je invertibilní, Q(A) leží ve skupině struktur.
• Li G je ve skupině struktur a A je invertibilní, ga je také invertibilní s (ga)⁻¹ = (G^t)⁻¹A⁻¹.
• Skupina struktury Γ (A) působí přechodně na sadu invertibilních prvků v A.
• Každý G v Γ (A) má formu G = h Q(A) s h automorfismus a A invertibilní.

Složitá algebra Jordan A je komplexizace skutečného Euklidovská Jordanova algebra E, pro které stopová forma definuje vnitřní produkt. Existuje související involuce A ↦ A* na A což vede ke vzniku komplexního vnitřního produktu na A. The jednotná strukturní skupina Γ_u(A) je podskupina Γ (A) skládající se z nečleněných operátorů, takže Γ_u(A) = Γ (A) ∩ U (A). Složka identity Γ_u(A) je označen K.. Je to připojená uzavřená podskupina U (A).

• Stabilizátor 1 v Γ_u(A) je Aut E.
• Každý G v Γ_u(A) má formu G = h Q(u) s h v Aut E a u invertibilní v A s u* = u⁻¹.
• Γ (A) je komplexizace Γ_u(A).
• Sada S invertibilních prvků u v A takhle u* = u⁻¹ lze rovnocenně charakterizovat jako ty u pro který L(u) je normální operátor s U u* = 1 nebo jako takové u formuláře exp IA pro některé A v E. Zejména S je připojen.
• Složka identity of_u(A) působí přechodně na S
• Vzhledem k tomu, Jordan rám (E_i) a proti v A, existuje operátor u ve složce identity Γ_u(A) takové, že uv = ∑ α_i E_i s α_i ≥ 0. Pokud proti je invertibilní, pak α_i > 0.

Skupina struktury Γ (A) působí přirozeně X.^[10] Pro G v Γ (A), nastavit

${ displaystyle displaystyle {g (a, b) = (ga, (g ^ {t}) ^ {- 1} b).}}$

Pak (X,y) je kvazi-invertibilní právě tehdy (gx,(G^t)⁻¹y) je kvazi-invertibilní a

${ displaystyle displaystyle {g (x ^ {y}) = (gx) ^ {(g ^ {t}) ^ {- 1} y}.}}$

Ve skutečnosti kovarianční vztahy pro G s Q a inverzní to naznačuje

${ displaystyle displaystyle {gB (x, y) g ^ {- 1} = B (gx, (g ^ {t}) ^ {- 1} y)}}$

-li X je invertibilní a tak všude hustotou. To zase znamená vztah pro kvazi-inverzi. Li A je tedy invertibilní Q(A) leží v Γ (A) a pokud (A,b) je kvazi-invertibilní B(A,b) leží v Γ (A). Oba typy operátorů tedy jednají X.

Definující vztahy pro skupinu struktur ukazují, že se jedná o uzavřenou podskupinu ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ z GL (A). Od té doby Q(E^A) = E^2L(A), odpovídající komplex Lieova algebra obsahuje operátory L(A). Komutátoři [L(A),L(b)] překlenout komplexní Lieovu algebru derivací A. Provozovatelé R(A,b) = [L(A),L(b)] + L(ab) rozpětí ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ a uspokojit R(A,b)^t = R(b,A) a[R(A,b),R(C,d)]=R(R(A,b)C,d) − R(C,R(b,A)d).

Geometrické vlastnosti kvocientového prostoru

Nechat A být konečně-dimenzionální komplex unital Jordan algebra, který je polojednoduchý, tj. stopová forma Tr L(ab) je nedegenerovaný. Nechat X být podílem A×A vztahem ekvivalence. Nechat X_b být podmnožinou X tříd (A:b). Mapa φ_b:X_b → A, (A:b) ↦ A je injekční. Podmnožina U z X je definován jako otevřený právě tehdy U ∩ X_b je otevřen pro všechny b.

The přechodové mapy z atlas s grafy φ_b jsou dány

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {cb} = varphi _ {c} circ varphi _ {b} ^ {- 1}: varphi _ {b} (X_ {b} cap X_ {c} ) rightarrow varphi _ {c} (X_ {b} cap X_ {c}).}}$

a od té doby jsou injekční a holomorfní

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {cb} (a) = a ^ {b-c}}}$

s derivací

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {cb} ^ { prime} (a) = B (a, b-c) ^ {- 1}.}}$

To definuje strukturu komplexního potrubí X protože φ_DC ∘ φ_cb = φ_db na φ_b(X_b ∩ X_C ∩ X_d).

Ve skutečnosti všechny polynomické funkce str_i(b) = det B(A_i,b_i − b) jsou od té doby nepodstatné str_i(b_i) = 1. Proto existuje b takhle str_i(b) ≠ 0 pro všechny i, což je přesně kritériem pro (A_i:b_i) ležet X_b.

Loos (1977) používá operátory Bergman k vytvoření explicitní biholomorfismus mezi X a a Zavřeno hladký algebraická subvarieta z složitý projektivní prostor.^[11] Z toho vyplývá zejména to X je kompaktní. Existuje přímější důkaz kompaktnosti pomocí skupin symetrie.

Vzhledem k tomu, Jordan rám (E_i) v E, pro každého A v A tady je k v U = Γ_u(A) takové, že A=k(∑ α_i E_i)s α_i ≥ 0 (a α_i > 0 -li A je invertibilní). Ve skutečnosti, pokud (A,b) je v X pak je to ekvivalentní k k(C,d) s C a d v unitalské jordánské subalgebře A_E = ⊕ CE_i, což je komplexizace E_E = ⊕ RE_i.Nechat Z být komplexní potrubí konstruované pro A_E. Protože A_E je přímý součet kopií C, Z je jen produktem sféry Riemanna, pro každou jednu E_i. Zejména je kompaktní. Existuje přirozená mapa Z do X který je spojitý. Nechat Y být obrazem Z. Je kompaktní a proto se shoduje s uzavřením Y₀ = A_E ⊂ A = X₀. Sada U⋅Y je spojitý obraz kompaktní sady U × Y. Je tedy kompaktní. Na druhou stranu, U⋅Y₀ = X₀, takže obsahuje hustou podmnožinu X a proto se musí shodovat s X. Tak X je kompaktní.

Výše uvedený argument ukazuje, že každý (A,b) v X je ekvivalentní k k(C,d) s C a d v A_E a k vΓ_u(A). Mapování Z do X je ve skutečnosti vložení. To je důsledek (X,y) být kvazi-invertibilní v A_E právě když je v kvazi-invertibilní A. Opravdu, pokud B(X,y) je injekční A, jeho omezení na A_E je také injekční. Naopak, dvě rovnice pro kvazi-inverzi dovnitř A_E znamenat, že je to také kvazi-inverze A.

Möbiovy transformace

Nechat A být konečně-dimenzionální komplex, polojednoduchá unitalská Jordanova algebra. Skupina SL (2,C) jedná Möbiova transformace na Riemannova koule C ∪ {∞} jednobodové zhutnění z C. Li G v SL (2,C) je dán maticí

${ displaystyle displaystyle {g = { begin {pmatrix} alpha & beta gamma & delta end {pmatrix}},}}$

pak

${ displaystyle displaystyle {g (z) = ( alpha z + beta) ( gamma z + delta) ^ {- 1}.}}$

Existuje zobecnění této akce SL (2,C) až A a jeho zhutnění X. Pro definování této akce si povšimněte, že SL (2,C) je generován třemi podskupinami dolní a horní jednotkové trojúhelníkové matice a diagonální matice. Je také generován spodní (nebo horní) jednotkovou trojúhelníkovou maticí, diagonální maticí a maticí

${ displaystyle displaystyle {J = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}}$

Matice J odpovídá Möbiově transformaci j(z) = −z⁻¹ a lze psát

${ displaystyle displaystyle {J = { begin {pmatrix} 1 & 0 - 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 -1 & 1 end {pmatrix}}.}}$

Möbiovy transformace upevňující ∞ jsou pouze horní trojúhelníkové matice. Li G neopraví ∞, pošle ∞ do konečného bodu A. Ale pak G může být složen s horní jednotkou trojúhelníkový k odeslání A na 0 a poté s J poslat 0 do nekonečna.

Pro prvek A z Aakce G v SL (2,C) je definován stejným vzorcem

${ displaystyle displaystyle {g (a) = ( alpha a + beta 1) ( gamma a + delta 1) ^ {- 1}.}}$

To definuje prvek C[A] pokud yA + δ1 je invertibilní v A. Akce je tedy definována všude A -li G je horní trojúhelníkový. Na druhou stranu akce na X je jednoduché definovat pro nižší trojúhelníkové matice.^[12]

• Pro diagonální matice G s diagonálními vstupy α a α⁻¹, G(A,b) = (α²A, α⁻²b) je dobře definovaná holomorfní akce na A² který přechází na kvocient X. Na X₀ = A souhlasí s Möbiovou akcí.
• U nižších unitriangulárních matic s off-diagonálním parametrem γ definujte G(A,b) = (A,b - γ1). Opět je to holomorfní A² a přechází na kvocient X. Když b = 0 a γ ≠ 0,

${ displaystyle displaystyle {g (a: 0) = (a: - gamma) = (a ^ {- gamma}: 0) = (a ( gamma a + 1) ^ {- 1}: 0) }}$

-li yA + 1 je invertibilní, jedná se tedy o rozšíření Möbiovy akce.

• U horních unitriangulárních matic s off-diagonálním parametrem β je akce zapnuta X₀ = (A:0) je definováno G(A,0) = (A + β1). Loos (1977) ukázalo, že to definovalo komplexní tok jednoho parametru A. Odpovídající holomorfní komplexní vektorové pole rozšířeno na X, takže akce na kompaktní komplexní potrubí X lze definovat přidruženým komplexním tokem. Jednodušší metodou je poznamenat, že operátor J lze implementovat přímo pomocí jejích propletených vztahů se skupinou unitární struktury.

Ve skutečnosti na invertibilních prvcích v A, operátor j(A) = −A⁻¹ splňuje j(ga) = (G^t)⁻¹j(A). Definovat biholomorfismus j na X takhle j ∘ G = (G^t)⁻¹ ∘ j, stačí je definovat pro (A:b) na nějaké vhodné oběžné dráze Γ (A) nebo Γ_u(A). Na druhou stranu, jak je uvedeno výše, vzhledem k a Jordan rám (E_i) v E, pro každého A v A tady je k v U = Γ_u(A) takové, že A=k(∑ α_i E_i) s α_i ≥ 0.

Výpočet j v asociativní komutativní algebře A_E je přímočarý, protože se jedná o přímý produkt. Pro C = ∑ α_i E_i a d = ∑ β_i E_i, operátor společnosti Bergman A_E má určující det B(C,d) = ∏ (1 - α_iβ_i)². Zejména det B(C,d - λ) ≠ 0 pro nějaké λ ≠ 0. Takže (C,d) je ekvivalentní k (X, λ). Nechat μ = λ⁻¹. Na A, pro hustou sadu A, dvojice (A, λ) je ekvivalentní k (b,0) s b invertibilní. Pak (−b⁻¹,0) je ekvivalentní k (μ - μ²A, μ). Od té doby A ↦ μ - μ²A je holomorfní, z toho vyplývá j má jedinečné nepřetržité rozšíření do X takhle j ∘ G = (G^t)⁻¹ ∘ j pro G v Γ (A), rozšíření je holomorfní a pro λ ≠ 0, μ = λ⁻¹

Holomorfní transformace odpovídající horní jednotce trojúhelníkové matice lze definovat pomocí skutečnosti, že jsou konjugáty J dolních unitriangulárních matic, pro které je akce již známá. Přímá algebraická konstrukce je uvedena v Dineen, Mackey & Mellon (1999).

Tato akce SL (2,C) je kompatibilní s inkluzí. Obecněji, pokud E₁, ..., E_m je rám Jordan, tam je akce SL (2,C)^m na A_E který sahá do A. Li C = ∑ γ_iE_i a b = ∑ β_iE_i, pak S(C) a T(b) dát působení produktu dolní a horní jednotkové trojúhelníkové matice. Li A = ∑ α_iE_i je invertibilní, odpovídající součin diagonálních matic funguje jako Ž = Q(A).^[13] Zejména úhlopříčné matice poskytují akci (C*)^m a T^m.

Skupina holomorfní symetrie

Nechat A být konečně-dimenzionální komplex, polojednoduchá unitalská Jordanova algebra. Existuje přechodné holomorfní působení skupiny komplexní matice G na kompaktním komplexním potrubí X. Koecher (1967) popsáno G analogicky k SL (2,C) z hlediska generátorů a vztahů. G působí na odpovídající konečně-dimenzionální Lieovu algebru holomorfních vektorových polí omezených na X₀ = A, aby G je realizována jako uzavřená maticová skupina. Jedná se o komplexizaci kompaktní Lieovy skupiny bez středu, tedy polojednoduché algebraické skupiny. Komponenta identity H kompaktní skupiny působí přechodně na X, aby X lze identifikovat jako Hermitovský symetrický prostor kompaktního typu.^[14]

Skupina G je generován třemi typy holomorfní transformace na X:

• Operátoři Ž odpovídající prvkům Ž v Γ (A) dána Ž(A,b) = (Wa, (Ž^t)⁻¹b). Ty již byly popsány výše. Na X₀ = A, jsou dány A ↦ Wa.
• Operátoři S_C definován S_C(A,b) = (A,b + C). Jedná se o analogu nižších unitriangulárních matic a tvoří podskupinu isomorfní s aditivní skupinou A, s danou parametrizací. Tito zase působí holomorfně A² a akce přechází do kvocientu X. Na A akce je dána A ↦ A^C -li (A,C) je kvazi-invertibilní.
• Transformace j souhlasí s J v SL (2,C). Byl postaven výše jako součást akce PSL (2,C) = SL (2,C) / {± I} zapnuto X. Na invertibilních prvcích v A je to dáno A ↦ −A⁻¹.

Provozovatelé Ž normalizovat skupinu operátorů S_C. Podobně operátor j normalizuje strukturu skupiny, j ∘ Ž = (Ž^t)⁻¹ ∘ j. Provozovatelé T_C = j ∘ S_−C ∘ j také tvoří skupinu holomorfních transformací isomorfních k aditivní skupině A. Zobecňují horní jednotku trojúhelníkovou podskupinu SL (2,C). Tato skupina je normalizována operátory Ž skupiny struktur. Operátor T_C jedná A tak jako A ↦ A + C. Li C je skalární operátory S_C a T_C se shodují s operátory odpovídajícími dolní a horní jednotkové trojúhelníkové matice v SL (2,C). Proto existuje vztah j = S₁ ∘ T₁ ∘ S₁ a PSL (2,C) je podskupina G. Loos (1977) definuje operátory T_C pokud jde o tok spojený s holomorfním vektorovým polem na X, zatímco Dineen, Mackey & Mellon (1999) uveďte přímý algebraický popis.

Vskutku, S_bT_A(0:0) = (A:b).

Nechat G₋₁ a G₊₁ být komplexní abelianské skupiny tvořené symetriemi T_C a S_C resp. Nechat G₀ = Γ (A).

Dva výrazy pro G jsou ekvivalentní následovně konjugací pomocí j.

Pro A invertibilní, identitu Hua lze přepsat

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a) = T_ {a} Circ j Circ T_ {a ^ {- 1}} Circ j Circ T_ {a} Circ j.}}$

Navíc, j = S₁ ∘ T₁ ∘ S₁ aS_C = j ∘ T_−C ∘ j.^[15]

Vztahy konviance ukazují, že prvky G spadnout do sadG₀G₁, G₀G₁jG₁, G₀G₁jG₁jG₁, G₀G₁jG₁jG₁jG₁. ... první výraz pro G následuje, jakmile se zjistí, že se ve čtvrté nebo následujících sadách neobjeví žádné nové prvky. K tomu stačí ukázat^[16]

j ∘ G₁ ∘j ∘ G₁ ∘j ⊆ G₀ G₁ ∘j ∘ G₁ ∘ j ∘ G₁.

Pokud tedy nastanou tři nebo více výskytů j, počet lze rekurzivně snížit na dva. Dáno A, b v A, vybrat λ ≠ 0 aby C = A - λ a d = b - λ⁻¹ jsou invertibilní. Pak

${ displaystyle displaystyle {jT_ {a} jT_ {b} j = jT_ {c} T _ { lambda} jT _ { lambda ^ {- 1}} T_ {d} circ j = lambda ^ {2} jT_ {c} jT _ {- lambda} jT_ {d} j = lambda ^ {2} T _ {- c ^ {- 1}} jQ (c ^ {- 1}) T _ {- c ^ {- 1} - lambda -d ^ {- 1}} jQ (d ^ {- 1}) jT _ {- d ^ {- 1}},}}$

který leží v G₀G₁ ∘ j ∘ G₁ ∘ j ∘ G₁.

Stačí zkontrolovat, zda-li S_AT_b(0:0) = (0:0), pak b = 0. Pokud ano (b:0) = (0: −A) = (0:0), tak b = 0.

Výměnné vztahy

Pro A invertibilní, identitu Hua lze přepsat

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = T_ {a} Circ j Circ T_ {a ^ {- 1}} Circ j Circ T_ {a} Circ j.}}$

Od té doby j = S₁ ∘ T₁ ∘ S₁, operátoři Q(A) patří do skupiny generované G_±1.^[17]

Pro kvazi-invertibilní páry (A,b), existují "výměnné vztahy"^[18]

Tato identita to ukazuje B(A,b) je ve skupině generované uživatelem G_±1. Vezmeme-li inverze, je to ekvivalent k identitě T_AS_b = S_b^AB(A,b)T_A^b.

K prokázání směnných vztahů stačí zkontrolovat, zda je platný, když je aplikován na body hustou sadu bodů (C:0) v X pro který (A+C,b) je kvazi-invertibilní. Potom se redukuje na identitu:

Ve skutečnosti, pokud (A,b) je tedy kvazi-invertibilní (A + C,b) je kvazi-invertibilní právě tehdy (C,b^A) je kvazi-invertibilní. To následuje, protože (X,y) je kvazi-invertibilní právě tehdy (y,X) je. V tomto případě navíc platí výše uvedený vzorec.

Pro důkaz jsou vyžadovány další dvě identity:

${ displaystyle displaystyle {B (c + b, a) = B (c, a ^ {b}) B (b, a)}}$

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = R (a ^ {b}, b-Q (b) a) = R (a-Q (a) b, b ^ {a})}}$

První vyplývá z předchozí identity použitím transpozice. Zadruhé, kvůli transpozici, stačí prokázat první rovnost. Nastavení C = b − Q(b)A v identitě B(A,b)R(A^b,C) =R(A,C) − Q(A)Q(b,C) výnosy

B(A,b)R(A^b,b − Q(b)C) = B(A,b)R(A,b),

identita tedy následuje zrušením B(A,b).

Abychom dokázali vzorec, vztahy (A + C)^b = B(A,C)⁻¹(A + C − Q(A + C)b)a A^b + B(A,b)⁻¹C^(bA) = B(A + C,b)⁻¹(B(C,b^A) (A − Q(A)b) + C − Q(C)b^A) ukázat, že to stačí dokázat

A + C − Q(A + C)b = B(C,b^A) (A − Q(A)b) + C − Q(C)b^A.

Vskutku, B(C,b^A) (A − Q(A)b) + C − Q(C)b^A = A + C − Q(A)b + 2R(C,b^A)(A − Q(A)b) − Q(C)[ b^A − Q(b^A)(A − Q(A)b)]. Na druhou stranu, 2R(C,b^A)(A − Q(A)b) = 2R(C,A − Q(A)b)b^A = R(A,b)C = 2Q(A,C)b a b^A − Q(b^A)(A − Q(A)b) = b^A − Q(b)B(A,b)⁻¹(A − Q(A)b) = b^A − Q(b)A^b = b. Tak B(C,b^A) (A − Q(A)b) + C − Q(C)b^A = A + C − Q(A)b − 2Q(A,C)b − Q(C)b = A + C − Q(A + C)b.

Nyní nastaveno Ω = G₊₁G₀G₋₁. Pak to směnné vztahy naznačují S_b T_A leží v Ω kdyby a jen kdyby (A,b) je kvazi-invertibilní; a to G leží v Ω kdyby a jen kdyby G(0:0) je v X₀.^[19]

Ve skutečnosti, pokud S_b T_A leží v Ω, pak (A,b) je ekvivalentní k (X,0), takže je to kvazi-invertibilní pár; konverzace vyplývá ze směnných vztahů. Jasně Ω (0: 0) = G₁(0:0) = X₀. Konverzace vyplývá z G = G₋₁G₁ G₀G₋₁ a kritérium pro S_b T_A ležet Ω.

Leží algebra holomorfních vektorových polí

Kompaktní komplexní potrubí X je modelován v prostoru A. Deriváty přechodových map popisují tangenciální svazek holomorfní přechodové funkce F_{před naším letopočtem}:X_b ∩ X_C → GL (A). Ty jsou dány F_{před naším letopočtem}(A,b) = B(A,b − C), takže strukturní skupina odpovídajících hlavní svazek vláken snižuje na Γ (A), skupina struktury A.^[20] Odpovídající holomorfní vektorový svazek s vlákny A je tečný svazek komplexního potrubí X. Jeho holomorfní sekce jsou pouze holomorfní vektorová pole X. Mohou být určeny přímo pomocí skutečnosti, že musí být invariantní při přirozeném adjunkčním působení známých holomorfních symetrií X. Tvoří konečně-dimenzionální komplexní polojednodušou Lieovu algebru. Omezení těchto vektorových polí na X₀ lze popsat výslovně. Přímým důsledkem tohoto popisu je, že Lieova algebra je třístupňová a že skupina holomorfních symetrií X, popsané generátory a vztahy v Koecher (1967) a Loos (1979), je komplexní lineární polojednoduchá algebraická skupina, která se shoduje se skupinou biholomorfismů X.

Lieovy algebry tří podskupin holomorfních automorfismů X dát vzniknout lineárním prostorům holomorfních vektorových polí na X a tudíž X₀ = A.

• Skupina struktury Γ (A) má Lieovu algebru ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ operátory R(X,y). Ty definují komplexní Lieovu algebru lineární vektorová pole A ↦ R(X,y)A na A.
• Překladatelé jednají A tak jako T_C(A) = A + C. Odpovídající podskupiny s jedním parametrem jsou dány vztahem T_tc a odpovídají konstantní vektorová pole A ↦ C. Ty dávají algebru Abelianovy lži ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {- 1}}$ vektorových polí na A.
• Provozovatelé S_C definováno dne X podle S_C(A,b) = (A,b − C). Odpovídající skupiny s jedním parametrem S_tc definovat kvadratická vektorová pole A ↦ Q(A)C na A. Ty dávají algebru Abelianovy lži ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ vektorových polí na A.

Nechat

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {- 1} oplus { mathfrak {g}} _ {0} oplus { mathfrak {g}} _ { 1}.}}$

Pak definování ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {i} = (0)}$ pro i ≠ −1, 0, 1, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ tvoří komplexní Lieovu algebru s

${ displaystyle displaystyle {[{ mathfrak {g}} _ {p}, { mathfrak {g}} _ {q}] subseteq { mathfrak {g}} _ {p + q}}.}$

To dává strukturu a Třístupňová Lieova algebra. Pro prvky (A,T,b) v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, Lieova závorka je dána vztahem

${ displaystyle displaystyle {[(a_ {1}, T_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, T_ {2}, b_ {2})] = = T_ {1} a_ {2 } -T_ {2} a_ {1}, [T_ {1}, T_ {2}] + R (a_ {1}, b_ {2}) - R (a_ {2}, b_ {1}), T_ {2} ^ {t} b_ {1} -T_ {1} ^ {t} b_ {2})}}$

Skupina PSL (2,C) Möbiových transformací X normalizuje Lieovu algebru ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Transformace j(z) = −z⁻¹ odpovídající prvku skupiny Weyl J indukuje involutivní automorfismus σ dána