Alexiewiczova norma - Alexiewicz norm - Wikipedia

v matematika - konkrétně v teorie integrace - Alexiewiczova norma je integrál norma spojené s Henstock – Kurzweil integrální. Norma Alexiewicz mění prostor integrovatelných funkcí Henstock – Kurzweil na a topologický vektorový prostor to je sudový ale ne kompletní. Alexiewiczova norma je pojmenována po polština matematik Andrzej Alexiewicz, který ji představil v roce 1948.

Definice

Nechť HK (R) označuje prostor všech funkcí F: R → R které mají konečný integrál Henstock – Kurzweil. Definujte Alexiewiczova polonorma z F ∈ HK (R) od

${ displaystyle | f |: = sup left { left | int _ {I} f right |: I subseteq mathbb {R} { text {je interval}} right }.}$

To definuje a polořadovka na HK (R); pokud jsou funkce stejné Lebesgue -téměř všude jsou identifikovány, pak tento postup definuje a v dobré víře norma na kvocient HK (R) podle vztah ekvivalence rovnosti téměř všude. (Všimněte si, že jediná konstantní funkce F: R → R který je integrovatelný, je ten s konstantní hodnotou nula.)

Vlastnosti

• Alexiewiczova norma uděluje HK (R) s topologií, která je hlavní, ale neúplná.
• Alexiewiczova norma, jak je definována výše, je ekvivalent k normě definované

${ displaystyle | f | ': = sup _ {x in mathbb {R}} vlevo | int _ {- infty} ^ {x} f vpravo |.}$

• The dokončení HK (R) s ohledem na Alexiewiczovu normu se často označuje A (R) a je podprostorem prostoru temperované distribuce, duální z Schwartzův prostor. Přesněji A (R) se skládá z těch temperovaných distribucí, které jsou distribuční deriváty funkcí ve sbírce

${ displaystyle left {F colon mathbb {R} to mathbb {R} , left | , F { text {je spojitý,}} lim _ {x to - infty} F (x) = 0, lim _ {x to + infty} F (x) v mathbb {R} vpravo. Vpravo }.}$

Proto pokud F ∈ A (R), pak F je temperované rozdělení a existuje spojitá funkce F ve výše uvedené sbírce takové, že

${ displaystyle langle F ', varphi rangle = - langle F, varphi' rangle = - int _ {- infty} ^ {+ infty} F varphi '= langle f, varphi rangle}$

pro každého kompaktně podporováno C^∞ testovací funkce φ: R → R. V tomto případě to platí

${ displaystyle | f | '= sup _ {x in mathbb {R}} | F (x) | = | F | _ { infty}.}$

• Překladatel je spojitý s ohledem na Alexiewiczovu normu. To je, pokud pro F ∈ HK (R) a X ∈ R překlad T_XF z F podle X je definováno

${ displaystyle (T_ {x} f) (y): = f (y-x),}$

pak

${ displaystyle | T_ {x} f-f | na 0 { text {as}} x na 0.}$

Reference

• Alexiewicz, Andrzej (1948). "Lineární funkcionály na integrovatelných funkcích Denjoy". Matematika kolokvia. 1: 289–293. PAN  0030120.
• Talvila, Erik (2006). „Kontinuita v Alexiewiczově normě“. Matematika. Bohem. 131 (2): 189–196. ISSN  0862-7959. PAN  2242844.