Vyvážený modul - Balanced module
V podpole z abstraktní algebra známý jako teorie modulů, právo R modul M se nazývá a vyvážený modul (nebo se o něm říká, že vlastnost dvojitého centralizátoru) pokud každý endomorfismus skupiny abelianů M který dojíždí se všemi R-endomorfismy M je dáno vynásobením prstencovým prvkem. Výslovně pro jakoukoli přísadu endomorfismus F, pokud fg = gf pro každého R endomorfismus G, pak existuje r v R takhle F(X) = xr pro všechny X v M. V případě nevyvážených modulů bude takový F to není takto vyjádřitelné.
V jazyce centralizátorů je vyvážený modul uspokojivým závěrem věta o dvojitém centralizátoru, tj. jediné endomorfismy skupiny M dojíždění se všemi R endomorfismy M jsou ty, které jsou indukovány správným množením prstencovými prvky.
Prsten se volá vyrovnaný pokud je v pořádku R modul je vyvážený.[1] Ukazuje se, že vyvážení je na prstencích symetrická podmínka zleva doprava, a není tedy nutné ji předponovat „vlevo“ nebo „vpravo“.
Studium vyvážených modulů a prstenů je výsledkem studia QF-1 zvoní podle C.J. Nesbitt a R. M. Thrall. Tato studie pokračovala v V. P. Camillo disertační práce a později se plně rozvinula. Papír (Dlab & Ringel 1972 ) poskytuje obzvláště široký pohled s mnoha příklady. Kromě těchto referencí K. Morita a H. Tachikawa také přispěli publikovanými a nepublikovanými výsledky. Částečný seznam autorů, kteří přispívají k teorii vyvážených modulů a kruhů, lze najít v referencích.
Příklady a vlastnosti
- Příklady
- Půlkruhy jsou vyvážené.[2]
- Každé nenulové právo ideál přes jednoduchý prsten je vyvážený.[3]
- Každý věrný modul přes kvazi-Frobeniova prsten je vyvážený.[4]
- The věta o dvojitém centralizátoru pro pravé Artinian prsteny uvádí, že jakýkoli jednoduchý že jo R modul je vyvážený.
- Papír (Dlab & Ringel 1972 ) obsahuje řadu konstrukcí nevyvážených modulů.
- Byla založena v (Nesbitt & Thrall 1946 ) že uniserial kroužky jsou vyvážené. Naopak vyvážený prsten, který je definitivně generováno jako modul přes jeho centrum je nereálný.[5]
- Mezi komutativními prsteny Artinian jsou vyvážené prsteny přesně kvazi-Frobeniovy prsteny.[6]
- Vlastnosti
- Být „vyvážený“ je kategorická vlastnost pro moduly, to znamená, že je konzervován Morita ekvivalence. Výslovně, pokud F(-) je Morita ekvivalent z kategorie R moduly do kategorie S moduly, a pokud M je tedy vyvážený F(M) je vyvážený.
- Struktura vyvážených prstenů je také zcela určena v (Dlab & Ringel 1972 ) a je uvedeno v (Faith 1999, s. 222–224).
- S ohledem na poslední bod je vlastnost vyváženého prstence vlastnost Morita neměnná.
- Otázka, které prsteny všechny konečně vygenerovaly správně R moduly vyvážené již bylo zodpovězeno. Ukázalo se, že tato podmínka je ekvivalentní prstenu R být vyvážený.[7]
Poznámky
- ^ Definice vyvážených prstenů a modulů se objevují v (Camillo 1970 ), (Cunningham & Rutter 1972 ), (Dlab & Ringel 1972 ), a (Faith 1999 ).
- ^ Bourbaki 1973, §5, č. 4, Corrolaire 2.
- ^ Lam 2001, str.37.
- ^ Camillo & Fuller 1972.
- ^ Faith 1999, str. 223.
- ^ Camillo 1970 Věta 21.
- ^ Dlab & Ringel 1972.
Reference
- Camillo, Victor P. (1970), „Vyvážené prsteny a problém Thralla“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 149: 143–153, doi:10.1090 / s0002-9947-1970-0260794-0, ISSN 0002-9947, PAN 0260794
- Bourbaki, Nicolas (1973), Algébre, Ch. 8: Moduly et Anneaux Semi-Simples, str. 50, ISBN 978-2-7056-1261-0
- Camillo, V. P .; Fuller, K. R. (1972), "Balanced and QF-1 algebras", Proc. Amer. Matematika. Soc., 34 (2): 373–378, doi:10.1090 / s0002-9939-1972-0306256-0, ISSN 0002-9939, PAN 0306256
- Cunningham, R. S .; Rutter, E. A., Jr. (1972), „Vlastnost dvojitého centralizátoru je kategorická“, Rocky Mountain J. Math., 2 (4): 627–629, doi:10.1216 / rmj-1972-2-4-627, ISSN 0035-7596, PAN 0310017
- Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972), „Prsteny s vlastností dvojitého centralizátoru“, J. Algebra, 22 (3): 480–501, doi:10.1016/0021-8693(72)90163-9, ISSN 0021-8693, PAN 0306258
- Faith, Carl (1999), Kroužky a věci a jemná škála asociativní algebry dvacátého stoletíMatematické průzkumy a monografie 65, Providence, RI: American Mathematical Society, str. Xxxiv + 422, ISBN 0-8218-0993-8, PAN 1657671
- Lam, T. Y. (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. Xx + 385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, PAN 1838439
- Nesbitt, C. J .; Thrall, R. M. (1946), „Některé prstencové věty s aplikacemi na modulární reprezentace“, Ann. matematiky., 2, 47 (3): 551–567, doi:10.2307/1969092, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969092, PAN 0016760