Hadové lemma - Snake lemma

The hadí lemma je nástroj používaný v matematika, zejména homologická algebra, konstruovat dlouhé přesné sekvence. Hadové lemma platí ve všech abelianská kategorie a je klíčovým nástrojem v homologické algebře a jejích aplikacích, například v algebraická topologie. Homomorfismy konstruované s jeho pomocí se obecně nazývají spojující homomorfismy.

Prohlášení

V abelianská kategorie (například kategorie abelianské skupiny nebo kategorie vektorové prostory nad daným pole ), zvažte a komutativní diagram:

kde jsou řádky přesné sekvence a 0 je nulový objekt.

Pak existuje přesná sekvence týkající se jádra a jádra z A, b, a C:

${ displaystyle ker a ~ { color {šedá} longrightarrow} ~ ker b ~ { color {šedá} longrightarrow} ~ ker c ~ ​​{ overset {d} { longrightarrow}} ~ operatorname { coker} a ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {coker} b ~ { color {Gray} longrightarrow} ~ operatorname {coker} c}$

kde d je homomorfismus, známý jako spojující homomorfismus.

Dále pokud morfismus F je monomorfismus, stejně tak morfismus ${ displaystyle operatorname {ker} a ~ { color {šedá} longrightarrow} ~ operatorname {ker} b}$, a pokud G' je epimorfismus, pak také je ${ displaystyle operatorname {coker} b ~ { color {šedá} longrightarrow} ~ operatorname {coker} c}$.

Zde jsou tato jádra: ${ displaystyle operatorname {coker} a = A '/ operatorname {im} a, operatorname {coker} b = B' / operatorname {im} b, operatorname {coker} c = C '/ operatorname { im} c.}$

Vysvětlení názvu

Chcete-li zjistit, kde má hadí lemma svůj název, rozbalte výše uvedený diagram takto:

a pak si povšimněte, že přesnou posloupnost, která je závěrem lemmatu, lze nakreslit na tomto rozšířeném diagramu v obráceném tvaru „S“ klouzání had.

Konstrukce map

Mapy mezi jádry a mapy mezi jádry jsou přirozeně vyvolávány danými (horizontálními) mapami kvůli komutativitě diagramu. Přesnost dvou indukovaných sekvencí přímo vychází z přesnosti řádků původního diagramu. Důležité tvrzení o lemmatu je, že a spojující homomorfismus d existuje, která dokončí přesnou sekvenci.

V případě abelianských skupin nebo moduly přes některé prsten, mapa d lze zkonstruovat následovně:

Vyberte prvek X v kerC a zobrazit to jako prvek C; od té doby G je surjektivní, tady existuje y v B s G(y) = X. Kvůli komutativitě diagramu máme G'(b(y)) = C(G(y)) = C(X) = 0 (od X je v jádře C), a proto b(y) je v jádře G' . Protože spodní řádek je přesný, najdeme prvek z v A' s F '(z) = b(y). z je jedinečný injektivitou F '. Poté definujeme d(X) = z + im(A). Nyní je třeba to zkontrolovat d je dobře definovaná (tj. d(X) záleží pouze na X a ne na výběr y), že se jedná o homomorfismus a že výsledná dlouhá sekvence je skutečně přesná. Přesnost lze rutinně ověřit pomocí pronásledování diagramu (viz důkaz Lemmy 9.1 v ^[1]).

Jakmile je hotovo, věta je dokázána pro abelianské skupiny nebo moduly přes kruh. Obecně lze argument přeformulovat z hlediska vlastností šipek a zrušení namísto prvků. Alternativně lze vyvolat Mitchellova věta o vložení.

Přirozenost

V aplikacích je často třeba ukázat, že dlouhé přesné sekvence jsou „přirozené“ (ve smyslu přirozené transformace ). To vyplývá z přirozenosti sekvence produkované hadím lemmatem.

Li

je komutativní diagram s přesnými řádky, pak lze hadí lemma použít dvakrát, na „přední“ a na „zadní“, čímž se získá dvě dlouhé přesné sekvence; ty jsou spojeny komutativním diagramem formuláře

V populární kultuře

Důkaz hadího lemmatu učí Jill Clayburgh postava na samém začátku filmu z roku 1980 Jsem na řadě.^[2]

Viz také

• Cik-cak lemma

Reference

• Serge Lang: Algebra. 3. vydání, Springer 2002, ISBN  978-0-387-95385-4, str. 157–159 (online kopie, str. 157, v Knihy Google )
• M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Úvod do komutativní algebry. Oxford 1969, Addison – Wesley Publishing Company, Inc. ISBN  0-201-00361-9.
• P. Hilton; U. Stammbach: Kurz homologické algebry. 2. Auflage, Springer Verlag, Postgraduální texty z matematiky, 1997, ISBN  0-387-94823-6, str. 99 (online kopie, str. 99, v Knihy Google )

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Snake Lemma". MathWorld.
• Had Lemma na PlanetMath
• Důkaz hadí lemma ve filmu Jsem na řadě