Podvod Eilenberg – Mazur - Eilenberg–Mazur swindle

v matematika, Podvod Eilenberg – Mazur, pojmenoval podle Samuel Eilenberg a Barry Mazur, je důkazní metoda, která zahrnuje paradoxní vlastnosti nekonečných součtů. v geometrická topologie bylo zavedeno Mazur  (1959, 1961 ) a je často nazýván Mazur podvod. V algebře ji zavedl Samuel Eilenberg a je známá jako Eilenbergův podvod nebo Eilenbergův dalekohled (vidět teleskopická částka ).

Podvod Eilenberg – Mazur je podobný následujícímu známému vtipnému „důkazu“, že 1 = 0:

1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0

Tento „důkaz“ není platný jako tvrzení o reálných číslech, protože Grandiho série 1 − 1 + 1 − 1 + ... nekonverguje, ale analogický argument lze použít v některých kontextech, kde je u některých objektů definován jakýsi „doplněk“, pro který mají nekonečné součty smysl, což ukazuje, že pokud A + B = 0 tedy A = B = 0.

Mazur podvod

V geometrické topologii je přídavek použitý v podvodu obvykle připojená suma z uzly nebo rozdělovače.

Příklad (Rolfsen 1990, kapitola 4B): Typická aplikace Mazur podvod v geometrické topologii je důkaz, že součet ze dvou netriviální uzly A a B není triviální. U uzlů je možné vzít nekonečné součty tím, že se uzly zmenší a zmenší, takže pokud A + B je potom triviální

tak A je triviální (a B podobným argumentem). Nekonečný součet uzlů je obvykle a divoký uzel, ne a krotký uzel.Viz (Poénaru 2007 ) pro další geometrické příklady.

Příklad: Orientovaný n-manifolds mají operaci sčítání danou spojeným součtem, s 0 the n-koule. Li A + B je n-takže koule A + B + A + B + ... je euklidovský prostor, takže mazurský podvod ukazuje, že připojený součet A a euklidovský prostor je euklidovský prostor, což ukazuje A je 1-bodové zhutnění euklidovského prostoru, a proto A je homeomorfní vůči n-koule. (U hladkých potrubí to neukazuje A je difeomorfní vůči n-sphere a v některých dimenzích, například 7, existují příklady exotické sféry A s inverzemi, které nejsou odlišné od standardu n-koule.)

Eilenbergův podvod

V algebře je přídavek použitý v podvodu obvykle přímým součtem moduly přes prsten.

Příklad: Typická aplikace Eilenbergův podvod v algebře je důkaz, že pokud A je projektivní modul přes prsten R pak je tu bezplatný modul F s A ⊕ F ≅ F.[1] Chcete-li to vidět, vyberte modul B takhle A ⊕ B je zdarma, což lze provést jako A je projektivní a řečeno

F = B ⊕ A ⊕ B ⊕ A ⊕ B ⊕ ....

aby

A ⊕ F = A ⊕ (B ⊕ A) ⊕ (B ⊕ A) ⊕ ... = (A ⊕ B) ⊕ (A ⊕ B) ⊕ ... ≅ F.

Příklad: (Eisenbud 1995, str.121) Konečně generované volné moduly přes komutativní kruhy R mají dobře definované přirozené číslo jako svou dimenzi, která je aditivní pod přímými součty, a jsou izomorfní právě tehdy, pokud mají stejnou dimenzi. To je u některých nekomutativních prstenců falešné a protiklad lze vytvořit pomocí Eilenbergova podvodu následujícím způsobem . Nechat X být abelianskou skupinou takovou X ≅ X ⊕ X (například přímý součet nekonečného počtu kopií jakékoli nenulové abelianské skupiny), a let R být prstenem endomorfismu z X. Pak doleva R-modul R je izomorfní vlevo R-modul R ⊕ R.

Příklad: (Lam 2003, Cvičení 8.16) Pokud A a B jsou libovolné skupiny, pak může být Eilenbergův podvod použit k vytvoření prstenu R tak, že skupina zazvoní R[A] a R[B] jsou izomorfní kruhy: vezměte R být skupinovým kruhem omezeného přímého produktu nekonečně mnoha kopií A ⨯ B.

Další příklady

Důkaz Cantor – Bernstein – Schroederova věta lze považovat za předchůdce podvodu Eilenberg – Mazur. Ve skutečnosti jsou myšlenky docela podobné. Pokud existují injekce sad z X na Y a od Y na X, to znamená, že formálně máme X=Y+A a Y=X+B u některých sad A a B, kde + znamená disjunktní spojení a = znamená, že mezi dvěma sadami existuje bijekce. Rozšíření prvního s druhým

X = X + A + B.

V této bijekce dovolte Z se skládají z těch prvků na levé straně, které odpovídají prvku z X na pravé straně. Tato bijekce pak expanduje do bijekce

X = A + B + A + B + ... + Z.

Střídání pravé strany pro X v Y = B + X dává bijection

Y = B + A + B + A + ... + Z.

Přepínání každého sousedního páru B + A výnosy

Y = A + B + A + B + ... + Z.

Skládání bijekce pro X s inverzí bijekce pro Y pak výnosy

X = Y.

Tento argument závisel na bijekcích A + B = B + A a A + (B + C) = (A + B) + C stejně jako dobře definovaná nekonečná disjunktní unie.

Poznámky

  1. ^ Lam (1999), Důsledek 2.7, str. 22; Eklof & Mekler (2002), Lemma 2.3, p. 9.

Reference

  • Bass, Hyman (1963), „Velké projektivní moduly jsou zdarma“, Illinois Journal of Mathematics, 7: 24–31, doi:10.1215 / ijm / 1255637479, PAN  0143789
  • Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, New York: Springer-Verlag, str. Xvi + 785, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  0-387-94268-8, PAN  1322960
  • Eklof, Paul C .; Mekler, Alan H. (2002), Téměř bezplatné moduly: teoreticko-teoretické modely, Elsevier, ISBN  0-444-50492-3
  • Lam, Tsit-Yuen (2003), Cvičení z teorie klasického prstenu, New York, NY: Springer, ISBN  978-0-387-00500-3
  • Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcíchSpringer, ISBN  0-387-98428-3
  • Mazur, Barry (1959), „O struktuře určitých poloskupin tříd sférických uzlů“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 3: 19–27, doi:10.1007 / bf02684388, PAN  0116347
  • Mazur, Barry C. (1961), „O vložení koulí“, Acta Mathematica, 105 (1–2): 1–17, doi:10.1007 / BF02559532, PAN  0125570
  • Poénaru, Valentine (2007), „Co je ... nekonečný podvod?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 54 (5): 619–622, PAN  2311984
  • Rolfsen, Dale (1990), Uzly a odkazy. Opravený dotisk originálu z roku 1976., Matematická přednášková série, 7, Houston, TX: Publish nebo Perish, Inc., str. Xiv + 439, ISBN  0-914098-16-0, PAN  1277811

externí odkazy