Ideální - Fitting ideal

v komutativní algebra, Vhodné ideály a konečně generovaný modul přes komutativní prsten popsat překážky generování modulu daným počtem prvků. Byli představeni Hans Fitting  (1936 ).

Definice

Li M je konečně generovaný modul přes komutativní kruh R generované prvky m₁,...,m_nse vztahy

${ displaystyle a_ {j1} m_ {1} + cdots + a_ {jn} m_ {n} = 0 ({ text {pro}} j = 1,2, tečky) ,}$

pak ith Fitting ideal Fitt_i(M) z M je generováno nezletilými (determinanty submatic) řádu n − i matice A_jk. Ideální ideály nezávisí na výběru generátorů a vztazích M.

Někteří autoři definovali Fitting ideál Já(M) být první nenulovou Fitting ideální Fitt_i(M).

Vlastnosti

Ideální ideály se zvyšují

Fitt₀(M) ⊆ Fitt₁(M) ⊆ Fitt₂(M) ...

Li M lze generovat pomocí n prvky pak Fitt_n(M) = R, a pokud R je místní konverzace drží. Máme Fitta₀(M) ⊆ Ann (M) (zničeníM) a Ann (M) Fitt_i(M) ⊆ Fitt_i−1(M), zejména pokud M lze generovat pomocí n prvky pak Ann (M)ⁿ ⊆ Fitt₀(M).

Příklady

Li M je bez hodnosti n pak Fitting ideuje Fitta_i(M) jsou nula pro i<n a R proi ≥ n.

Li M je konečná abelianská skupina řádu |M| (považováno za modul přes celá čísla), pak Fitting ideal Fitt₀(M) je ideální (|M|).

The Alexanderův polynom uzlu je generátor Fitting ideálu první homologie nekonečného abelianského krytu uzlového doplňku.

Přizpůsobivý obrázek

Nultý Fitting ideální lze použít také k definici schématicko-teoretického obrazu morfismů, který se v rodinách chová dobře. Vzhledem k morfismu schémat ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$, Přizpůsobivý obrázek z F je definován jako uzavřený podsystém spojený s svazkem ideálů ${ displaystyle Fitt_ {0} (f _ {*} { mathcal {O}} _ {X})}$, kde ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}$ je viděn jako ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$-modul prostřednictvím kanonického morfismu ${ displaystyle f ^ { #}}$.

Reference

• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Fitting, Hans (1936), „Die Determinantenideale eines Modules“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 46: 195–228, ISSN  0012-0456
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), "Třída pole abelian rozšíření Q", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 179–330, doi:10.1007 / BF01388599, ISSN  0020-9910, PAN  0742853
• Northcott, D. G. (1976), Konečné bezplatné rozlišení, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-60487-1, PAN  0460383