Hlavní nerozložitelný modul - Principal indecomposable module

v matematika, zejména v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie modulů, a hlavní nerozložitelný modul má mnoho důležitých vztahů ke studiu a prsten je moduly, zejména jeho jednoduché moduly, projektivní moduly, a nerozložitelné moduly.

Definice

A (vlevo) hlavní nerozložitelný modul prstenu R je (vlevo) submodul z R to je přímý součet z R a je nerozložitelný modul. Alternativně je to nerozložitelný, projektivní, cyklický modul. Také se nazývají hlavní nerozložené moduly PIMs krátce.

Vztahy

Projektivní nerozložitelné moduly na některých prstencích mají velmi úzké spojení s jednoduchými, projektivními a nerozložitelnými moduly těchto prstenů.

Pokud prsten R je Artinian nebo dokonce semiperfect, pak R je přímý součet hlavních nerozložitelných modulů a existuje jedna třída izomorfismu PIM na třídu izomorfismu jednoduchého modulu. Každému PIM P je spojen s jeho hlava, P/JP, což je jednoduchý modul, který je nerozložitelným semi-jednoduchým modulem. Ke každému jednoduchému modulu S je spojen s jeho projektivní kryt P, což je PIM, který je nerozložitelným, projektivním, cyklickým modulem.

Podobně nad a semiperfektní prsten, každý nerozložitelný projektivní modul je PIM a každý konečně generovaný projektivní modul je přímým součtem PIM.

V kontextu skupinové algebry z konečné skupiny přes pole (což jsou semiperfektní prsteny), reprezentační prsten popisuje nerozložitelné moduly a modulární znaky jednoduchých modulů představuje podřízený i kvocientový kruh. Reprezentační kruh nad komplexním polem je obvykle lépe pochopen a protože PIM odpovídají modulům v komplexech, které používají p- modulární systém, lze použít PIM k přenosu informací z komplexního reprezentačního kruhu do reprezentačního kruhu přes pole pozitivní charakteristiky. Zhruba se tomu říká bloková teorie.

Přes Dedekind doména to není PID, ideální třídní skupina měří rozdíl mezi projektivními nerozložitelnými moduly a hlavními nerozložitelnými moduly: projektivní nerozložitelné moduly jsou přesně (nenulové izomorfní) ideály a hlavní nerozložené moduly jsou přesně (nizomorfní) nenulové hlavní ideály.

Reference

• Alperin, J. L. (1986), Teorie místního zastoupení, Cambridge studia pokročilé matematiky, 11, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-30660-7, PAN  0860771
• Benson, D. J. (1984), Teorie modulárního znázornění: nové trendy a metodyPřednášky z matematiky, 1081, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13389-6, PAN  0765858
• No tak, Waltere (1982), Teorie reprezentace konečných grupMatematická knihovna v Severním Holandsku, 25, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  978-0-444-86155-9, PAN  0661045
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebry, prsteny a moduly. Sv. 1, Matematika a její aplikace, 575, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-2690-4, PAN  2106764
• Landrock, P. (1983), Algebry konečné skupiny a jejich moduly, Série přednášek London Mathematical Society, 84, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-27487-6, PAN  0737910
• Nagao, Hirosi; Tsushima, Yukio (1989), Zastoupení konečných skupin, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN  978-0-12-513660-0, PAN  0998775