Brunsova věta - Bruns theorem - Wikipedia

Konvergence k Brunově konstantě.

v teorie čísel, Brunova věta uvádí, že součet reciproční z dvojčata připraví (páry prvočísla které se liší o 2) konverguje na konečnou hodnotu známou jako Brunova konstanta, obvykle označeno B₂ (sekvence A065421 v OEIS ). Brunova věta byla prokázána Viggo Brun v roce 1919 a má historický význam při zavedení sítové metody.

Asymptotické hranice na dvojčatech

Konvergence součtu převrácených hodnot dvojitých prvočísel vyplývá z hranic na hustota sekvence dvojčat připraví ${ displaystyle pi _ {2} (x)}$ označte počet připraví p ≤ X pro který p + 2 je také hlavní (tj. ${ displaystyle pi _ {2} (x)}$ je počet dvojitých prvočísel, přičemž nejvýše je menší X). Pak pro X ≥ 3, máme

${ displaystyle pi _ {2} (x) = O left ({ frac {x ( log log x) ^ {2}} {( log x) ^ {2}}} vpravo). }$

To znamená, že dvojčata jsou méně častá než prvočísla téměř logaritmickým faktorem. Z této vazby vyplývá, že součet převrácených čísel dvojčátek konverguje, nebo jinými slovy, dvojčata tvoří prvočíslo malá sada. Výslovně řečeno součet

${ displaystyle sum limity _ {p ,: , p + 2 v mathbb {P}} { vlevo ({{ frac {1} {p}} + { frac {1} {p +2}}} right)} = left ({{ frac {1} {3}} + { frac {1} {5}}} right) + left ({{ frac {1} {5}} + { frac {1} {7}}} vpravo) + vlevo ({{ frac {1} {11}} + { frac {1} {13}}} vpravo) + cdots}$

buď má konečně mnoho pojmů, nebo má nekonečně mnoho pojmů, ale je konvergentní: jeho hodnota je známá jako Brunova konstanta.

Pokud by se součet rozcházel, pak by tato skutečnost znamenala, že existuje nekonečně mnoho dvojčat. Protože součet převrácených hodnot dvojitých prvočísel místo toho konverguje, není možné z tohoto výsledku usoudit, že existuje konečně mnoho nebo nekonečně mnoho prvočísel. Brunova konstanta může být iracionální číslo pouze pokud je nekonečně mnoho dvojčat připraveno.

Numerické odhady

Série konverguje extrémně pomalu. Thomas Nice s potěšením poznamenává, že po sčítání první miliardy (10⁹), relativní chyba je stále více než 5%.^[1]

Výpočet dvojitých prvočísel až 10¹⁴ (a objevení Chyba Pentium FDIV podél cesty), pěkně heuristicky odhadl Brunovu konstantu na 1,902160578.^[1] Pěkně rozšířil svůj výpočet na 1,6×10¹⁵ k 18. lednu 2010, ale nejedná se o největší výpočet tohoto typu.

V roce 2002 Pascal Sebah a Patrick Demichel využila všechna dvojčata až do 10¹⁶ dát odhad^[2] že B₂ ≈ 1,902160583104. Proto,

Poslední je založen na extrapolaci z částky 1,830484424658 ... pro dvojčata pod 10¹⁶. Dominic Klyve to podmíněně (v nepublikované práci) ukázal B₂ <2,1754 (za předpokladu rozšířená Riemannova hypotéza ). Bezpodmínečně se ukázalo, že B₂ < 2.347.^[3]

Je tam také Brunova konstanta pro hlavní čtyřčata. A hlavní čtyřčata je dvojice dvou dvojic prime párů, oddělených vzdáleností 4 (nejmenší možná vzdálenost). První hlavní čtyřčata jsou (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Brunova konstanta pro hlavní čtyřčata, označená B₄, je součet převrácených hodnot všech hlavních čtveřic:

${ displaystyle B_ {4} = left ({ frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} right) + left ({ frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} + { frac {1} {17}} + { frac {1} {19}} vpravo) + doleva ({ frac {1} {101}} + { frac {1} {103}} + { frac {1} {107}} + { frac {1} {109}} vpravo) + cdots}$

s hodnotou:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, rozsah chyb má podle Nicely 99% úroveň spolehlivosti.^[1]

Tato konstanta by neměla být zaměňována s Brunova konstanta pro bratranec připraví, jako primární páry formuláře (p, p + 4), který je také psán jako B₄. Wolf odvodil odhad součtu Brunova typu B_n ze 4 /n.

Další výsledky

Nechat ${ displaystyle C_ {2} = 0,6601 ldots}$ (sekvence A005597 v OEIS ) být dvojitá primární konstanta. Pak se předpokládá, že

${ displaystyle pi _ {2} (x) sim 2C_ {2} { frac {x} {( log x) ^ {2}}}.}$

Zejména,

${ displaystyle pi _ {2} (x) <(2C_ {2} + varepsilon) { frac {x} {( log x) ^ {2}}}}$

pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ a všechny dostatečně velké X.

Bylo prokázáno mnoho zvláštních případů výše uvedeného. Naposledy to dokázala Jie Wu dostatečně velká X,

${ displaystyle pi _ {2} (x) <4,5 { frac {x} {( log x) ^ {2}}}}$

kde 4.5 odpovídá ${ displaystyle varepsilon přibližně 3,18}$ ve výše uvedeném.

V populární kultuře

Číslice Brunovy konstanty byly použity v nabídce 1 902 160 540 $ v Nortel aukce patentů. Nabídku zveřejnil Google a byla jednou ze tří nabídek Google založených na matematických konstantách.^[4]

Viz také

• Divergence součtu převrácených hodnot prvočísel
• Meissel – Mertensova konstanta

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Brunova konstanta“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Brunova věta“. MathWorld.
• Brunova konstanta na PlanetMath.
• Sebah, Pascal a Xavier Gourdon, Úvod do dvojitých prvočísel a Brunova konstantního výpočtu, 2002. Moderní detailní zkoumání.
• Wolfův článek o částkách typu Brun