Klasické skupiny - The Classical Groups

Ve Weylovi je úžasný a hrozný¹ rezervovat Klasické skupiny [W] lze rozlišit dvě hlavní témata: zaprvé, studium polynomiálních invariantů pro libovolný počet (kontravariantních nebo kovariantních) proměnných pro standardní klasickou skupinovou akci; zadruhé, izotypový rozklad celé tenzorové algebry pro takovou akci.¹Většina lidí, kteří knihu znají, má pocit, že materiál v ní je úžasný. Mnozí také cítí, že prezentace je hrozná. (Autor mezi nimi není.)

Howe (1989, s. 539)

Klasické skupiny: jejich invarianty a reprezentace je kniha matematiky od Hermann Weyl (1939 ), který popisuje klasický invariantní teorie ve smyslu teorie reprezentace. Je do značné míry zodpovědný za oživení zájmu o invariantní teorii, kterou téměř zabil David Hilbert řešení jeho hlavních problémů v 90. letech 19. století.

Weyl (1939b) neformálně hovořil o tématu své knihy.

Obsah

Kapitola I definuje invarianty a další základní myšlenky a popisuje vztah k Felix Klein je Program Erlangen v geometrii.

Kapitola II popisuje invarianty speciální a obecná lineární skupina a vektorový prostor PROTI na polynomech přes součet kopií PROTI a jeho dvojí. Využívá Identita Capelli najít explicitní sadu generátorů pro invarianty.

Kapitola III studuje skupinové vyzvánění konečné skupiny a její rozklad na součet maticové algebry.

Kapitola IV pojednává Schur – Weylova dualita mezi reprezentacemi symetrický a obecné lineární skupiny.

Kapitoly V a VI rozšiřují diskusi o invariantech obecné lineární skupiny v kapitole II na ortogonální a symplektické skupiny, což ukazuje, že kruh invarianty je generován zjevnými.

Kapitola VII popisuje Weylův vzorec znaků pro znaky reprezentací z klasické skupiny.

Kapitola VIII o teorii invariantů dokazuje Hilbertovu větu, že invarianty speciální lineární skupiny jsou definitivně generovány.

Kapitola IX a X poskytují některé doplňky k předchozím kapitolám.

Reference

Howe, Roger (1988), "Klasické skupiny a invarianty binárních forem ", v Wells, R. O. Jr. (vyd.), Matematické dědictví Hermanna Weyla (Durham, NC, 1987), Proc. Symposy. Čistá matematika., 48„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str.133–166, ISBN 978-0-8218-1482-6, PAN 0974333
Howe, Rogere (1989), „Poznámky ke klasické invariantní teorii.“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 313 (2): 539–570, doi:10.2307/2001418, ISSN 0002-9947, JSTOR 2001418, PAN 0986027
Jacobson, Nathan (1940), „Recenze knihy: Klasické skupiny“, Bulletin of the American Mathematical Society, 46 (7): 592–595, doi:10.1090 / S0002-9904-1940-07236-2, ISSN 0002-9904, PAN 1564136
Weyl, Hermann (1939), Klasické skupiny. Jejich invarianty a zastoupení, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, PAN 0000255
Weyl, Hermann (1939), „Invarianty“, Duke Mathematical Journal, 5: 489–502, doi:10.1215 / S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, PAN 0000030