Eta neměnná - Eta invariant - Wikipedia

v matematika, eta invariantní sebe-adjunktu eliptický operátor diferenciálu na kompaktní potrubí je formálně počet kladných vlastní čísla minus počet negativních vlastních čísel. V praxi jsou obě čísla často nekonečná, takže jsou definována pomocí regularizace funkce zeta. To bylo představeno Atiyah, Patodi, a Zpěvák  (1973, 1975 ) kdo ji použil k prodloužení Hirzebruchova věta o podpisu do potrubí s hranicí. Název pochází ze skutečnosti, že se jedná o zobecnění Funkce Dirichlet eta.

Také později použili eta invariant operátoru s vlastním adjointem k definování eta invariantu kompaktního lichého trojrozměrného hladkého potrubí.

Michael Francis Atiyah, H. Donnelly a I. M. Singer (1983 ) definoval vada podpisu hranice potrubí jako eta invariant, a použil to k prokázání, že Hirzebruchova vada defektu hrotu Hilbertův modulární povrch lze vyjádřit jako hodnotu v s= 0 nebo 1 z a Funkce Shimizu L..

Definice

Eta invariant samoobslužného operátoru A darováno η_A(0), kde η je analytickým pokračováním

${ displaystyle eta (s) = součet _ { lambda neq 0} { frac { operatorname {sign} ( lambda)} {| lambda | ^ {s}}}}$

a součet je nad nenulovými vlastními hodnotami λ zA.

Reference

• Atiyah, Michael Francis; Patodi, V. K .; Singer, I. M. (1973), "Spectral asymetry and Riemannian geometry", Bulletin London Mathematical Society, 5 (2): 229–234, CiteSeerX  10.1.1.597.6432, doi:10.1112 / blms / 5.2.229, ISSN  0024-6093, PAN  0331443
• Atiyah, Michael Francis; Patodi, V. K .; Singer, I. M. (1975), "Spectral asymetry and Riemannian geometry. I", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 77: 43–69, doi:10.1017 / S0305004100049410, ISSN  0305-0041, PAN  0397797
• Atiyah, Michael Francis; Donnelly, H .; Singer, I. M. (1983), "Eta invarianty, signální vady hrbolků a hodnoty L-funkcí", Annals of Mathematics, Druhá série, 118 (1): 131–177, doi:10.2307/2006957, ISSN  0003-486X, JSTOR  2006957, PAN  0707164