Nechat G být skutečný nebo složitý Lež skupina s Lež algebraa nechte označit algebru z -hodnota polynomy na (přesně stejný argument funguje, pokud jsme použili namísto .) Nechte být subalgebra pevných bodů v pod adjunkční akce z G; tj. subalgebra skládající se ze všech polynomů F takhle , pro všechny G v G a X v ,
Vzhledem k tomu, hlavní G-svazekP na M, existuje související homomorfismus -algebry,
,
volal Chern – Weilův homomorfismus, kde je vpravo kohomologie de Rhamova kohomologie. Tento homomorfismus se získá převzetím invariantních polynomů v zakřivení libovolného spojení na daném svazku. Li G je buď kompaktní nebo semi-jednoduchý, pak cohomologický prsten z třídicí prostor pro G- svazky, , je izomorfní s algebrou neměnných polynomů:
(Cohomologický prsten z BG stále lze dát ve smyslu de Rham:
Pokud navíc F je neměnný; tj., , pak se to dá ukázat je uzavřená forma, sestupuje do jedinečné podoby dne M a to de Rhamova kohomologie třída formuláře je nezávislá na . Nejprve to je uzavřená forma vyplývá z následujících dvou lemmat:[1]
Lemma 1: Forma na P sestupuje do (jedinečné) podoby na M; tj. existuje formulář M který se odtáhne zpět .
Lemma 2: Je-li forma na P sestupuje do formy na M, pak .
Vskutku, Bianchiho druhá identita říká a od té doby D je odstupňovaná derivace, Nakonec říká Lemma 1 splňuje hypotézu Lemma 2.
Chcete-li vidět Lemmu 2, dovolte být projekcí a h být projekcí do vodorovného podprostoru. Pak je Lemma 2 důsledkem toho (jádro je přesně vertikální podprostor.) Pokud jde o Lemma 1, první poznámka
což je proto a F je neměnný. Lze tedy definovat podle vzorce:
,
kde jsou nějaké výtahy z : .
Dále ukážeme, že de Rhamova kohomologická třída na M je nezávislá na volbě připojení.[2] Nechat být libovolné formy připojení na P a nechte být projekcí. Dát
kde t je plynulá funkce na dána . Nechat být zakřivení formy . Nechat být inkluze. Pak je homotopický k . Tím pádem, a patří do stejné třídy de Rham cohomology jako homotopická invariance de Rhamovy kohomologie. A konečně, přirozeností a jedinečností sestupu,
a totéž pro . Proto, patří do stejné třídy cohomologie.
Konstrukce tedy dává lineární mapu: (srov. Lemma 1)
Ve skutečnosti lze zkontrolovat, že takto získaná mapa:
kde i je druhá odmocnina -1. Pak jsou neměnné polynomy na , protože levá strana rovnice je. The k-th Třída Chern hladkého komplexu vektorů E hodnosti n na potrubí M:
je uveden jako obrázek pod Chern-Weilovým homomorfismem definovaným E (nebo přesněji svazek rámců E). Li t = 1, tedy je neměnný polynom. The celková třída Chern z E je obraz tohoto polynomu; to je
Přímo z definice je možné to ukázat a C výše uvedené splňují axiomy Chernových tříd. Uvažujeme například o vzorci Whitneyova součtu
,
kde jsme psali pro zakřivení 2-tvar na M vektorového svazku E (tak to je potomek formy zakřivení na svazku rámců E). Chern-Weilův homomorfismus je stejný, pokud ho někdo použije . Nyní předpokládejme E je přímý součet vektorových svazků a tvar zakřivení takže v maticovém termínu je bloková diagonální matice s ΩJáje na úhlopříčce. Pak od té doby , my máme:
^Kobayashi-Nomizu 1969, Ch. XII. chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFKobayashi-Nomizu1969 (Pomoc)
^Argument pro nezávislost volby připojení zde je převzat z: Akhil Mathew, Poznámky k zmizení Kodairy „Archivovaná kopie“(PDF). Archivovány od originál(PDF) dne 2014-12-17. Citováno 2014-12-11.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz). Kobayashi-Nomizu, hlavní reference, uvádí konkrétnější argument.
^Redakční poznámka: Tato definice je v souladu s referencí, kromě nás t, který je t−1 tam. Naše volba se zdá standardnější a je v souladu s našíTřída Chern "článek.
^Důkaz: Podle definice . Nyní spočítejte čtverec pomocí Leibnizova pravidla.
Chern, Shiing-Shen (1951), Témata v diferenciální geometrii, Institut pro pokročilé studium, poznámky k přednášce mimeografy.
Chern, Shiing-Shen (1995), Složitá potrubí bez teorie potenciálu, Springer-Verlag, ISBN0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0. (Příloha této knihy „Geometrie charakteristických tříd“ je velmi úhledným a hlubokým úvodem do vývoje myšlenek charakteristických tříd.)