Bavlněný tenzor - Cotton tensor
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Července 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v diferenciální geometrie, Bavlněný tenzor na (pseudo) -Riemannovo potrubí dimenze n je třetího řádu tenzor souběžně s metrický, jako Weylův tenzor. Zmizení bavlněného tenzoru pro n = 3 je nutné a dostatečný stav aby bylo potrubí konformně ploché, stejně jako Weylův tenzor pro n ≥ 4. Pro n < 3 bavlněný tenzor je identicky nulový. Pojem je pojmenován po Émile Bavlna.
Důkaz klasického výsledku, který pro n = 3 mizení bavlněného tenzoru je ekvivalentní s metrickou hodnotou, která je konformně plochá Eisenhart pomocí standardu integrovatelnost argument. Tato hustota tenzoru je jedinečně charakterizována svými konformními vlastnostmi spojenými s požadavkem, aby byla diferencovatelná pro libovolné metriky, jak ukazuje (Aldersley 1979 ).
V poslední době se studium trojrozměrných prostor stává velmi zajímavým, protože Cottonův tenzor omezuje vztah mezi Ricciho tenzorem a tenzor energie – hybnosti hmoty v Einsteinovy rovnice a hraje důležitou roli v Hamiltonovský formalizmus z obecná relativita.
Definice
V souřadnicích a označující Ricciho tenzor podle Rij a skalární zakřivení o R, komponenty bavlněného tenzoru jsou
Bavlněný tenzor lze považovat za vektor s hodnotou 2-forma, a pro n = 3 lze použít Operátor hvězd Hodge převést to na hustotu tenzoru druhého řádu bez stop
někdy nazývaný Bavlna-York tenzor.
Vlastnosti
Konformní změna měřítka
Pod konformním změnou měřítka metriky pro nějakou skalární funkci . Vidíme, že Christoffel symboly transformovat jako
kde je tenzor
The Riemannův tenzor zakřivení transformuje jako
v -dimenzionální potrubí, získáme Ricciho tenzor kontrakcí transformovaného Riemannova tenzoru, aby viděl, jak se transformuje jako
Podobně Ricci skalární transformuje jako
Kombinace všech těchto faktů nám umožňuje uzavřít Cotton-Yorkův tenzorový transformátor jako
nebo pomocí souřadnicového nezávislého jazyka jako
kde je gradient zapojen do symetrické části Weylův tenzor Ž.
Symetrie
Bavlněný tenzor má následující symetrie:
a proto
Kromě toho Bianchiho vzorec pro Weylův tenzor lze přepsat jako
kde je pozitivní divergence v první složce Ž.
Reference
- Aldersley, S. J. (1979). Msgstr "Komentáře k určitým tenzorovým hustotám bez divergence ve 3 prostoru". Journal of Mathematical Physics. 20 (9): 1905–1907. Bibcode:1979JMP .... 20.1905A. doi:10.1063/1.524289.
- Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Obecná relativita a Einsteinovy rovnice. Oxford, Anglie: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923072-3.
- Bavlna, É. (1899). „Sur les variétés à trois Dimensions“. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. II. 1 (4): 385–438. Archivovány od originál dne 10.10.2007.
- Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Riemannova geometrie. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08026-7.
- A. Garcia, F. W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) „Cotton tensor in Riemannian spacetimes“, Klasická a kvantová gravitace 21: 1099–1118, Eprint arXiv: gr-qc / 0309008