Věta o krychli - Theorem of the cube

v matematika, věta o krychli je podmínkou pro a svazek řádků nad produktem tří úplných odrůd být triviální. Byl to princip objevený v kontextu lineární ekvivalence tím, že Italská škola algebraické geometrie. Konečná verze věty o krychli byla poprvé publikována Lang (1959), který to připsal André Weil. Diskuse o historii byla dána Kleiman (2005). Ošetření pomocí svazek kohomologie a popis z hlediska Picardův funktor, bylo dáno Mumford (2008).

Prohlášení

Věta říká, že pro všechny kompletní odrůdy U, PROTI a Ž přes algebraicky uzavřené pole a dané body u, proti a w na ně, kdokoli invertibilní svazek L který má triviální omezení pro každou z U× PROTI × {w}, U× {proti} × Ž, a {u} × PROTI × Ž, je samo o sobě triviální. (Mumford str. 55; výsledek je o něco silnější, protože jedna z odrůd nemusí být úplná a lze ji nahradit připojeným schématem.)

Speciální případy

Na prstencový prostor X, invertibilní svazek L je triviální pokud je izomorfní s Ó_Xjako Ó_X-modul. Pokud základna X je komplexní potrubí, pak je invertibilní svazek (svazek částí) a svazek holomorfní linie a triviální prostředky holomorfně ekvivalentní a triviální svazek, nejen topologicky ekvivalentní.

Přepracování pomocí biextensions

Weilův výsledek byl přepracován, pokud jde o biextensions, koncept nyní obecně používaný v teorie duality abelianských odrůd.^[1]

Věta o náměstí

The věta čtverce (Lang 1959 ) (Mumford 2008, s. 59) je důsledkem (rovněž kvůli Weilovi) vztahujícímu se k abelianská odrůda A. Jedna jeho verze uvádí, že funkce φ_L brát X∈A na T^*
_XL⊗L⁻¹ je skupinový homomorfismus z A na Obr(A) (kde T^*
_X je překlad od X on line svazky).

Reference

• Kleiman, Steven L. (2005), „Picardovo schéma“, Základní algebraická geometrie, Math. Průzkumy Monogr., 123„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 235–321, arXiv:matematika / 0504020, Bibcode:Matematika 2005 ... 4020 tis, PAN  2223410
• Lang, Serge (1959), Abelianské odrůdy„Mezivědní trakty v čisté a aplikované matematice, 7, New York: Interscience Publishers, Inc., PAN  0106225
• Mumford, David (2008) [1970], Abelianské odrůdy, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-81-85931-86-9, PAN  0282985, OCLC  138290

Poznámky