Grothendieckova spektrální sekvence - Grothendieck spectral sequence - Wikipedia

v matematika, v oblasti homologická algebra, Grothendieckova spektrální sekvence, představil Alexander Grothendieck v jeho Tôhoku papír, je spektrální sekvence který počítá odvozené funktory složení dvou funktory ${ displaystyle G circ F}$, ze znalostí odvozených funktorů F a G.

Li ${ displaystyle F colon { mathcal {A}} do { mathcal {B}}}$ a ${ displaystyle G colon { mathcal {B}} do { mathcal {C}}}$ jsou dvě přísady a vlevo přesně funktory mezi abelianské kategorie takové, že oba ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ mít dost injekcí a ${ displaystyle F}$ bere injekční předměty na ${ displaystyle G}$-acyklické objekty, pak pro každý objekt ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ existuje spektrální sekvence:

${ displaystyle E_ {2} ^ {pq} = ({ rm {R}} ^ {p} G circ { rm {R}} ^ {q} F) (A) Longrightarrow { rm {R }} ^ {p + q} (G circ F) (A),}$

kde ${ displaystyle { rm {R}} ^ {p} G}$ označuje str- pravý funktor odvozený od ${ displaystyle G}$, atd.

Mnoho spektrálních sekvencí v algebraické geometrii je příkladem Grothendieckovy spektrální sekvence, například Lerayova spektrální sekvence.

The přesná posloupnost nízkých stupňů čte

${ displaystyle 0 až { rm {R}} ^ {1} G (FA) až { rm {R}} ^ {1} (GF) (A) až G ({ rm {R} } ^ {1} F (A)) do { rm {R}} ^ {2} G (FA) do { rm {R}} ^ {2} (GF) (A).}$

Příklady

Lerayova spektrální sekvence

Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou topologické prostory, nechť

${ displaystyle { mathcal {A}} = mathbf {Ab} (X)}$ a ${ displaystyle { mathcal {B}} = mathbf {Ab} (Y)}$ být kategorie snopů abelianských skupin na X a Y, respektive a

${ displaystyle { mathcal {C}} = mathbf {Ab}}$ být kategorií abelianských skupin.

Pro průběžná mapa

${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$

tam je (zleva přesný) přímý obraz funktor

${ displaystyle f _ {*} colon mathbf {Ab} (X) to mathbf {Ab} (Y)}$.

Máme také globální sekce funktory

${ displaystyle Gamma _ {X} tlustá mathbf {Ab} (X) do mathbf {Ab}}$,

a

${ displaystyle Gamma _ {Y} colon mathbf {Ab} (Y) do mathbf {Ab}.}$

Od té doby

${ displaystyle Gamma _ {Y} circ f _ {*} = Gamma _ {X}}$

a funktory ${ displaystyle f _ {*}}$ a${ displaystyle Gamma _ {Y}}$ uspokojit hypotézy (protože přímý funktor obrazu má přesnou levou adjoint ${ displaystyle f ^ {- 1}}$, dopředné injekce jsou injekční a zejména acyklický pro funktor globální sekce), sekvence v tomto případě se stane:

${ displaystyle H ^ {p} (Y, { rm {R}} ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}}) implikuje H ^ {p + q} (X, { mathcal { F}})}$

pro snop ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ abelianských skupin na ${ displaystyle X}$, a to je přesně to Lerayova spektrální sekvence.

Lokální-globální Ext spektrální sekvence

Existuje spektrální sekvence související s globálem Ext a svazek Ext: let F, G být svazky modulů přes prstencový prostor ${ displaystyle (X, { mathcal {O}})}$; např. schéma. Pak

${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = operatorname {H} ^ {p} (X; { mathcal {E}} xt _ { mathcal {O}} ^ {q} (F, G) ) Rightarrow operatorname {Ext} _ { mathcal {O}} ^ {p + q} (F, G).}$^[1]

Toto je příklad Grothendieckovy spektrální sekvence:

${ displaystyle R ^ {p} Gamma (X, -) = operatorname {H} ^ {p} (X, -)}$, ${ displaystyle R ^ {q} { mathcal {H}} om _ { mathcal {O}} (F, -) = { mathcal {E}} xt _ { mathcal {O}} ^ {q} (F , -)}$ a ${ displaystyle R ^ {n} Gamma (X, { mathcal {H}} om _ { mathcal {O}} (F, -)) = operatorname {Ext} _ { mathcal {O}} ^ { n} (F, -)}$.

Navíc, ${ displaystyle { mathcal {H}} om _ { mathcal {O}} (F, -)}$ pošle injekci ${ displaystyle { mathcal {O}}}$-moduly na okázalé snopy,^[2] což jsou ${ displaystyle Gamma (X, -)}$-acyklický. Proto je hypotéza splněna.

Derivace

Použijeme následující lemma:

Důkaz: Let ${ displaystyle Z ^ {n}, B ^ {n + 1}}$ být jádrem a obrazem ${ displaystyle d: K ^ {n} až K ^ {n + 1}}$. My máme

${ displaystyle 0 to Z ^ {n} to K ^ {n} { overset {d} { to}} B ^ {n + 1} to 0,}$

který se rozdělí. To znamená každý ${ displaystyle B ^ {n + 1}}$ je injekční. Dále se podíváme na

${ displaystyle 0 to B ^ {n} to Z ^ {n} to H ^ {n} (K ^ { bullet}) to 0.}$

Rozdělí se, což implikuje první část lemmatu i přesnost

${ displaystyle 0 až G (B ^ {n}) až G (Z ^ {n}) až G (H ^ {n} (K ^ { odrážka)) až 0.}$

Podobně máme (pomocí dřívějšího rozdělení):

${ displaystyle 0 až G (Z ^ {n}) až G (K ^ {n}) { přesahující {G (d)} { to}} G (B ^ {n + 1}) 0.}$

Následuje druhá část. ${ displaystyle square}$

Nyní vytvoříme spektrální sekvenci. Nechat ${ displaystyle A ^ {0} na A ^ {1} na cdots}$ být F-acyklické rozlišení A. Psaní ${ displaystyle phi ^ {p}}$ pro ${ displaystyle F (A ^ {p}) až F (A ^ {p + 1})}$, my máme:

${ displaystyle 0 to operatorname {ker} phi ^ {p} to F (A ^ {p}) { overset { phi ^ {p}} { to}} operatorname {im} phi ^ {p} na 0.}$

Přijměte injekční řešení ${ displaystyle J ^ {0} do J ^ {1} do cdots}$ a ${ displaystyle K ^ {0} do K ^ {1} do cdots}$ prvního a třetího nenulového výrazu. Podle lemma podkovy, jejich přímý součet ${ displaystyle I ^ {p, bullet} = J oplus K}$ je injektivní řešení ${ displaystyle F (A ^ {p})}$. Zjistili jsme tedy injektivní řešení komplexu:

${ displaystyle 0 až F (A ^ { bullet}) až I ^ { odrážka, 0} až I ^ { odrážka, 1} až cdots.}$

tak, že každý řádek ${ displaystyle I ^ {0, q} až I ^ {1, q} až cdots}$ uspokojuje hypotézu lemmatu (srov Cartan – Eilenbergovo rozlišení.)

Dvojitý komplex ${ displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = G (I ^ {p, q})}$ dává vzniknout dvěma spektrálním sekvencím, horizontální a vertikální, které nyní prozkoumáme. Na jedné straně, podle definice,

${ displaystyle {} ^ { prime prime} E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (G (I ^ {p, bullet})) = R ^ {q} G (F (A ^ {p}))}$,

což je vždy nula, pokud q = 0 od té doby ${ displaystyle F (A ^ {p})}$ je G-acyklický podle hypotézy. Proto, ${ displaystyle {} ^ { prime prime} E_ {2} ^ {n} = R ^ {n} (G circ F) (A)}$ a ${ displaystyle {} ^ { prime prime} E_ {2} = {} ^ { prime prime} E _ { infty}}$. Na druhou stranu, podle definice a lemmatu,

${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (G (I ^ { odrážka, p})) = G (H ^ {q} (I ^ { bullet, p})).}$

Od té doby ${ displaystyle H ^ {q} (I ^ { bullet, 0}) to H ^ {q} (I ^ { bullet, 1}) to cdots}$ je injektivní řešení ${ displaystyle H ^ {q} (F (A ^ { bullet})) = R ^ {q} F (A)}$ (je to řešení, protože jeho cohomologie je triviální),

${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {2} ^ {p, q} = R ^ {p} G (R ^ {q} F (A)).}$

Od té doby ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r}}$ a ${ displaystyle {} ^ { prime prime} E_ {r}}$ mít stejný omezující termín, důkaz je kompletní. ${ displaystyle square}$

Poznámky

Reference

• Bože, Rogere (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paříž: Hermann, PAN  0345092
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.

Výpočtové příklady

• Sharpe, Eric (2003). Přednášky o D-branách a snopech (strany 18–19), arXiv:hep-th / 0307245

Tento článek včlení materiál od Grothendieck spektrální sekvence na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.