Jacobi theta funkce (notační variace) - Jacobi theta functions (notational variations) - Wikipedia

Existuje celá řada notačních systémů pro Jacobi theta funkce. Zápisy uvedené v článku Wikipedie definují původní funkci

${ displaystyle vartheta _ {00} (z; tau) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} exp ( pi in ^ {2} tau +2 pi inz)}$

což odpovídá

${ displaystyle vartheta _ {00} (z, q) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} exp (2 pi inz)}$

Podobná notace je však v definována poněkud odlišně Whittaker a Watson, str. 487:

${ displaystyle vartheta _ {0,0} (x) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} exp (2 pi inx / a)}$

Tato notace je přičítána „Hermitovi, H.J.S. Smithovi a některým dalším matematikům“. Také definují

${ displaystyle vartheta _ {1,1} (x) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(n + 1/2) ^ { 2}} exp ( pi i (2n + 1) x / a)}$

To je faktor i z definice ${ displaystyle vartheta _ {11}}$ jak je definováno v článku na Wikipedii. Tyto definice lze provést alespoň proporcionálně pomocí X = za, ale jiné definice nemohou. Whittaker a Watson, Abramowitz a Stegun a Gradshteyn a Ryzhik všichni následují Tannery a Molk, ve kterých

${ displaystyle vartheta _ {1} (z) = - i součet _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(n + 1/2) ^ { 2}} exp ((2n + 1) iz)}$

${ displaystyle vartheta _ {2} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {(n + 1/2) ^ {2}} exp ((2n + 1 ) iz)}$

${ displaystyle vartheta _ {3} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} exp (2niz)}$

${ displaystyle vartheta _ {4} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} exp (2niz) }$

Všimněte si, že v argumentu není žádný faktor π jako v předchozích definicích.

Whittaker a Watson odkazují na ještě další definice ${ displaystyle vartheta _ {j}}$. Varování Abramowitze a Steguna: „Existuje matoucí rozmanitost notací ... v konzultačních knihách je třeba dbát opatrnosti,“ lze považovat za podhodnocení. V jakémkoli výrazu výskyt ${ displaystyle vartheta (z)}$ nemělo by se předpokládat, že má nějakou konkrétní definici. Je povinností autora uvést, jaké definice ${ displaystyle vartheta (z)}$ je zamýšlen.

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 16.27ff.“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Jurij Veniaminovič; Tseytlin, Michail Yulyevich (1980). „8.18.“. V Jeffrey, Alan (ed.). Tabulka integrálů, sérií a produktů. Přeložil Scripta Technica, Inc. (4. opravené a zvětšené vydání). Academic Press, Inc. ISBN  0-12-294760-6. LCCN  79027143.
• E. T. Whittaker a G. N. Watson, Kurz moderní analýzy, čtvrté vydání, Cambridge University Press, 1927. (Viz kapitola XXI o historii Jacobiho θ funkcí)