Jacobi forma - Jacobi form

v matematika, a Jacobi forma je automorfní forma na Skupina Jacobi, který je polopřímý produkt z symplektická skupina Sp (n; R) a Skupina Heisenberg ${ displaystyle H_ {R} ^ {(n, h)}}$. Teorii nejprve systematicky studoval Eichler & Zagier (1985).

Definice

Jacobi forma úrovně 1, váha k a index m je funkce ${ displaystyle phi ( tau, z)}$ dvou komplexních proměnných (s τ v horní polovině roviny) tak, že

• ${ displaystyle phi left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}}, { frac {z} {c tau + d}} right) = (c tau + d) ^ {k} e ^ { frac {2 pi imcz ^ {2}} {c tau + d}} phi ( tau, z) { text {pro}} {a b zvolit c d} v SL_ {2} (Z)}$
• ${ displaystyle phi ( tau, z + lambda tau + mu) = e ^ {- 2 pi im ( lambda ^ {2} tau +2 lambda z)} phi ( tau, z )}$ pro všechna celá čísla λ μ.
• ${ displaystyle phi}$ má Fourierovu expanzi

${ displaystyle phi ( tau, z) = součet _ {n geq 0} součet _ {r ^ {2} leq 4mn} c (n, r) e ^ {2 pi i (n tau + rz)}.}$

Příklady

Mezi příklady dvou proměnných patří Jacobi theta funkce, Weierstrassova funkce a Fourier-Jacobiho koeficienty Modulární formy Siegel rodu 2. Příklady s více než dvěma proměnnými zahrnují znaky některých neredukovatelných nejvyšších váhových reprezentací afinních Kac – Moodyho algebry. Meromorfní Jacobi formy se objevují v teorii Mock modulární formy.

Reference

• Eichler, Martin; Zagier, Don (1985), Teorie Jacobiho foremPokrok v matematice, 55, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-1-4684-9162-3, ISBN  978-0-8176-3180-2, PAN  0781735