Funkce Q-gama - Q-gamma function

v q-analog teorie ${displaystyle q}$-gamma funkcenebo základní funkce gama, je zobecněním obyčejného funkce gama úzce souvisí s funkce dvojitého gama. To bylo představeno Jackson (1905). Je to dáno

${displaystyle Gamma _ {q} (x) = (1-q) ^ {1-x} prod _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q ^ {n + x}}} = (1-q) ^ {1-x}, {frac {(q; q) _ {infty}} {(q ^ {x}; q) _ {infty}}} }$

když ${displaystyle | q | <1}$, a

${displaystyle Gamma _ {q} (x) = {frac {(q ^ {- 1}; q ^ {- 1}) _ {infty}} {(q ^ {- x}; q ^ {- 1}) _ {infty}}} (q-1) ^ {1-x} q ^ {jiné {x} {2}}}$

-li ${displaystyle | q |> 1}$. Tady ${displaystyle (cdot; cdot) _ {infty}}$ je nekonečný q-Pochhammerův symbol. The ${displaystyle q}$-gamma funkce splňuje funkční rovnici

${displaystyle Gamma _ {q} (x + 1) = {frac {1-q ^ {x}} {1-q}} Gamma _ {q} (x) = [x] _ {q} Gamma _ {q }(X)}$

Kromě toho ${displaystyle q}$-gamma funkce splňuje q-analog Bohr – Mollerupova věta, který našel Richard Askey (Askey (1978) ).
Pro nezáporná celá čísla n,

${displaystyle Gamma _ {q} (n) = [n-1] _ {q}!}$

kde ${displaystyle [cdot] _ {q}}$ je q-faktoriál funkce. Tak ${displaystyle q}$Funkci -gamma lze považovat za rozšíření funkce q-faktoriál o reálná čísla.

V limitu je výslovně uveden vztah k běžné gama funkci

${displaystyle lim _ {q o 1pm} Gamma _ {q} (x) = Gamma (x).}$

O tomto limitu existuje jednoduchý důkaz od Gospera. Viz příloha (Andrews  (1986 )).

Vlastnosti transformace

The ${displaystyle q}$-gamma funkce splňuje q-analog Gaussova multiplikačního vzorce (Gasper & Rahman (2004) ):

${displaystyle Gamma _ {q} (nx) Gamma _ {r} (1 / n) Gamma _ {r} (2 / n) cdots Gamma _ {r} ((n-1) / n) = left ({frac {1-q ^ {n}} {1-q}} ight) ^ {nx-1} Gamma _ {r} (x) Gamma _ {r} (x + 1 / n) cdots Gamma _ {r} ( x + (n-1) / n), r = q ^ {n}.}$

Integrální zastoupení

The ${displaystyle q}$-gamma funkce má následující integrální zastoupení (Ismail  (1981 )):

${displaystyle {frac {1} {Gamma _ {q} (z)}} = {frac {sin (pi z)} {pi}} int _ {0} ^ {infty} {frac {t ^ {- z} mathrm {d} t} {(- t (1-q); q) _ {infty}}}.}$

Stirlingův vzorec

Moak získal následující q-analog Stirlingova vzorce (viz Moak (1984) ):

${displaystyle log Gamma _ {q} (x) sim (x-1/2) log [x] _ {q} + {frac {mathrm {Li} _ {2} (1-q ^ {x})} { log q}} + C_ {hat {q}} + {frac {1} {2}} H (q-1) log q + sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {B_ {2k}} {(2k)!}} Vlevo ({frac {log {hat {q}}} {{hat {q}} ^ {x} -1}} ight) ^ {2k-1} {hat {q}} ^ {x} p_ {2k-3} ({hat {q}} ^ {x}), x o infty,}$

${displaystyle {hat {q}} = left {{egin {aligned} qquad mathrm {if} & 0$

${displaystyle C_ {q} = {frac {1} {2}} log (2pi) + {frac {1} {2}} log left ({frac {q-1} {log q}} ight) - {frac {1} {24}} log q + log sum _ {m = -infty} ^ {infty} left (r ^ {m (6m + 1)} - r ^ {(3m + 1) (2m + 1)} v noci),}$

kde ${displaystyle r = exp (4pi ^ {2} / log q)}$, ${displaystyle H}$ označuje Funkce kroku Heaviside, ${displaystyle B_ {k}}$ znamená Bernoulliho číslo, ${displaystyle mathrm {Li} _ {2} (z)}$ je dilogaritmus a ${displaystyle p_ {k}}$ je polynom stupně ${displaystyle k}$ uspokojující

${displaystyle p_ {k} (z) = z (1-z) p_ {k-1} (z) ^ {prime} (z) + (kz + 1) p_ {k-1} (z), p_ { 0} = p _ {- 1} = 1, k = 1,2, cdots.}$

Vzorce typu Raabe

Kvůli I. Mező, q-analogu Raabeho vzorec existuje, alespoň pokud použijeme funkci q-gama, když ${displaystyle | q |> 1}$. S tímto omezením

${displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma _ {q} (x) dx = {frac {zeta (2)} {log q}} + log {sqrt {frac {q-1} {sqrt [{ 6}] {q}}}} + log (q ^ {- 1}; q ^ {- 1}) _ {infty} quad (q> 1).}$

El Bachraoui případ zvážil ${displaystyle 0$ a dokázal to

${displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma _ {q} (x) dx = {frac {1} {2}} log (1-q) - {frac {zeta (2)} {log q} } + log (q; q) _ {infty} quad (0$

Speciální hodnoty

Jsou známy následující speciální hodnoty.^[1]

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- pi}} left ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 16} {sqrt {e ^ {pi} -1}} { sqrt [{4}] {1+ {sqrt {2}}}}} {2 ^ {15/16} pi ^ {3/4}}}, zbývající gamma ({frac {1} {4}} vpravo) ,}$

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 2pi}} vlevo ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 8} {sqrt {e ^ {2pi} -1}}} {2 ^ {9/8} pi ^ {3/4}}}, vlevo gama ({frac {1} {4}} vpravo),}$

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 4pi}} vlevo ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 4} {sqrt {e ^ {4pi} -1}}} {2 ^ {7/4} pi ^ {3/4}}}, vlevo gama ({frac {1} {4}} vpravo),}$

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 8pi}} vlevo ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 2} {sqrt {e ^ {8pi} -1}}} {2 ^ {9/4} pi ^ {3/4} {sqrt {1+ {sqrt {2}}}}}}, Gamma vlevo ({frac {1} {4}} vpravo).}$

Toto jsou analogie klasického vzorce ${displaystyle Gamma left ({frac {1} {2}} ight) = {sqrt {pi}}}$.

Navíc následující analogy známé identity ${displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) Gamma left ({frac {3} {4}} ight) = {sqrt {2}} pi}$ držte se:

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 2pi}} vlevo ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 2pi}} vlevo ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 16} vlevo (e ^ {2pi} -1ight) {sqrt [{4}] {1+ {sqrt {2}}}}} {2 ^ {33/16} pi ^ { 3/2}}}, Gamma vlevo ({frac {1} {4}} vpravo) ^ {2},}$

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 4pi}} vlevo ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 4pi}} vlevo ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 8} vlevo (e ^ {4pi} -1ight)} {2 ^ {23/8} pi ^ {3/2}}}, Gamma vlevo ({frac {1} {4} } ight) ^ {2},}$

${displaystyle Gamma _ {e ^ {- 8pi}} vlevo ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 8pi}} vlevo ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 4} vlevo (e ^ {8pi} -1ight)} {16pi ^ {3/2} {sqrt {1+ {sqrt {2}}}}}}}, gamma vlevo ({frac {1} {4}} ight) ^ {2}.}$

Maticová verze

Nechat ${displaystyle A}$ být komplexní čtvercová matice a Kladná a určitá matice. Pak lze funkci q-gama matice definovat pomocí integrálu q:^[2]

${displaystyle Gamma _ {q} (A): = int _ {0} ^ {frac {1} {1-q}} t ^ {AI} E_ {q} (- qt) mathrm {d} _ {q} t}$

kde ${displaystyle E_ {q}}$ je q-exponenciální funkce.

Další funkce q-gama

Další funkce q-gamma viz Yamasaki 2006.^[3]

Numerický výpočet

Gabutti a Allasia navrhli iterativní algoritmus pro výpočet funkce q-gama.^[4]

Další čtení

• Zhang, Ruiming (2007), „On asymptotics of q-gamma funkce ", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 339 (2): 1313–1321, arXiv:0705.2802, Bibcode:2008JMAA..339.1313Z, doi:10.1016 / j.jmaa.2007.08.006
• Zhang, Ruiming (2010), „On asymptotics of Γ_q(z) jako q blíží se 1 ", arXiv:1011.0720 [matematika ]
• Ismail, Mourad E. H .; Muldoon, Martin E. (1994), „Nerovnosti a vlastnosti monotónnosti pro gama a q-gamma functions ", Zahar, R. V. M. (ed.), Aproximace a výpočet úspěchu na počest Waltera Gautschiho: Sborník z konference Purdue, 2. – 5. Prosince 1993, 119, Boston: Birkhäuser Verlag, s. 309–323, arXiv:1301.1749, doi:10.1007/978-1-4684-7415-2_19, ISBN  978-1-4684-7415-2

Reference

• Jackson, F. H. (1905), „Základní funkce gama a eliptické funkce“, Sborník královské společnosti v Londýně. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical CharacterKrálovská společnost 76 (508): 127–144, Bibcode:1905RSPSA..76..127J, doi:10.1098 / rspa.1905.0011, ISSN  0950-1207, JSTOR  92601
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řadaEncyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83357-8, PAN  2128719
• Ismail, Mourad (1981), „Základní Besselovy funkce a polynomy“, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 12 (3): 454–468, doi:10.1137/0512038
• Moak, Daniel S. (1984), „Q-analog Stirlingova vzorce“, Rocky Mountain J. Math., 14 (2): 403–414, doi:10.1216 / RMJ-1984-14-2-403
• Mező, István (2012), „Vzorec q-Raabe a integrál čtvrté funkce Jacobi theta“, Žurnál teorie čísel, 133 (2): 692–704, doi:10.1016 / j.jnt.2012.08.025
• El Bachraoui, Mohamed (2017), „Krátké důkazy pro vzorec q-Raabe a integrály pro funkce Jacobi theta“, Žurnál teorie čísel, 173 (2): 614–620, doi:10.1016 / j.jnt.2016.09.028
• Askey, Richard (1978), „Funkce q-gama a q-beta.“, Použitelná analýza, 8 (2): 125–141, doi:10.1080/00036817808839221
• Andrews, George E. (1986), Řada q: Jejich vývoj a aplikace v analýze, teorii čísel, kombinatorice, fyzice a počítačové algebře., Regionální konferenční seriál z matematiky, 66, Americká matematická společnost

Poznámky