Eulerova funkce - Euler function

Modul z ϕ na složité letadlo, barevné tak, že černá = 0, červená = 4

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Července 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Eulerova funkce darováno

${ displaystyle phi (q) = prod _ {k = 1} ^ { infty} (1-q ^ {k}).}$

Pojmenoval podle Leonhard Euler, je to modelový příklad a q-série, a modulární forma, a poskytuje prototypický příklad vztahu mezi kombinatorika a komplexní analýza.

Vlastnosti

The součinitel ${ displaystyle p (k)}$ v formální mocenské řady expanze pro ${ displaystyle 1 / phi (q)}$ udává počet oddíly z k. To znamená

${ displaystyle { frac {1} { phi (q)}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} p (k) q ^ {k}}$

kde ${ displaystyle p}$ je funkce oddílu.

The Eulerova identita, také známý jako Věta o pětiúhelníku, je

${ displaystyle phi (q) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2}.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle (3n ^ {2} -n) / 2}$ je pětiúhelníkové číslo.

Funkce Euler souvisí s Funkce Dedekind eta přes a Identita Ramanujan tak jako

${ displaystyle phi (q) = q ^ {- { frac {1} {24}}} eta ( tau)}$

kde ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$ je čtverec ne já. Všimněte si, že obě funkce mají symetrii modulární skupina.

Eulerovu funkci lze vyjádřit jako a q-Pochhammer symbol:

${ displaystyle phi (q) = (q; q) _ { infty}.}$

The logaritmus funkce Euler je součet logaritmů ve výrazu produktu, z nichž každý může být rozšířen o q = 0, poddajný

${ displaystyle ln ( phi (q)) = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} , { frac {q ^ {n}} { 1-q ^ {n}}},}$

což je Lambertova řada s koeficienty -1 /n. Logaritmus Eulerovy funkce lze tedy vyjádřit jako

${ displaystyle ln ( phi (q)) = součet _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n} q ^ {n}}$

kde ${ displaystyle b_ {n} = - součet _ {d | n} { frac {1} {d}} =}$ - [1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (viz OEIS A000203 )

Z důvodu totožnosti ${ displaystyle sum _ {d | n} d = sum _ {d | n} { frac {n} {d}},}$ toto může být také psáno jako

${ displaystyle ln ( phi (q)) = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {q ^ {n}} {n}} součet _ {d | n} d .}$

Speciální hodnoty

Další identity pocházejí z Ramanujanův ztracený notebook, Část V, s. 326.

${ displaystyle phi (e ^ {- pi}) = { frac {e ^ { pi / 24} gama vlevo ({ frac {1} {4}} vpravo)} {2 ^ { 7/8} pi ^ {3/4}}}}$

${ displaystyle phi (e ^ {- 2 pi}) = { frac {e ^ { pi / 12} gama doleva ({ frac {1} {4}} doprava)} {2 pi ^ {3/4}}}}$

${ displaystyle phi (e ^ {- 4 pi}) = { frac {e ^ { pi / 6} gama doleva ({ frac {1} {4}} doprava)} {2 ^ {{11} / 8} pi ^ {3/4}}}}$

${ displaystyle phi (e ^ {- 8 pi}) = { frac {e ^ { pi / 3} gama doleva ({ frac {1} {4}} doprava)} {2 ^ {29/16} pi ^ {3/4}}} ({ sqrt {2}} - 1) ^ {1/4}}$

Za použití Věta o pětiúhelníku, výměna částky a integrální, a poté vyvoláním komplexních analytických metod se odvodí

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} phi (q) { text {d}} q = { frac {8 { sqrt { frac {3} {23}}} pi sinh left ({ frac {{ sqrt {23}} pi} {6}} right)} {2 cosh left ({ frac {{ sqrt {23}} pi} {3}} right) -1}}.}$

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001