Řada Poincaré (modulární forma) - Poincaré series (modular form)
v teorie čísel, a Poincaré série je matematická řada zobecňující klasiku theta série který je spojen s jakýmkoli diskrétní skupina symetrií a komplexní doména, případně z několik složitých proměnných. Zobecňují zejména klasiku Eisensteinova řada. Jsou pojmenovány po Henri Poincaré.
Pokud Γ je a konečná skupina působící na doméně D a H(z) je libovolný meromorfní funkce na D, pak jeden získá automatická funkce průměrováním přes Γ:
Pokud je však Γ a diskrétní skupina, pak musí být zavedeny další faktory, aby byla zajištěna konvergence takové řady. Za tímto účelem a Poincaré série je řada formuláře
kde Jy je Jacobian determinant skupinového prvku γ,[1] a hvězdička označuje, že součet se odehrává pouze nad zástupci cosetů, čímž se získají odlišné pojmy v řadě.
Klasický Poincaré série hmotnosti 2k a Fuchsijská skupina Γ je definováno řadou
součet přesahující třídy shody frakčních lineárních transformací
patřící k Γ. Výběr H být a charakter z cyklická skupina řádu n, získá se takzvaná Poincarého řada řádu n:
Druhá řada Poincaré konverguje absolutně a rovnoměrně na kompaktní sady (v horní polovině roviny) a je modulární forma hmotnosti 2k pro Γ. Všimněte si, že když Γ je plný modulární skupina a n = 0, získá se Eisensteinova řada váhy 2k. Obecně platí, že řada Poincaré je pro n ≥ 1, a hrotová forma.
Poznámky
- ^ Nebo obecnější faktor automorphy jak je popsáno v Kollár 1995, §5.2.
Reference
- Kollár, János (1995), Shafarevichovy mapy a automorfní formy, M. B. Porter Přednášky, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04381-4, PAN 1341589.
- Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Řada Theta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.