Symbol Q-Pochhammer - Q-Pochhammer symbol

v matematika, v oblasti kombinatorika, a q-Pochhammer symbol, také nazývaný a q- posunutý faktoriál, je q-analogový^{[je třeba další vysvětlení ]} z Pochhammer symbol. Je definován jako

${displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1})}$

s

${displaystyle (a; q) _ {0} = 1}$

podle definice. The q-Pochhammer symbol je hlavním stavebním kamenem při stavbě q-analogy; například v teorii základní hypergeometrická řada, hraje roli, kterou v teorii hraje obyčejný Pochhammerův symbol zobecněná hypergeometrická řada.

Na rozdíl od běžného Pochhammerova symbolu je q-Pochhammer symbol lze rozšířit na nekonečný produkt:

${displaystyle (a; q) _ {infty} = prod _ {k = 0} ^ {infty} (1-aq ^ {k}).}$

Tohle je analytická funkce z q v interiéru jednotka disku, a lze jej také považovat za a formální mocenské řady v q. Zvláštní případ

${displaystyle phi (q) = (q; q) _ {infty} = prod _ {k = 1} ^ {infty} (1-q ^ {k})}$

je známý jako Eulerova funkce, a je důležité v kombinatorika, teorie čísel a teorie modulární formy.

Totožnosti

Konečný produkt lze vyjádřit jako nekonečný produkt:

${displaystyle (a; q) _ {n} = {frac {(a; q) _ {infty}} {(aq ^ {n}; q) _ {infty}}},}$

což rozšiřuje definici na záporná celá čísla n. Tedy pro nezáporné n, jeden má

${displaystyle (a; q) _ {- n} = {frac {1} {(aq ^ {- n}; q) _ {n}}} = prod _ {k = 1} ^ {n} {frac { 1} {(1-a / q ^ {k})}}}$

a

${displaystyle (a; q) _ {- n} = {frac {(-q / a) ^ {n} q ^ {n (n-1) / 2}} {(q / a; q) _ {n }}}.}$

Alternativně,

${displaystyle prod _ {k = n} ^ {infty} (1-aq ^ {k}) = (aq ^ {n}; q) _ {infty} = {frac {(a; q) _ {infty}} {(a; q) _ {n}}},}$

což je užitečné pro některé z generujících funkcí funkcí oddílů.

The q-Pochhammer symbol je předmětem řady q-series identity, zejména nekonečné řady expanzí

${displaystyle (x; q) _ {infty} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} q ^ {n (n-1) / 2}} {(q ; q) _ {n}}} x ^ {n}}$

a

${displaystyle {frac {1} {(x; q) _ {infty}}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {x ^ {n}} {(q; q) _ {n} }}}$,

což jsou oba zvláštní případy q-binomická věta:

${displaystyle {frac {(ax; q) _ {infty}} {(x; q) _ {infty}}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a; q) _ {n }} {(q; q) _ {n}}} x ^ {n}.}$

Fridrikh Karpelevich našel následující identitu (viz Olshanetsky a Rogov (1995 ) pro důkaz):

${displaystyle {frac {(q; q) _ {infty}} {(z; q) _ {infty}}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} q ^ {n (n + 1) / 2}} {(q; q) _ {n} (1-zq ^ {n})}}, | z | <1.}$

Kombinatorický výklad

The q-Pochhammerův symbol úzce souvisí s enumerativní kombinatorikou oddílů. Koeficient ${displaystyle q ^ {m} a ^ {n}}$ v

${displaystyle (a; q) _ {infty} ^ {- 1} = prod _ {k = 0} ^ {infty} (1-aq ^ {k}) ^ {- 1}}$

je počet oddílů m maximálně n části.

Protože konjugací oddílů je to stejné jako počet oddílů m na části velikosti nanejvýš n, identifikací generující řady získáme identitu:

${displaystyle (a; q) _ {infty} ^ {- 1} = součet _ {k = 0} ^ {infty} vlevo (prod _ {j = 1} ^ {k} {frac {1} {1-q ^ {j}}} ight) a ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {a ^ {k}} {(q; q) _ {k}}}}$

jako ve výše uvedené části.

Máme také koeficient ${displaystyle q ^ {m} a ^ {n}}$ v

${displaystyle (-a; q) _ {infty} = prod _ {k = 0} ^ {infty} (1 + aq ^ {k})}$

je počet oddílů m do n nebo n-1 odlišné části.

Odstraněním trojúhelníkové přepážky pomocí n - 1 část z takového oddílu, zbývá nám maximálně libovolný oddíl n části. To dává bijekci zachovávající váhu mezi sadou oddílů do n nebo n - 1 odlišná část a sada párů sestávající z trojúhelníkové přepážky s n - 1 část a oddíl nejvýše n části. Identifikací generující řady to vede k identitě:

${displaystyle (-a; q) _ {infty} = prod _ {k = 0} ^ {infty} (1 + aq ^ {k}) = součet _ {k = 0} ^ {infty} vlevo (q ^ { k vyberte 2} prod _ {j = 1} ^ {k} {frac {1} {1-q ^ {j}}} ight) a ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ {infty} { frac {q ^ {k vyberte 2}} {(q; q) _ {k}}} a ^ {k}}$

také popsáno ve výše uvedené části. Převrácená funkce ${displaystyle (q) _ {infty}: = (q; q) _ {infty}}$ podobně vzniká jako generující funkce pro funkce oddílu, ${displaystyle p (n)}$, který je také rozšířen o druhé dva řada q níže uvedená rozšíření:^[1]

${displaystyle {frac {1} {(q; q) _ {infty}}} = součet _ {ngeq 0} p (n) q ^ {n} = součet _ {ngeq 0} {frac {q ^ {n} } {(q; q) _ {n}}} = součet _ {ngeq 0} {frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n} ^ {2}}}. }$

The q-binomická věta sám může být také zpracován o něco více zapojeným kombinatorickým argumentem podobné chuti (viz také rozšíření uvedená v další podsekce ) .

Konvence více argumentů

Protože identity zahrnují q-Pochhammerovy symboly tak často zahrnují produkty mnoha symbolů, standardní konvencí je napsat produkt jako jeden symbol více argumentů:

${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n } ldots (a_ {m}; q) _ {n}.}$

q-série

A q-series je a série ve kterém jsou koeficienty funkcí q, obvykle výrazy ${displaystyle (a; q) _ {n}}$.^[2] Počáteční výsledky jsou způsobeny Euler, Gauss, a Cauchy. Systematické studium začíná na Eduard Heine (1843).^[3]

Vztah k ostatním q-funkce

The q-analog z n, také známý jako q-Závorka nebo q-číslo z n, je definován jako

${displaystyle [n] _ {q} = {frac {1-q ^ {n}} {1-q}}.}$

Z toho lze definovat q-analog z faktoriál, q-faktoriální, tak jako

${displaystyle {ig [} n]! _ {q}}$	${displaystyle = prod _ {k = 1} ^ {n} [k] _ {q}}$
	${displaystyle = [1] _ {q} [2] _ {q} cdots [n-1] _ {q} [n] _ {q}}$
	${displaystyle = {frac {1-q} {1-q}} {frac {1-q ^ {2}} {1-q}} cdots {frac {1-q ^ {n-1}} {1- q}} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}}}$
	${displaystyle = 1 (1 + q) cdots (1 + q + cdots + q ^ {n-2}) (1 + q + cdots + q ^ {n-1})}$
	${displaystyle = {frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}.}$

Tato čísla jsou analogická v tom smyslu

${displaystyle lim _ {qightarrow 1} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = n,}$

a tak také

${displaystyle lim _ {qightarrow 1} [n]! _ {q} = n !.}$

Mezní hodnota n! počítá obměny z n- sada prvků S. Ekvivalentně počítá počet sekvencí vnořených sad ${displaystyle E_ {1} podmnožina E_ {2} podmnožina cdots podmnožina E_ {n} = S}$ takhle ${displaystyle E_ {i}}$ obsahuje přesně i elementy.^[4] Pro srovnání, kdy q je hlavní síla a PROTI je n-dimenzionální vektorový prostor nad polem s q prvky, q-analog ${displaystyle [n]! _ {q}}$ je počet úplných příznaků v PROTI, tj. je to počet sekvencí ${displaystyle V_ {1} podmnožina V_ {2} podmnožina cdots podmnožina V_ {n} = V}$ takových podprostorů ${displaystyle V_ {i}}$ má rozměr i.^[4] Předchozí úvahy naznačují, že lze posloupnost vnořených sad považovat za vlajku nad dohadem pole s jedním prvkem.

Produkt záporného celého čísla q- závorky lze vyjádřit pomocí q-faktoriální jako

${displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} [- k] _ {q} = {frac {(-1) ^ {n}, [n]! _ {q}} {q ^ {n (n +1) / 2}}}}$

Z q-faktoriály, lze přejít k definování q-binomiální koeficienty, známé také jako Gaussovské binomické koeficienty, tak jako

${displaystyle {egin {bmatrix} n kend {bmatrix}} _ {q} = {frac {[n]! _ {q}} {[nk]! _ {q} [k]! _ {q}}} ,}$

kde je snadno vidět, že trojúhelník těchto koeficientů je symetrický v tom smyslu ${displaystyle {egin {bmatrix} n mend {bmatrix}} _ {q} = {egin {bmatrix} n n-mend {bmatrix}} _ {q}}$ pro všechny ${displaystyle 0leq mleq n}$.

Jeden to může zkontrolovat

${displaystyle {egin {aligned} {egin {bmatrix} n + 1 kend {bmatrix}} _ {q} & = {egin {bmatrix} n kend {bmatrix}} _ {q} + q ^ {n-k +1} {egin {bmatrix} n k-1end {bmatrix}} _ {q} & = {egin {bmatrix} n k-1end {bmatrix}} _ {q} + q ^ {k} {egin {bmatrix} n kend {bmatrix}} _ {q} .end {zarovnáno}}}$

Z předchozích relací opakování je také vidět, že další varianty ${displaystyle q}$-binomiální věta je rozšířena z hlediska těchto koeficientů následovně:^[5]

${displaystyle {egin {aligned} (z; q) _ {n} & = sum _ {j = 0} ^ {n} {egin {bmatrix} n jend {bmatrix}} _ {q} (- z) ^ {j} q ^ {jin {j} {2}} = (1-z) (1-qz) cdots (1-zq ^ {n-1}) (- q; q) _ {n} & = součet _ {j = 0} ^ {n} {egin {bmatrix} n jend {bmatrix}} _ {q ^ {2}} q ^ {j} (q; q ^ {2}) _ {n} & = součet _ {j = 0} ^ {2n} {egin {bmatrix} 2n jend {bmatrix}} _ {q} (- 1) ^ {j} {frac {1} {(z; q) _ {m + 1}}} & = sum _ {ngeq 0} {egin {bmatrix} n + m nend {bmatrix}} _ {q} z ^ {n} .end {aligned}}}$

Lze dále definovat q-multinomiální koeficienty

${displaystyle {egin {bmatrix} n k_ {1}, ldots, k_ {m} end {bmatrix}} _ {q} = {frac {[n]! _ {q}} {[k_ {1}]! _ {q} cdots [k_ {m}]! _ {q}}},}$

kde argumenty ${displaystyle k_ {1}, ldots, k_ {m}}$ jsou nezáporná celá čísla, která splňují ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} k_ {i} = n}$. Výše uvedený koeficient počítá počet příznaků${displaystyle V_ {1} podmnožina tečky podmnožina V_ {m}}$ podprostorů v n-dimenzionální vektorový prostor nad polem s q prvky takové, že ${displaystyle dim V_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {i} k_ {j}}$.

Omezení ${displaystyle q o 1}$ dává obvyklý multinomický koeficient ${displaystyle {n vyberte k_ {1}, tečky, k_ {m}}}$, který počítá slova dovnitř n různé symboly ${displaystyle {s_ {1}, tečky, s_ {m}}}$ takové, že každý ${displaystyle s_ {i}}$ objeví se ${displaystyle k_ {i}}$ krát.

Jeden také získá a q-analog z Funkce gama, volal funkce q-gamaa definováno jako

${displaystyle Gamma _ {q} (x) = {frac {(1-q) ^ {1-x} (q; q) _ {infty}} {(q ^ {x}; q) _ {infty}} }}$

To konverguje k obvyklé funkci gama jako q blíží se 1 zevnitř disku jednotky. Všimněte si, že

${displaystyle Gamma _ {q} (x + 1) = [x] _ {q} Gamma _ {q} (x)}$

pro všechny X a

${displaystyle Gamma _ {q} (n + 1) = [n]! _ {q}.}$

pro nezáporné celé číslo hodnoty n. Alternativně to lze brát jako rozšíření q-faktoriální funkce do systému reálných čísel.

Viz také

• Základní hypergeometrická řada
• Eliptická gama funkce
• Funkce Jacobi theta
• Lambertova řada
• Věta o pětiúhelníku
• q-derivát
• q-theta funkce
• q-Vandermonde identita
• Rogers – Ramanujan identity
• Rogers – Ramanujan pokračoval ve zlomku

Reference

• George Gasper a Mizan Rahman, Základní hypergeometrická řada, 2. vydání, (2004), Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN  0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek a Rene F. Swarttouw, Schéma Askey ortogonálních polynomů a jeho q-analogů, oddíl 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometrické funkce a aplikace, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538
• M.A. Olshanetsky a V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv: q-alg / 9509013.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "q-Analogový". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Závorka". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Faktoriál. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Série". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Binomiální koeficient ". MathWorld.