Stres – energie – hybnost pseudotenzor - Stress–energy–momentum pseudotensor - Wikipedia

V teorii obecná relativita, a stres – energie – hybnost pseudotenzor, tak jako Landau – Lifshitzův pseudotenzor, je rozšířením negravitačního tenzor napětí a energie který zahrnuje energii - hybnost gravitace. Umožňuje definovat energetickou hybnost systému gravitační hmoty. Zejména umožňuje, aby součet hmoty plus gravitační energie - hybnost vytvořily a konzervovaný proud v rámci obecná relativita, takže celkový energie – hybnost překračující nadpovrch (3-dimenzionální hranice) žádný kompaktní vesmírný čas hypervolume (4-dimenzionální submanifold) zmizí.

Někteří lidé (např Erwin Schrödinger^{[Citace je zapotřebí ]}) vznesli námitky proti tomuto odvození z toho důvodu, že pseudotenzory jsou obecně nevhodné objekty relativity, ale zákon zachování vyžaduje pouze použití 4divergence pseudotenzoru, který je v tomto případě tenzorem (který také zmizí). Většina pseudotenzorů je také částí svazky trysek, které jsou nyní v GR rozpoznány jako dokonale platné objekty.

Landau – Lifshitzův pseudotenzor

Využití Landau – Lifshitzův pseudotenzor, stres – energie – hybnost pseudotenzor pro kombinovanou hmotu (včetně fotonů a neutrin) plus gravitaci,^[1] umožňuje rozšířit zákony zachování energie a hybnosti obecná relativita. Odečtení věci tenzor napětí – energie – hybnost výsledkem kombinovaného pseudotenzoru je pseudotenzor gravitačního napětí - energie - hybnosti.

Požadavky

Landau a Lifshitz byli vedeni čtyřmi požadavky při hledání pseudotenzoru hybnosti gravitační energie, ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} ,}$ :^[1]

že je zcela postaven z metrický tenzor, aby měl čistě geometrický nebo gravitační původ.
že to bude index symetrický, tj. ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = t_ {LL} ^ { nu mu} ,}$ , (pro zachování moment hybnosti )
že po přidání do tenzor napětí a energie hmoty, ${ displaystyle T ^ { mu nu} ,}$ , celkem 4divergence zmizí (toto je vyžadováno od všech konzervovaný proud ), takže máme konzervovaný výraz pro celkovou sílu - energii - hybnost.
že lokálně zmizel v setrvačný referenční rámec (což vyžaduje, aby obsahoval pouze první a ne druhý nebo vyšší deriváty metriky). Je to proto, že princip ekvivalence vyžaduje, aby gravitační silové pole, Christoffel symboly, zmizet místně v některých rámcích. Pokud je gravitační energie funkcí jejího silového pole, jak je obvyklé u jiných sil, měl by také lokálně zmizet příslušný gravitační pseudotenzor.

Definice

Společnost Landau & Lifshitz prokázala, že existuje jedinečná konstrukce, která splňuje tyto požadavky

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = - { frac {c ^ {4}} {8 pi G}} G ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4 }} {16 pi G (-g)}} ((- g) (g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta} -g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta})) _ {, alpha beta}}

kde:

G^μν je Einsteinův tenzor (který je sestaven z metriky)
G^μν je inverzní k metrický tenzor
G = det (G_μν) je určující metrického tenzoru a je <0. Proto vypadá jako ${ displaystyle -g}$ .
${ displaystyle, _ { alpha beta} = { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ { alpha} částečné x ^ { beta}}} ,}$ jsou částečné derivace, ne kovarianční deriváty.
G je Newtonův gravitační konstanta.

Ověření

Při zkoumání 4 podmínek požadavku vidíme, že první 3 lze relativně snadno demonstrovat:

Od Einsteinova tenzoru ${ displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , je sám sestrojen z metriky, tak tedy je ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu}}$
Od Einsteinova tenzoru ${ displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , je symetrický, takže je ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu}}$ protože další termíny jsou symetrické kontrolou.
Pseudotenzor Landau – Lifshitz je konstruován tak, že když je přidán do tenzor napětí a energie hmoty, ${ displaystyle T ^ { mu nu} ,}$ , celkem 4divergence zmizí: ${ displaystyle ((-g) (T ^ { mu nu} + t_ {LL} ^ { mu nu})) _ {, mu} = 0}$ . To vyplývá ze zrušení Einsteinova tenzoru, ${ displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , s tenzor napětí a energie, ${ displaystyle T ^ { mu nu} ,}$ podle Einsteinovy rovnice pole; zbývající člen zmizí algebraicky kvůli komutativitě parciálních derivací aplikovaných napříč antisymetrickými indexy.
Zdá se, že pseudotenzor Landau – Lifshitz zahrnuje do metriky druhé derivační výrazy, ale ve skutečnosti se výslovné druhé derivační termíny v pseudotenzoru ruší implicitními druhými derivačními termíny obsaženými v Einsteinův tenzor, ${ displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ . To je patrnější, když je pseudotenzor přímo vyjádřen jako metrický tenzor nebo Připojení Levi-Civita; přežijí pouze první derivační termíny v metrice a ty zmizí tam, kde je rám lokálně inerciální v libovolném vybraném bodě. Výsledkem je, že celý pseudotenzor zmizí lokálně (opět v libovolném zvoleném bodě) ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = 0}$ , což demonstruje přemístění gravitační energie - hybnosti.^[1]

Kosmologická konstanta

Při formulování pseudotenzoru Landau – Lifshitz se běžně předpokládalo, že kosmologická konstanta, ${ displaystyle Lambda ,}$ , byla nula. Dnes tento předpoklad neděláme a výraz vyžaduje přidání a ${ displaystyle Lambda ,}$ termín, dávat:

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = - { frac {c ^ {4}} {8 pi G}} (G ^ { mu nu} + Lambda g ^ { mu nu}) + { frac {c ^ {4}} {16 pi G (-g)}} ((- g) (g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta} -g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta})) _ {, alpha beta}}

To je nezbytné pro soulad s Einsteinovy rovnice pole.

Metrické a afinní verze připojení

Landau & Lifshitz také poskytují dva ekvivalentní, ale delší výrazy pro pseudotenzor Landau-Lifshitz:

Metrický tenzor verze:

{ displaystyle (-g) (t_ {LL} ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4} Lambda g ^ { mu nu}} {8 pi G}}) = { frac {c ^ {4}} {16 pi G}} (({ sqrt {-g}} g ^ { mu nu}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { alpha beta}), _ { beta} -}

{ displaystyle - ({ sqrt {-g}} g ^ { mu alpha}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { nu beta}), _ { beta} + { frac {1} {2}} g ^ { mu nu} g _ { alpha beta} ({ sqrt {-g}} g ^ { alpha sigma}), _ { rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { rho beta}), _ { sigma} -}

{ displaystyle - (g ^ { mu alpha} g _ { beta sigma} ({ sqrt {-g}} g ^ { nu sigma}), _ { rho} ({ sqrt {- g}} g ^ { beta rho}), _ { alpha} + g ^ { nu alpha} g _ { beta sigma} ({ sqrt {-g}} g ^ { mu sigma }), _ { rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { beta rho}), _ { alpha}) +}

{ displaystyle + g _ { alpha beta} g ^ { sigma rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { mu alpha}), _ { sigma} ({ sqrt {-g }} g ^ { nu beta}), _ { rho} + ,}

{ displaystyle + { frac {1} {8}} (2g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta} -g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta}) ( 2g _ { sigma rho} g _ { lambda omega} -g _ { rho lambda} g _ { sigma omega}) ({ sqrt {-g}} g ^ { sigma omega}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { rho lambda}), _ { beta})}

^[2]

Afinní spojení verze:

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4} Lambda g ^ { mu nu}} {8 pi G}} = { frac {c ^ { 4}} {16 pi G}} ((2 Gamma _ { alpha beta} ^ { sigma} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho} - Gamma _ { alpha rho } ^ { sigma} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} - Gamma _ { alpha sigma} ^ { sigma} Gamma _ { beta rho} ^ { rho}) (g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta} -g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta}) +}

{ displaystyle + g ^ { mu alpha} g ^ { beta sigma} ( Gamma _ { alpha rho} ^ { nu} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} + Gamma _ { beta sigma} ^ { nu} Gamma _ { alpha rho} ^ { rho} - Gamma _ { sigma rho} ^ { nu} Gamma _ { alpha beta} ^ { rho} - Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho}) +}

{ displaystyle + g ^ { nu alpha} g ^ { beta sigma} ( Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} + Gamma _ { beta sigma} ^ { mu} Gamma _ { alpha rho} ^ { rho} - Gamma _ { sigma rho} ^ { mu} Gamma _ { alpha beta} ^ { rho} - Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho}) +}

{ displaystyle + g ^ { alpha beta} g ^ { sigma rho} ( Gamma _ { alpha sigma} ^ { mu} Gamma _ { beta rho} ^ { nu} - Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} Gamma _ { sigma rho} ^ { nu})}}

^[3]

Tato definice energie-hybnosti je kovariantně použitelná nejen při Lorentzových transformacích, ale také při obecných transformacích souřadnic.

Einsteinův pseudotenzor

Tento pseudotenzor původně vyvinul Albert Einstein.^[4]^[5]

Paul Dirac ukázal^[6] že smíšený Einsteinův pseudotenzor

{ displaystyle {t _ { mu}} ^ { nu} = { frac {c ^ {4}} {16 pi G { sqrt {-g}}}} ((g ^ { alpha beta } { sqrt {-g}}) _ {, mu} ( Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} - delta _ { beta} ^ { nu} Gamma _ { alfa sigma} ^ { sigma}) - delta _ { mu} ^ { nu} g ^ { alpha beta} ( Gamma _ { alpha beta} ^ { sigma} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho} - Gamma _ { alpha sigma} ^ { rho} Gamma _ { beta rho} ^ { sigma}) { sqrt {-g}})}

splňuje zákon o ochraně přírody

{ displaystyle (({T _ { mu}} ^ { nu} + {t _ { mu}} ^ { nu}) { sqrt {-g}}) _ {, nu} = 0.}

Je zřejmé, že tento pseudotenzor pro gravitační napětí-energii je konstruován výhradně z metrického tenzoru a jeho prvních derivací. V důsledku toho zmizí v každém případě, když je vybrán souřadný systém, aby první derivace metriky zmizely, protože každý člen v pseudotenzoru je kvadratický v prvních derivacích metriky. Není však symetrický, a proto není vhodný jako základ pro definování momentu hybnosti.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C Lev Davidovich Landau a Evgeny Michajlovič Lifshitz, Klasická teorie polí(1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 kapitola 11, oddíl # 96
^ Landau – Lifshitzova rovnice 96.9
^ Landau – Lifshitzova rovnice 96.8
^ Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Hamiltonovský princip a obecná relativita). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
^ Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Zákon o zachování energie v obecné relativitě). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
^ P.A.M.Dirac, Obecná teorie relativity (1975), Princeton University Press, rychlá prezentace základních informací o GTR. ISBN 0-691-01146-X strany 61—63

Reference

Nelineární odchylky a zákony zachování na zakřiveném pozadí v GR a dalších metrických teoriích A. N. Petrov

[LL-1] A ^b ^C Lev Davidovich Landau a Evgeny Michajlovič Lifshitz, Klasická teorie polí(1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 kapitola 11, oddíl # 96

[2] Landau – Lifshitzova rovnice 96.9

[3] Landau – Lifshitzova rovnice 96.8

[4] Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Hamiltonovský princip a obecná relativita). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.

[5] Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Zákon o zachování energie v obecné relativitě). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459

[6] P.A.M.Dirac, Obecná teorie relativity (1975), Princeton University Press, rychlá prezentace základních informací o GTR. ISBN 0-691-01146-X strany 61—63

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]