Kushnerova rovnice - Kushner equation

v teorie filtrování the Kushnerova rovnice (po Harold Kushner ) je rovnice pro podmíněná pravděpodobnost hustota státu a stochastický nelineární dynamický systém, vzhledem k hlučnému měření stavu.^[1] Poskytuje tedy řešení nelineární filtrování problém v teorie odhadu. Rovnice se někdy označuje jako Stratonovich – Kushner^[2][3][4][5] (nebo Kushner – Stratonovich) rovnice. Správná rovnice z hlediska To je kalkul byl poprvé odvozen Kushnerem, i když heurističtější Stratonovich verze se objevila již v Stratonovich práce koncem padesátých let. Nicméně, derivace, pokud jde o počet Itō, je způsobena Richardem Bucym.^{[6][je zapotřebí objasnění ]}

Přehled

Předpokládejme, že se stav systému vyvíjí podle

${ displaystyle dx = f (x, t) , dt + sigma dw}$

a k dispozici je hlučné měření stavu systému:

${ displaystyle dz = h (x, t) , dt + eta dv}$

kde w, proti jsou nezávislé Wienerovy procesy. Potom podmíněná hustota pravděpodobnosti str(X, t) daného státu t je dána Kushnerovou rovnicí:

${ displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [h (x, t) -E_ {t} h (x, t)] ^ { nahoru } eta ^ {- top} eta ^ {- 1} [dz-E_ {t} h (x, t) dt].}$

kde ${ displaystyle Lp = - součet { frac { částečné (f_ {i} p)} { částečné x_ {i}}} + { frac {1} {2}} součet ( sigma sigma ^ { top}) _ {i, j} { frac { částečné ^ {2} p} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}}}$ je provozovatelem Kolmogorov Forward a ${ displaystyle dp (x, t) = p (x, t + dt) -p (x, t)}$ je variací podmíněné pravděpodobnosti.

Termín ${ displaystyle dz-E_ {t} h (x, t) dt}$ je inovace tj. rozdíl mezi měřením a jeho očekávanou hodnotou.

Kalman – Bucyův filtr

K odvození lze jednoduše použít Kushnerovu rovnici Kalman – Bucyův filtr pro proces lineární difúze. Předpokládejme, že máme ${ displaystyle f (x, t) = sekera}$ a ${ displaystyle h (x, t) = cx}$. Kushnerova rovnice bude dána vztahem

${ displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [cx-c mu (t)] ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} [dz-c mu (t) dt],}$

kde ${ displaystyle mu (t)}$ je průměr podmíněné pravděpodobnosti v čase ${ displaystyle t}$. Vynásobením ${ displaystyle x}$ a jeho integrací získáme variaci střední hodnoty

${ Displaystyle d mu (t) = a mu (t) dt + Sigma (t) c ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} left (dz-c mu (t) dt right).}$

Stejně tak variace rozptylu ${ displaystyle Sigma (t)}$ darováno

${ displaystyle { frac {d Sigma (t)} {dt}} = a Sigma (t) + Sigma (t) a ^ { top} + sigma ^ { top} sigma - Sigma (t) c ^ { top} eta ^ {- top} eta ^ {- 1} c Sigma (t).}$

Podmíněná pravděpodobnost je pak dána v každém okamžiku normálním rozdělením ${ displaystyle { mathcal {N}} ( mu (t), Sigma (t))}$.

Viz také

• Zakai rovnice

Reference