Třída Stiefel – Whitney - Stiefel–Whitney class
v matematika, zejména v algebraická topologie a diferenciální geometrie, Třídy Stiefel – Whitney jsou souborem topologické invarianty a skutečný vektorový svazek které popisují překážky stavět všude nezávislé sady sekce vektorového svazku. Třídy Stiefel – Whitney jsou indexovány od 0 do n, kde n je hodnost vektorového svazku. Pokud je to index indexu Stiefel – Whitney i je nenulová, pak nemůže existovat (n−i+1) všude lineárně nezávislé úseky vektorového svazku. Nenulový nTřída Stiefel – Whitney naznačuje, že každá část svazku musí v určitém okamžiku zmizet. Nenulová první třída Stiefel – Whitney naznačuje, že vektorový svazek není orientovatelný. Například první třída Stiefel – Whitney z Möbiusův proužek, jako svazek řádků přes kruh, není nula, zatímco první třída Stiefel-Whitney z svazek triviální linky přes kruh, S1×R, je nula.
Třída Stiefel – Whitney byla pojmenována pro Eduard Stiefel a Hassler Whitney a je příkladem a Z/2Z -charakteristická třída přidružené ke skutečným vektorovým svazkům.
V algebraické geometrii lze také definovat analogické třídy Stiefel – Whitney pro vektorové svazky s nedegenerovaným kvadratickým tvarem, přičemž hodnoty etale kohomologické skupiny nebo v Teorie Milnora K.. Jako speciální případ lze definovat třídy Stiefel – Whitney pro kvadratické tvary nad poli, přičemž první dva případy jsou diskriminující a Hasse – Wittův invariant (Milnor 1970 ).
Úvod
Obecná prezentace
Pro skutečný vektorový svazek E, Třída Stiefel – Whitney E je označen w(E). Je to prvek cohomologický prsten
tady X je základní prostor svazku E, a Z/2Z (často alternativně označeno Z2) je komutativní prsten jejichž jedinými prvky jsou 0 a 1. The komponent z w(E) v Hi(X; Z/2Z) je označen wi(E) a zavolal i-th Stiefel – Whitney třída E. Tím pádem w(E) = w0(E) + w1(E) + w2(E) + ⋅⋅⋅, kde každý wi(E) je prvek Hi(X; Z/2Z).
Třída Stiefel – Whitney w(E) je neměnný skutečného vektorového svazku E; tj. kdy F je další skutečný vektorový svazek, který má stejný základní prostor X tak jako E, a pokud F je izomorfní na E, pak třídy Stiefel – Whitney w(E) a w(F) jsou rovny. (Tady izomorfní znamená, že existuje a vektorový izomorfismus svazku E → F který kryty identita idX : X → X.) I když je obecně obtížné rozhodnout, zda dva skutečné vektorové svazky E a F jsou izomorfní, třídy Stiefel – Whitney w(E) a w(F) lze často snadno vypočítat. Pokud se liší, jeden to ví E a F nejsou izomorfní.
Jako příklad, přes the kruh S1, tady je svazek řádků (tj. skutečný vektorový svazek hodnost 1) který není izomorfní s a triviální svazek. Tento řádek svazek L je Möbiusův proužek (což je svazek vláken jehož vlákna mohou být vybavena strukturami vektorového prostoru takovým způsobem, že se z nich stane vektorový svazek). Skupina kohomologie H1(S1; Z/2Z) má pouze jeden jiný prvek než 0. Tento prvek je první třídou Stiefel – Whitney w1(L) z L. Vzhledem k tomu, že triviální linie skončila S1 má první třídu Stiefel – Whitney 0, není izomorfní L.
Dva skutečné vektorové svazky E a F které mají stejnou třídu Stiefel – Whitney, nemusí být nutně izomorfní. To se stane například když E a F jsou triviální skutečné vektorové svazky různých úrovní na stejném základním prostoru X. Může se také stát, když E a F mají stejnou hodnost: tečný svazek z 2 koule S2 a triviální skutečný vektorový balíček 2. úrovně S2 mají stejnou třídu Stiefel – Whitney, ale nejsou izomorfní. Ale pokud dva skutečné čára svazky přes X mají stejnou třídu Stiefel – Whitney, pak jsou izomorfní.
Počátky
Třídy Stiefel – Whitney wi(E) dostat jejich jméno, protože Eduard Stiefel a Hassler Whitney objevil je jako mod-2 snížení tříd obstrukce na konstrukci n − i + 1 všude lineárně nezávislé sekce z vektorový svazek E omezeno na i- kostra z X. Tady n označuje rozměr vlákna vektorového svazku F → E → X.
Přesněji řečeno, za předpokladu X je CW-komplex Whitney definoval třídy Ži(E) v i-tý mobilní kohomologická skupina z X se zkroucenými koeficienty. Systém koeficientů je (i-1) -st homotopická skupina z Stiefel potrubí PROTIn−i+1(F) z (n−i+1) lineárně nezávislé vektory ve vláknech E. Whitney dokázala Ži(E) = 0 pouze a jen tehdy E, je-li omezen na i- kostra z X, má (n−i+1) lineárně nezávislé sekce.
Protože πi−1PROTIn−i+1(F) je buď nekonečný-cyklický nebo izomorfní na Z/2Z, tady je kanonický snížení Ži(E) třídy do tříd wi(E) ∈ Hi(X; Z/2Z) což jsou třídy Stiefel – Whitney. Navíc kdykoli πi−1PROTIn−i+1(F) = Z/2Z, obě třídy jsou identické. Tím pádem, w1(E) = 0 pouze a jen v případě, že balíček E → X je orientovatelný.
The w0(E) třída neobsahuje žádné informace, protože se podle definice rovná 1. Jeho vytvoření Whitney byl akt kreativní notace, umožňující Whitney součet Vzorec w(E1 ⊕ E2) = w(E1)w(E2) být pravdivý.
Definice
Po celou dobu, Hi(X; G) označuje singulární kohomologie prostoru X s koeficienty v skupina G. Slovo mapa znamená vždy a spojitá funkce mezi topologické prostory.
Axiomatická definice
Charakteristická třída Stiefel-Whitney svazku reálných vektorů konečné pozice E na paracompact základní prostor X je definována jako jedinečná třída tak, že jsou splněny následující axiomy:
- Normalizace: Whitneyova třída tautologický svazek linek přes skutečný projektivní prostor P1(R) je netriviální, tj. .
- Hodnost: w0(E) = 1 ∈ H0(X), a pro i nad hodností E, , to znamená,
- Vzorec produktu Whitney: , to znamená, že Whitneyova třída přímého součtu je pohárový produkt tříd sčítanců.
- Přirozenost: pro jakýkoli skutečný vektorový balíček E → X a mapa , kde označuje stahovací vektorový balíček.
Výjimečnost těchto tříd dokazuje například oddíl 17.2 - 17.6 Husemoller nebo oddíl 8 Milnor a Stasheff. Existuje několik důkazů o existenci, pocházejících z různých konstrukcí, s několika různými příchutěmi, jejich soudržnost je zajištěna prohlášením unicity.
Definice přes nekoneční Grassmannians
Nekoneční Grassmannians a vektorové svazky
Tato část popisuje konstrukci používající pojem třídicí prostor.
Pro jakýkoli vektorový prostor PROTI, nechť GRn(PROTI) označují Grassmannian, prostor n-rozměrné lineární podprostory PROTIa označují nekonečný Grassmannian
- .
Připomeňme, že je vybaven tautologický svazek hodnost n vektorový svazek, který lze definovat jako podskupinu triviálního svazku vláken PROTI jehož vlákno v bodě je podprostor představovaný Ẃ.
Nechat F : X → GRn, být spojitá mapa do nekonečného Grassmannian. Pak, až do izomorfismu, svazek indukovaný mapou F na X
záleží pouze na třídě homotopy mapy [F]. Operace pullback tedy dává morfismus ze sady
map X → GRn modulo homotopická ekvivalence, do množiny
tříd izomorfismu vektorových svazků hodnosti n přes X.
(Důležitým faktem v této konstrukci je, že pokud X je paracompact prostor, tato mapa je a bijekce. To je důvod, proč nazýváme nekonečné Grassmannovy klasifikační prostory vektorových svazků.)
Nyní, podle axiomu přirozenosti (4) výše, . V zásadě tedy stačí znát hodnoty pro všechny j. Avšak coholomologický kruh je zdarma na konkrétních generátorech vznikající ze standardního buněčného rozkladu, a pak se ukáže, že tyto generátory jsou ve skutečnosti právě dány . U libovolného balíčku rank-n tedy , kde F je příslušná klasifikační mapa. To zejména poskytuje jeden důkaz o existenci tříd Stiefel-Whitney.
Případ svazků linek
Nyní omezíme výše uvedenou konstrukci na svazky řádků, tj uvažujeme o vesmíru, Vect1(X) řádkových svazků X. Grassmannian řádků GR1 je jen nekonečný projektivní prostor
který je dvojnásobně pokryt nekonečnou sférou S∞ podle antipodální body. Tato sféra S∞ je smluvní, takže máme
Proto P∞(R) je Eilenberg-Maclaneův prostor K (Z/2Z, 1).
Je to vlastnost prostorů Eilenberg-Maclane
pro všechny X, s izomorfismem daným F → F*η, kde η je generátor
- .
Aplikujeme dřívější poznámku, že α: [X, GR1] → Vect1(X) je také bijekce, získáme bijekci
to definuje třídu Stiefel – Whitney w1 pro svazky linek.
Skupina svazků linek
Pokud Vect1(X) je považována za skupinu provozovanou tenzorovým produktem, poté třída Stiefel – Whitney, w1 : Vect1(X) → H1(X; Z/2Z), je izomorfismus. To znamená, w1(λ ⊗ μ) = w1(λ) + w1(μ) pro všechny svazky řádků λ, μ → X.
Například od H1(S1; Z/2Z) = Z/2Z, existují pouze dva svazky řádků přes kruh až po izomorfismus svazku: triviální a otevřený Möbiový pás (tj. Möbioův pás s odstraněnou hranicí).
Stejná konstrukce pro složité vektorové svazky ukazuje, že Třída Chern definuje bijekci mezi komplexními linkovými svazky X a H2(X; Z), protože odpovídající klasifikační prostor je P∞(C), K (Z, 2). Tento izomorfismus platí pro svazky topologických linií, překážkou injektivity třídy Chern pro algebraické vektorové svazky je Jacobian odrůda.
Vlastnosti
Topologická interpretace mizení
- wi(E) = 0 kdykoli i > pořadí (E).
- Li Ek má sekce které jsou všude lineárně nezávislé pak zmizí nejvyšší stupně Whitney: .
- První třída Stiefel – Whitney je nulová právě tehdy, pokud je v balíčku orientovatelný. Zejména potrubí M je orientovatelný právě tehdy w1(TM) = 0.
- Balíček připouští a spinová struktura právě když jsou první i druhá třída Stiefel – Whitney nulové.
- U orientovatelného svazku je druhá třída Stiefel – Whitney v obraze přirozené mapy H2(M, Z) → H2(M, Z/2Z) (ekvivalentně, tzv. třetí.) integrální Třída Stiefel – Whitney je nula) právě tehdy, pokud balíček připouští zatočeníC struktura.
- All the Stiefel – Whitney čísla (viz níže) hladkého kompaktního potrubí X zmizet, pokud a pouze v případě, že potrubí je hranicí nějakého hladkého kompaktního (neorientovaného) potrubí (varování: některé Stiefel-Whitney třída stále může být nenulová, i když celá Stiefel Whitney čísla zmizet!)
Jedinečnost tříd Stiefel – Whitney
Výše uvedená bijekce pro svazky řádků znamená, že jakýkoli funktor θ splňující výše uvedené čtyři axiomy se rovná w, následujícím argumentem. Druhý axiom poskytuje θ (γ1) = 1 + θ1(γ1). Pro mapu zařazení i : P1(R) → P∞(R), stahovací balíček je rovný . Z toho vyplývá první a třetí axiom
Od mapy
je izomorfismus, a θ (γ1) = w(γ1) následovat. Nechat E být skutečným vektorovým balíčkem hodností n v prostoru X. Pak E připouští a rozdělení mapy, tj. mapa F : X' → X pro nějaký prostor X' takhle je injekční a u některých svazků linek . Jakýkoli svazek linky přes X je ve formě pro nějakou mapu G, a
podle přirozenosti. Tedy θ = w na . Z výše uvedeného čtvrtého axiomu vyplývá
Od té doby je injektivní, θ = w. Třída Stiefel – Whitney je tedy jedinečným funktorem, který splňuje výše uvedené čtyři axiomy.
Neizomorfní svazky se stejnými třídami Stiefel – Whitney
I když mapa w1 : Vect1(X) → H1(X; Z/2Z) je bijekce, odpovídající mapa nemusí být nutně injektivní ve vyšších dimenzích. Zvažte například svazek tangenty TSn pro n dokonce. S kanonickým vložením Sn v Rn+1, normální svazek ν do Sn je svazek řádků. Od té doby Sn je orientovatelný, ν je triviální. Součet TSn ⊕ ν je pouze omezení TRn+1 na Sn, což je od té doby triviální Rn+1 je smluvní. Proto w(TSn) = w(TSn)w(ν) = w (TSn ⊕ ν) = 1. Ale za předpokladu, že n je sudé, TSn → Sn není triviální; své Eulerova třída , kde [Sn] označuje a základní třída z Sn a χ Eulerova charakteristika.
Související invarianty
Čísla Stiefel – Whitney
Pracujeme-li na rozmanité dimenzi n, pak jakýkoli produkt tříd Stiefel – Whitney celkového stupněn lze spárovat s Z/2Z-základní třída potrubí dávat prvek Z/2Z, a Číslo Stiefel – Whitney vektorového svazku. Například pokud má rozdělovač dimenzi 3, existují tři lineárně nezávislá čísla Stiefel – Whitney, daná vztahem . Obecně platí, že pokud potrubí má rozměr n, počet možných nezávislých čísel Stiefel – Whitney je počet oddíly zn.
Čísla Stiefel – Whitney tangenta svazku hladkého potrubí se nazývají čísla Stiefel – Whitney potrubí. Je o nich známo, že jsou cobordism invarianty. Bylo prokázáno Lev Pontryagin to když B je hladký kompaktní (n+1) –dimenzionální potrubí s hranicí rovnou M, pak Stiefel-Whitneyova čísla M jsou všechny nulové.[1] Navíc to bylo prokázáno René Thom že pokud všechna čísla Stiefel-Whitney M jsou tedy nula M lze realizovat jako hranici nějakého hladkého kompaktního potrubí.[2]
Jedno číslo Stiefel – Whitney důležité v teorie chirurgie je de Rham invariantní z (4k+1) -rozměrné potrubí,
Třídy Wu
Třídy Stiefel – Whitney wk jsou Steenrodovy čtverce z Třídy Wu protik, definován Wu Wenjun v (Wu 1955 ) . Nejjednodušší je, že celková třída Stiefel – Whitney je celkový Steenrodův čtverec z celkové třídy Wu: Čt(proti) = w. Třídy Wu jsou nejčastěji definovány implicitně, pokud jde o Steenrodovy čtverce, jako třída kohomologie představující Steenrodovy čtverce. Nechte potrubí X být n dimenzionální. Pak pro jakoukoli hodinu kohomologie X stupně n-k, . Nebo užší, můžeme požadovat , opět pro hodiny kohomologie X stupně n-k.[3]
Integrované třídy Stiefel – Whitney
Prvek se nazývá i + 1 integrální Stiefel – Whitney třída, kde β je Bocksteinův homomorfismus, odpovídající redukčnímu modulu 2, Z → Z/2Z:
Například třetí integrální třída Stiefel – Whitney je překážkou pro a RoztočitC struktura.
Vztahy přes Steenrodovu algebru
Přes Steenrodova algebra, třídy Stiefel – Whitney plynulého potrubí (definované jako třídy Stiefel – Whitney tangentního svazku) jsou generovány třídami ve formě . Zejména třídy Stiefel – Whitney uspokojují Wu vzorec, pojmenovaný pro Wu Wenjun:[4]
Viz také
- Charakteristická třída zejména pro obecný průzkum Třída Chern, přímý analog pro složité vektorové svazky
- Skutečný projektivní prostor
Reference
- ^ Pontryagin, Lev S. (1947). Msgstr "Charakteristické cykly na diferencovatelných rozdělovačích". Rohož. Sbornik N.S. (v Rusku). 21 (63): 233–284.
- ^ Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Charakteristické třídy. Princeton University Press. str.50 –53. ISBN 0-691-08122-0.
- ^ Milnor, J. W .; Stasheff, J. D. (1974). Charakteristické třídy. Princeton University Press. str.131 –133. ISBN 0-691-08122-0.
- ^ (Květen 1999, str. 197)
- Dale Husemoller, Svazky vlákenSpringer-Verlag, 1994.
- May, J. Peter (1999), Stručný kurz v algebraické topologii (PDF), Chicago: University of Chicago Press, vyvoláno 2009-08-07
- Milnor, John Willard (1970), S dodatkem J. Tate, „Algebraic K.-teorie a kvadratické formy ", Inventiones Mathematicae, 9: 318–344, doi:10.1007 / BF01425486, ISSN 0020-9910, PAN 0260844, Zbl 0199.55501
externí odkazy
- Třída Wu v atlasu potrubí