Teorie obstrukce - Obstruction theory

v matematika, teorie obstrukce je jméno dané dvěma různým matematické teorie, oba výtěžek cohomologické invarianty.

V původním díle Stiefel a Whitney, charakteristické třídy byly definovány jako překážky v existenci určitých polí lineárně nezávislých vektory. Ukázalo se, že teorie obstrukce je aplikací teorie kohomologie na problém konstrukce a průřez a svazek.

V teorii homotopy

Starší význam pro obstrukční teorii v teorie homotopy se týká postupu, indukčního s ohledem na rozměr, při prodloužení a průběžné mapování definované na a zjednodušený komplex nebo CW komplex. Tradičně se tomu říká Eilenbergova obstrukční teorie, po Samuel Eilenberg. To zahrnuje kohomologické skupiny s koeficienty v homotopické skupiny definovat překážky rozšíření. Například s mapováním ze zjednodušeného komplexu X jinému, Y, definovaný původně na 0-kostra z X (vrcholy X), rozšíření 1-kostry bude možné, kdykoli bude obraz 0-kostry patřit ke stejné spojeno s cestou součást Y. Rozšíření z 1-kostry na 2-kostru znamená definovat mapování na každém pevném trojúhelníku od X, vzhledem k tomu, že mapování je již definováno na jeho hraničních hranách. Podobně pak rozšíření mapování na 3-kostru zahrnuje rozšíření mapování na každý pevný 3-simplex X, vzhledem k tomu, že mapování je již definováno na jeho hranici.

V určitém okamžiku řekněme rozšíření mapování z (n-1) kostry X na n-kostru X, tento postup může být nemožný. V takovém případě lze každému n-simplexu přiřadit třídu homotopy $π n-1 (Y)$ mapování již definovaného na jeho hranici (alespoň jedna z nich bude nenulová). Tyto úkoly definují n-cochain s koeficienty v $π n-1 (Y)$ . Úžasně se ukázalo, že tento cochain je cocycle a tak definuje a kohomologie třídy v n. kohomologické skupině X s koeficienty v $π n-1 (Y)$ . Když je tato třída cohomologie rovna 0, ukazuje se, že mapování může být upraveno v rámci její třídy homotopy na (n-1) -skeletonu X takže mapování může být rozšířeno na n-kostru X. Pokud třída není rovna nule, nazývá se to překážkou rozšíření mapování přes n-kostru, vzhledem k její třídě homotopy na (n-1) -kostře.

Překážka rozšíření části hlavního svazku

Konstrukce

Předpokládejme to $B$ je jednoduše připojeno zjednodušený komplex a to $p : E \to B$ je fibrace s vláknem $F$ . Dále předpokládejme, že máme částečně definovaný sekce $σ n : B n \to E$ na $n$ -kostra z $B$ .

Pro každého $(n + 1)$ -jednodušší $Δ$ v $B$ , $σ n$ lze omezit na jeho hranici (což je topologická $n$ -koule ). Protože $p$ pošlete každý z nich zpět každému $Δ$ , máme mapu z $n$ -sféra $p -1 (Δ)$ . Protože fibrace uspokojují vlastnost zvedání homotopy a $Δ$ je smluvní; $p -1 (Δ)$ je ekvivalent homotopy na $F$ . Takže tato částečně definovaná část přiřadí prvek $π n (F)$ každému $(n + 1)$ -jednodušší. Jedná se přesně o data a $π n (F)$ -hodnota zjednodušený cochain stupně $n + 1$ na $B$ , tj. prvek $C n + 1 (B; π n (F))$ . Tento řetězec se nazývá obstrukce cochain protože to je nula znamená, že všechny tyto prvky $π n (F)$ jsou triviální, což znamená, že naši částečně definovanou část lze rozšířit na $(n + 1)$ -skelet pomocí homotopy mezi (částečně definovaná část na hranici každého z nich $Δ$ ) a konstantní mapa.

Skutečnost, že tento kochain pocházel z částečně definované sekce (na rozdíl od svévolné sbírky map ze všech hranic všech $(n + 1)$ -simplices) lze použít k prokázání, že tento řetězec je cyklus. Pokud jeden začal s jiným částečně definovaným oddílem $σ n$ který souhlasil s originálem na $(n - 1)$ - kostra, pak lze také dokázat, že výsledný cyklus se bude od prvního lišit hranicí. Proto máme dobře definovaný prvek kohomologické skupiny $H n + 1 (B; π n (F))$ takový, že pokud je částečně definovaný oddíl na $(n + 1)$ - existuje kostra, která souhlasí s daným výběrem na $(n - 1)$ - kostra, pak musí být tato třída cohomologie triviální.

Konverzace je také pravdivá, pokud člověk dovolí takové věci jako homotopy sekce, tj. mapa $σ : B \to E$ takhle $p \circ σ$ je homotopický (na rozdíl od stejného) s mapou identity na $B$ . Poskytuje tedy úplnou invariantu existence sekcí až po homotopii na $(n + 1)$ -kostra.

Aplikace

Indukcí přes $n$ , lze sestrojit a první překážka úseku jako první z výše uvedených tříd kohomologie, která je nenulová.
To lze použít k nalezení překážek trivializací hlavní svazky.
Protože jakákoli mapa může být přeměněna na fibraci, tuto konstrukci lze použít ke zjištění, zda existují překážky v existenci výtahu (až po homotopii) mapy do $B$ na mapu do $E$ i kdyby $p : E \to B$ není fibrace.
Pro stavbu je zásadní Postnikovovy systémy.

V geometrické topologii

v geometrická topologie, se obstrukční teorie týká, když a topologické potrubí má po částech lineární struktura, a když má po částech lineární potrubí a diferenciální struktura.

V dimenzi maximálně 2 (Rado) a 3 (Morse) se pojmy topologických potrubí a po částech lineárních potrubí shodují. V dimenzi 4 nejsou stejné.

V rozměrech nejvýše 6 se pojmy po částech lineárních potrubí a diferencovatelných potrubí shodují.

V teorii chirurgie

Dvě základní otázky teorie chirurgie jsou, zda topologický prostor s n-dimenzionální Poincaré dualita je ekvivalent homotopy do n-dimenzionální potrubí, a také zda a homotopická ekvivalence z n-dimenzionální potrubí je homotopický do a difeomorfismus. V obou případech existují dvě překážky n> 9, primární topologická K-teorie překážka v existenci a vektorový svazek: pokud to zmizí, existuje a normální mapa, což umožňuje definici sekundárního chirurgická obstrukce v algebraická L-teorie k provedení operace na normální mapě za účelem získání a homotopická ekvivalence.

Viz také

Kirby – Siebenmann třída

Reference

Husemöller, Dale (1994), Svazky vlákenSpringer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
Steenrod, Norman (1951), Topologie svazků vláken, Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0
Scorpan, Alexandru (2005). Divoký svět čtyř potrubí. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-3749-4.