Teorie Milnora K. - Milnor K-theory

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Října 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Teorie Milnora K. je neměnný pole definován John Milnor  (1970 ). Původně zobrazeno jako přibližná hodnota k algebraická K-teorie „Ukázalo se, že Milnorova teorie K je sama o sobě důležitým invariantem.

Definice

The výpočet K.₂ pole podle Hideya Matsumoto vedl Milnora k následující, zdánlivě naivní definici „vyššího“ K.-skupiny pole F:

${ displaystyle K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ { times} / (a ​​ otimes (1-a)),}$

kvocient z tenzorová algebra přes celá čísla multiplikativní skupina ${ displaystyle F ^ { times}}$ podle oboustranný ideál generováno:

${ displaystyle left {a otimes (1-a): 0,1 neq a in F right }.}$

The nth Milnor K-skupina ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F)}$ je nth stupňovaný kus tohoto odstupňovaný prsten; například, ${ displaystyle K_ {0} ^ {M} (F) = mathbb {Z}}$ a ${ displaystyle K_ {1} ^ {M} (F) = F ^ { times}.}$ Existuje přirozený homomorfismus

${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) až K_ {n} (F)}$

od Milnor K-skupin pole k Daniel Quillen K-skupiny, což je izomorfismus pro n ≤ 2, ale ne pro větší n, obecně. Pro nenulové prvky ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ v F, symbol ${ displaystyle {a_ {1}, ldots, a_ {n} }}$ v ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F)}$ znamená obraz A₁ ⊗ ... ⊗ A_n v tenzorové algebře. Každý prvek Milnorovy K-teorie lze napsat jako konečný součet symbolů. Skutečnost, že {A, 1−A} = 0 palců ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} (F)}$pro A v F - {0,1} se někdy nazývá Steinbergův vztah.

Prsten ${ displaystyle K _ {*} ^ {M} (F)}$ je odstupňované-komutativní.^[1]

Příklady

My máme ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} ( mathbb {F} _ {q}) = 0}$ pron > 2, zatímco ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} ( mathbb {C})}$ je nespočet jednoznačně dělitelná skupina.^[2] Taky, ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} ( mathbb {R})}$ je přímý součet a cyklická skupina z objednat 2 a nespočetně jedinečně dělitelná skupina; ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} ( mathbb {Q} _ {p})}$ je přímý součet multiplikativní skupiny ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ a nespočetně jedinečně dělitelná skupina; ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} ( mathbb {Q})}$ je přímý součet cyklické skupiny řádu 2 a cyklických skupin řádu ${ displaystyle p-1}$ pro všechny liché prime ${ displaystyle p}$.

Aplikace

Milnor K-theory hraje zásadní roli v teorie pole vyšší třídy, nahrazující ${ displaystyle K_ {1} ^ {M} (F) = F ^ { times}}$ v jednorozměrném teorie pole.

Milnorova teorie K zapadá do širšího kontextu motivická kohomologie prostřednictvím izomorfismu

${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) cong H ^ {n} (F, mathbb {Z} (n))}$

Milnorovy K-teorie pole s určitou motivickou kohomologickou skupinou.^[3] V tomto smyslu se zdánlivě ad hoc definice Milnorovy K teorie stává teorémem: určité motivické kohomologické skupiny pole mohou být výslovně vypočítány generátory a vztahy.

Mnohem hlubším výsledkem je domněnka Bloch-Kato (nazývaná také věta o izomorfismu zbytku normy ), vztahuje se k Milnor K-theory Galoisova kohomologie nebo étale cohomology:

${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / r cong H _ { mathrm {et}} ^ {n} (F, mathbb {Z} / r (n)),}$

pro jakékoli kladné celé číslo r invertible in the field F. To prokázal Vladimír Voevodský, s příspěvky od Markus Rost a další.^[4] To zahrnuje teorém o Alexander Merkurjev a Andrei Suslin a Milnor domněnka jako zvláštní případy (případy, kdy ${ displaystyle n = 2}$ a ${ displaystyle r = 2}$).

Konečně existuje vztah mezi teorií Milnor K a kvadratické formy. Pro pole F z charakteristický ne 2, definujte základní ideál Já v Wittův prsten kvadratických forem F být jádrem homomorfismu ${ displaystyle W (F) to mathbb {Z} / 2}$ dané dimenzí kvadratické formy, modulo 2. Milnor definoval homomorfismus:

${ displaystyle { begin {cases} K_ {n} ^ {M} (F) / 2 to I ^ {n} / I ^ {n + 1} {a_ {1}, ldots, a_ {n} } mapsto langle langle a_ {1}, ldots, a_ {n} rangle rangle = langle 1, -a_ {1} rangle otimes cdots otimes langle 1, - a_ {n} rangle end {cases}}}$

kde ${ displaystyle langle langle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} rangle rangle}$ označuje třídu n-složit Formulář Pfister.^[5]

Orlov, Vishik a Voevodsky dokázali další tvrzení zvané Milnorova domněnka, a sice, že tento homomorfismus ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / 2 až I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ je izomorfismus.^[6]

Viz také

• Azumaya algebra

Reference

• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraická a geometrická teorie kvadratických foremAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4329-1, PAN  2427530
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86103-9. PAN  2266528. Zbl  1137.12001.
• Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir; Weibel, Charles (2006), Přednášky z občanské kohomologie, Clay Mathematical Monographs, sv. 2, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-3847-1, PAN  2242284
• Milnor, John Willard (1970), s dodatkem od J. Tate „Algebraické K.-teorie a kvadratické formy ", Inventiones Mathematicae, 9: 318–344, Bibcode:1970InMat ... 9..318M, doi:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, PAN  0260844, Zbl  0199.55501
• Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), „Přesná sekvence pro K._*^M/ 2 s aplikacemi do kvadratických tvarů ", Annals of Mathematics, 165: 1–13, arXiv:matematika / 0101023, doi:10.4007 / annals.2007.165.1, PAN  2276765
• Voevodsky, Vladimir (2011), „O motivické kohomologii se Z / l koeficienty“, Annals of Mathematics, 174 (1): 401–438, arXiv:0805.4430, doi:10.4007 / annals.2011.174.1.11, PAN  2811603